2017-2018学年辽宁省六校协作体高二下学期期初考试数学文试题（解析版）

2017-2018学年辽宁省六校协作体高二下学期期初考试数学文试题（解析版）

‎2017-2018学年辽宁省六校协作体高二下学期期初考试数学文试题（解析版）‎ 第I卷 选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1. 若集合，，则＝(　　)‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎2. 与终边相同的角是 ( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】与终边相同的角是.‎ 当1时，‎ 故选：D ‎3. 下列函数中，满足定义域为且为增函数的是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】对于A，定义域为R，是R上的减函数；对于B，定义域为，是上增函数 ；对于C,定义域为R，且为R上的增函数；对于D，定义域为R，不是R上的增函数，故选C.‎ ‎4. 函数的定义域为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】应满足：，解得：‎ ‎∴函数的定义域为 故选：A ‎5. 已知命题 “”,则为 A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】由含量词的命题的否定可得命题 “”的否定为：选C．‎ ‎6. 如果一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图都是半径等于5的圆，那么这个空间几何体的表面积等于(　　)‎ A. 100π B. C. 25π D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】易知该几何体为球，半径为5，则表面积为S＝4πR2＝100π.‎ 故选A ‎7. 有50件产品，编号从1到50，现在从中抽取5件检验，用系统抽样确定所抽取的第一个样本编号为7，则第三个样本编号是 A. 37 B. 27 C. 17 D. 12‎ ‎【答案】B ‎【解析】用系统抽样时，每个组中抽取的样本编号通常是一个等差数列，且公差为组数，故第三个样本编号为.故选B.‎ ‎8. 若直线与直线垂直，则实数 A. 3 B. 0 C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】∵直线与直线垂直，‎ ‎∴，‎ 整理得，‎ 解得或。选D。‎ ‎9. 设向量满足，，且，则 (　　)‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】因为，故选A.‎ ‎10. 已知变量x，y满足约束条件，则的最大值为（　　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据题意得到可行域是封闭的三角形区域，交点为 目标函数化简为，根据图像得到当目标函数过点A时取得最大值；代入得到11.‎ 故答案为:D .‎ ‎11. 中国古代数学著作《算法统宗》中记载了这样的一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还”，其大意为：有一个人走了378里路，第一天健步行走，从第二天其因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达了目的地，问此人第二天走的路程里数为( )‎ A. 76 B. 96 C. 146 D. 188‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题意得这个人6天走的路程是公比为的等比数列，设其首项为，则 ‎，解得，‎ ‎∴.即此人第二天走的路程里数为96.选B.‎ ‎12. 如图是一个算法的流程图，则输出K的值是(　　)‎ A. 6 B. 7 C. 16 D. 19‎ ‎【答案】D ‎【解析】由程序框图可知，输出 ,‎ 令，得,故输出,故选D.‎ ‎【方法点睛】本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.‎ 二．填空题（共四题，每题5分）‎ ‎13. 函数的零点是_________.‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】因为 ，所以2是函数的零点，故填2.‎ ‎14. 函数的最小正周期为________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】函数的最小正周期为.‎ ‎15. 函数在上为奇函数,且,则=_______‎ ‎【答案】-3‎ ‎【解析】因为函数在上为奇函数,且=,所以==‎ 答案为：-3.‎ ‎16. 直线为双曲线的一条渐近线，则的值为_________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由双曲线方程可得双曲线的渐近线满足：，‎ 整理可得：，即：，‎ 则双曲线的一条渐近线为：，‎ 结合题意可得：.‎ 三．解答题（共六题，其中17题10分，其余各题12分）‎ ‎17. 已知△中，内角， ， 的对边分别为， ，， ， ， ．‎ ‎（Ⅰ）求的值；‎ ‎（Ⅱ）求的面积．‎ ‎【答案】（1）（2）6‎ ‎【解析】试题分析：（Ⅰ）在中，，由，求得，再由正弦定理，即可得的值；‎ ‎（Ⅱ）利用余弦定理与三角形的面积计算公式即可得出．.‎ 试题解析：‎ ‎（Ⅰ）在中，，且，所以． ‎ 因为，且 ，， ‎ 所以． ‎ 所以． ‎ ‎（Ⅱ）因为，‎ 所以， ‎ 所以或（舍）． ‎ 所以．‎ ‎18. 已知为等差数列，且， .‎ ‎（1）求的通项公式；‎ ‎（2）若等比数列满足， ，求的前项和公式.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】本试题主要是考查了等差数列的通项公式的求解和数列的前n项和的综合运用。、‎ ‎（1）设公差为，由已知得 解得 ‎（2），等比数列的公比 利用公式得到和。‎ 视频 ‎19. 如图，在直三棱柱中，已知， ，设的中点为，.求证：（1）平面； （2）.‎ ‎【答案】（1）见解析（2）见解析 ‎【解析】试题分析：（1）要证线面平行，只需找线线平行，因为D,E为中点，利用中位线即可证明；（2）只需证明平面即可，显然可证，因此原命题得证.‎ 试题解析：‎ ‎⑴在直三棱柱中，‎ ‎ 平面，且 矩形是正方形， ‎ 为的中点， ‎ 又为的中点， ， ‎ 又平面， 平面， ‎ 平面 ‎ ‎⑵在直三棱柱中，‎ ‎ 平面, 平面, ‎ 又， 平面， 平面， ，‎ 平面， ‎ 平面， ‎ 矩形是正方形， ，‎ 平面， ， 平面 又平面， .‎ 点睛：两条直线的垂直，一般需要用到线面垂直，先证明其中一条直线是另外一条直线所在平面的垂线，在此证明过程中，一般还要再次用到线面垂直的判定或性质，从而得到线线垂直.‎ ‎20. 某P2P平台需要了解该平台投资者的大致年龄分布，发现其投资者年龄大多集中在区间[20,50]岁之间，对区间[20,50]岁的人群随机抽取20人进行了一次理财习惯调查，得到如下统计表和各年龄段人数频率分布直方图：‎ ‎ ‎ 组数 分组 人数(单位：人)‎ 第一组 ‎[20,25) ‎ ‎2‎ 第二组 ‎[25,30)‎ a 第三组 ‎[30,35)‎ ‎5‎ 第四组 ‎[35,40)‎ ‎4‎ 第五组 ‎[40,45)‎ ‎3‎ 第六组 ‎[45,50]‎ ‎2‎ ‎　‎ ‎(Ⅰ)求a的值并画出频率分布直方图；‎ ‎(Ⅱ)在统计表的第五与第六组的5人中，随机选取2人，求这2人的年龄都小于45岁的概率．‎ ‎【答案】（1）见解析（2）‎ ‎【解析】试题分析：(Ⅰ)由题意a＝20－2－5－4－3－2＝4，可依次求得直方图中小矩形的高度从而画出频率直方图.‎ ‎(Ⅱ)从5人中选取2人的取法有10种，其中2人都小于45岁的有3种，所求概率为P＝.‎ 试题解析：(Ⅰ)a＝20－2－5－4－3－2＝4，‎ 直方图中小矩形的高度依次为 ‎＝0.02，＝0.04，＝0.05，‎ ‎＝0.04，＝0.03，＝0.02，‎ 频率直方图如图 ‎(Ⅱ)记第五组中的3人为A，B，C，第六组中的2人为a，b，‎ 则从中选取2人的取法有AB，AC，Aa，Ab，BC，Ba，Bb，Ca，Cb，ab共10种，‎ 其中2人都小于45岁的有3种，所以所求概率为P＝.‎ ‎21. 在平面直角坐标系中，圆经过三点．‎ ‎（1）求圆的方程；‎ ‎（2）若圆与直线交于两点，且，求的值．‎ ‎【答案】（1） （2）-1‎ 试题解析：‎ ‎⑴因为圆的圆心在线段的直平分线上，‎ 所以可设圆的圆心为， ‎ 则有解得 ‎ 则圆C的半径为 ‎ 所以圆C的方程为 ‎ ‎⑵设，其坐标满足方程组： ‎ 消去，得到方程 由根与系数的关系可得，‎ 由于可得,‎ 又所以 由①，②得，满足故 ‎22. 已知短轴长为2的椭圆，直线的横、纵截距分别为，且原点到直线的距离为．‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）直线经过椭圆的右焦点且与椭圆交于两点，若椭圆上存在一点满足，求直线的方程 ‎【答案】（1）（2）或.‎ ‎【解析】试题分析：直线的方程有参数，利用原点到其距离为可以得到的大小，从而得到椭圆的方程．（2）中的三点满足向量关系式，将各点坐标代入，可以得到三个点的坐标之间的关系，而在椭圆上，所以两点的坐标满足关系式，再利用两点在直线上，得到关于的一个关系式，利用韦达定理转化为的方程可以解出的值．‎ 解析：（1）因为椭圆的短轴长为2，故.依题意设直线的方程为：，由.解得，故椭圆的方程为.‎ ‎（2）设 ‎ 当直线的斜率为0时，显示不符合题意.‎ 当直线的斜率不为0时，，设其方程为，由，得，所以①.‎ 因为，所以.又点在椭圆上，∴‎ ‎ ‎ ‎.又∵，‎ ‎∴②，将，及①代入②得，即或.故直线的方程为或.‎ 点睛：一般地，当解析几何中问题出现向量等式时，我们先寻找向量隐含的几何意义，如果没有几何意义，可以转化点的坐标讨论.解决直线与圆锥曲线位置关系式，我们常把给定的关系式转化为含有（或）的关系式，最后利用韦达定理转化为所求参数的方程.‎