2019高三数学（人教B版+理）一轮：课时规范练61二项分布与正态分布

2019高三数学（人教B版+理）一轮：课时规范练61二项分布与正态分布

课时规范练61　二项分布与正态分布 基础巩固组 ‎1.某一批花生种子,如果每1粒发芽的概率为‎4‎‎5‎,那么播下3粒这样的种子恰有2粒发芽的概率是(　　)‎ ‎　　　　　　　　　　　　　　　　‎ A.‎12‎‎125‎ B.‎‎16‎‎125‎ C.‎48‎‎125‎ D.‎‎96‎‎125‎ ‎2.(2017辽宁沈阳三模,理8改编)‎ 在如图所示的矩形中随机投掷30 000个点,则落在曲线C下方(曲线C为正态分布N(1,1)的正态曲线)的点的个数的估计值为(　　)‎ ‎(附:正态变量在区间(μ-σ,μ+σ),(μ-2σ,μ+2σ),(μ-3σ,μ+3σ)内取值的概率分别是0.683,0.954,0.997)‎ A.4 985 B.8 185 C.9 970 D.24 555‎ ‎3.(2017福建厦门模拟)甲、乙两人进行乒乓球比赛,比赛采取五局三胜制,无论哪一方先胜三局,则比赛结束.假定甲每局比赛获胜的概率均为‎2‎‎3‎,则甲以3∶1的比分获胜的概率为(　　)‎ A.‎8‎‎27‎ B.‎64‎‎81‎ C.‎4‎‎9‎ D.‎8‎‎9‎〚导学号21500596〛‎ ‎4.(2017广西柳州模拟)把一枚硬币任意抛掷三次,事件A为“至少有一次出现反面”,事件B为“恰有一次出现正面”,则P(B|A)=(　　)‎ A.‎3‎‎7‎ B.‎3‎‎8‎ C.‎7‎‎8‎ D.‎‎1‎‎8‎ ‎5.已知随机变量X服从正态分布N(2,32),且P(X≤1)=0.30,则P(268),求a,b的值;‎ ‎(2)现从样本年龄在[70,80]的票友中组织了一次有关京剧知识的问答,每人回答一个问题,答对赢得一台老年戏曲演唱机,答错没有奖品,假设每人答对的概率均为‎2‎‎3‎,且每个人回答正确与否相互之间没有影响,用η表示票友们赢得老年戏曲演唱机的台数,求η的分布列及数学期望.‎ ‎〚导学号21500600〛‎ 参考答案 课时规范练61　二项分布与 正态分布 ‎1.C　用X表示发芽的粒数,则X服从二项分布B‎3,‎‎4‎‎5‎,P(X=2)=C‎3‎‎2‎‎4‎‎5‎‎2‎‎·‎1‎‎5‎‎1‎=‎‎48‎‎125‎.‎ ‎2.D　由题意P(0110)=‎1-2P(90≤X≤100)‎‎2‎=0.2,所以估计该班学生数学成绩在110分以上的人数为0.2×50=10.‎ ‎9.解 用A表示“甲在4局以内(含4局)赢得比赛”,Ak表示“第k局甲获胜”,Bk表示“第k局乙获胜”,则P(Ak)=‎2‎‎3‎,P(Bk)=‎1‎‎3‎,k=1,2,3,4,5.‎ ‎(1)P(A)=P(A1A2)+P(B1A2A3)+P(A1B2A3A4)‎ ‎=P(A1)P(A2)+P(B1)P(A2)P(A3)+P(A1)P(B2)P(A3)P(A4)‎ ‎=‎2‎‎3‎‎2‎‎+‎1‎‎3‎×‎2‎‎3‎‎2‎+‎2‎‎3‎×‎1‎‎3‎×‎2‎‎3‎‎2‎=‎‎56‎‎81‎.‎ ‎(2)X的可能取值为2,3,4,5.‎ P(X=2)=P(A1A2)+P(B1B2)‎ ‎=P(A1)P(A2)+P(B1)P(B2)‎ ‎=‎5‎‎9‎,‎ P(X=3)=P(B1A2A3)+P(A1B2B3)=P(B1)P(A2)P(A3)+P(A1)P(B2)P(B3)=‎2‎‎9‎,‎ P(X=4)=P(A1B2A3A4)+P(B1A2B3B4)‎ ‎=P(A1)P(B2)P(A3)P(A4)+P(B1)P(A2)P(B3)P(B4)=‎10‎‎81‎,‎ P(X=5)=1-P(X=2)-P(X=3)-P(X=4)=‎8‎‎81‎.‎ 故X的分布列为 X ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ P ‎5‎‎9‎ ‎2‎‎9‎ ‎10‎‎81‎ ‎8‎‎81‎ ‎10.解 (1)设A1表示事件“第一次操作从箱中取出的是红球”,‎ B1表示事件“第一次操作从箱中取出的是白球”,‎ A2表示事件“第二次操作从箱中取出的是红球”,‎ B2表示事件“第二次操作从箱中取出的是白球”.‎ 则A1B2表示事件“第一次操作从箱中取出的是红球,第二次操作从箱中取出的是白球”.‎ 由条件概率计算公式得P(A1B2)=P(A1)P(B2|A1)=‎3‎‎5‎‎×‎2‎‎5‎=‎‎6‎‎25‎.‎ B1A2表示事件“第一次操作从箱中取出的是白球,第二次操作从箱中取出的是红球”.‎ 由条件概率计算公式得P(B1A2)=P(B1)P(A2|B1)=‎2‎‎5‎‎×‎4‎‎5‎=‎‎8‎‎25‎.‎ A1B2+B1A2表示“进行第二次操作后,箱中红球个数为4”,又A1B2与B1A2是互斥事件,‎ 故P(A1B2+B1A2)=P(A1B2)+P(B1A2)=‎6‎‎25‎‎+‎8‎‎25‎=‎‎14‎‎25‎.‎ ‎(2)设进行第二次操作后,箱中红球个数为X,则X=3,4,5.‎ P(X=3)=‎3‎‎5‎‎×‎3‎‎5‎=‎‎9‎‎25‎,P(X=4)=‎14‎‎25‎,P(X=5)=‎2‎‎5‎‎×‎1‎‎5‎=‎‎2‎‎25‎.‎ 进行第二次操作后,箱中红球个数X的分布列为 X ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ P ‎9‎‎25‎ ‎14‎‎25‎ ‎2‎‎25‎ 进行第二次操作后,箱中红球个数X的数学期望E(X)=3×‎9‎‎25‎+4×‎14‎‎25‎+5×‎2‎‎25‎‎=‎‎93‎‎25‎.‎ ‎11.C　假设事件A在每次试验中发生说明试验成功,设每次试验成功的概率为p,由题意得事件A发生的次数X~B(3,p),则有1-(1-p)3=‎63‎‎64‎,得p=‎3‎‎4‎,故事件A恰好发生一次的概率为C‎3‎‎1‎‎×‎3‎‎4‎×‎1-‎‎3‎‎4‎‎2‎=‎‎9‎‎64‎.‎ ‎12.1 620　∵随机变量X~N(2,32),均值是2,且P(X≤1)=P(X≥a),∴a=3,‎ ‎∴(x+a)2ax-‎‎1‎x‎5‎=(x+3)2·‎3x-‎‎1‎x‎5‎=(x2+6x+9)‎3x-‎‎1‎x‎5‎.‎ 又‎3x-‎‎1‎x‎5‎展开式的通项公式为Tr+1=C‎5‎r·(3x)5-r·‎-‎‎1‎xr=(-1)r·35-r·C‎5‎r‎·‎x‎5-‎‎3r‎2‎,‎ 令5-‎3r‎2‎=1,解得r=‎8‎‎3‎,不合题意,舍去;‎ 令5-‎3r‎2‎=2,解得r=2,对应x2的系数为(-1)2·33·C‎5‎‎2‎=270;‎ 令5-‎3r‎2‎=3,解得r=‎4‎‎3‎,不合题意,舍去.‎ ‎∴展开式中x3项的系数是6×270=1 620.‎ ‎13.解 (1)X可能的取值为10,20,100,-200.‎ 根据题意,有 P(X=10)=C‎3‎‎1‎‎×‎1‎‎2‎‎1‎×‎1-‎‎1‎‎2‎‎2‎=‎‎3‎‎8‎,‎ P(X=20)=C‎3‎‎2‎‎×‎1‎‎2‎‎2‎×‎1-‎‎1‎‎2‎‎1‎=‎‎3‎‎8‎,‎ P(X=100)=C‎3‎‎3‎‎×‎1‎‎2‎‎3‎×‎1-‎‎1‎‎2‎‎0‎=‎‎1‎‎8‎,P(X=-200)=C‎3‎‎0‎‎×‎1‎‎2‎‎0‎×‎1-‎‎1‎‎2‎‎3‎=‎‎1‎‎8‎.‎ 所以X的分布列为 X ‎10‎ ‎20‎ ‎100‎ ‎-200‎ P ‎3‎‎8‎ ‎3‎‎8‎ ‎1‎‎8‎ ‎1‎‎8‎ ‎(2)设“第i盘游戏没有出现音乐”为事件Ai(i=1,2,3),则P(A1)=P(A2)=P(A3)=P(X=-200)=‎1‎‎8‎.‎ 所以,“三盘游戏中至少有一次出现音乐”的概率为1-P(A1A2A3)=1-‎1‎‎8‎‎3‎=1-‎1‎‎512‎‎=‎‎511‎‎512‎.‎ 因此,玩三盘游戏至少有一盘出现音乐的概率是‎511‎‎512‎.‎ ‎14.B　甲、乙再打2局,甲胜的概率为‎1‎‎2‎‎×‎1‎‎2‎=‎‎1‎‎4‎;甲、乙再打3局,甲胜的概率为2×‎1‎‎2‎‎×‎1‎‎2‎×‎1‎‎2‎=‎‎1‎‎4‎;甲、乙再打4局,甲胜的概率为3×‎1‎‎2‎‎4‎‎=‎‎3‎‎16‎,所以甲最后获胜的概率为‎1‎‎4‎‎+‎1‎‎4‎+‎3‎‎16‎=‎‎11‎‎16‎,故选B.‎ ‎15.解 (1)根据正态曲线的对称性,由P(ξ<38)=P(ξ>68),得μ=‎38+68‎‎2‎=53.‎ 再由频率分布直方图得 ‎(0.01+0.03+b+0.02+a)×10=1,‎‎0.1×35+0.3×45+10b×55+0.2×65+10a×75=53,‎ 解得a=0.005,‎b=0.035.‎ ‎(2)样本年龄在[70,80]的票友共有0.05×100=5(人),‎ 由题意η=0,1,2,3,4,5,‎ 所以P(η=0)=C‎5‎‎0‎‎1-‎‎2‎‎3‎‎5‎‎=‎‎1‎‎243‎,‎ P(η=1)=C‎5‎‎1‎‎2‎‎3‎‎1-‎‎2‎‎3‎‎4‎‎=‎‎10‎‎243‎,‎ P(η=2)=C‎5‎‎2‎‎2‎‎3‎‎2‎‎1-‎‎2‎‎3‎‎3‎‎=‎‎40‎‎243‎,‎ P(η=3)=C‎5‎‎3‎‎2‎‎3‎‎3‎‎1-‎‎2‎‎3‎‎2‎‎=‎‎80‎‎243‎,‎ P(η=4)=C‎5‎‎4‎‎2‎‎3‎‎4‎‎1-‎‎2‎‎3‎‎1‎‎=‎‎80‎‎243‎,‎ P(η=5)=C‎5‎‎5‎‎2‎‎3‎‎5‎‎=‎‎32‎‎243‎,‎ 所以η的分布列为 η ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ P ‎1‎‎243‎ ‎10‎‎243‎ ‎40‎‎243‎ ‎80‎‎243‎ ‎80‎‎243‎ ‎32‎‎243‎ 所以E(η)=0×‎1‎‎243‎+1×‎10‎‎243‎+2×‎40‎‎243‎+3×‎80‎‎243‎+4×‎80‎‎243‎+5×‎32‎‎243‎‎=‎‎10‎‎3‎,‎ 或根据题设,η~B‎5,‎‎2‎‎3‎,P(η=k)=C‎5‎k‎2‎‎3‎k‎1-‎‎2‎‎3‎‎5-k(k=0,1,2,3,4,5),‎ 所以E(η)=5×‎2‎‎3‎‎=‎‎10‎‎3‎.‎