数学卷·2018届江西省赣州市兴国三中高二上学期第一次月考数学试卷 （解析版）

数学卷·2018届江西省赣州市兴国三中高二上学期第一次月考数学试卷 （解析版）

‎2016-2017学年江西省赣州市兴国三中高二（上）第一次月考数学试卷 ‎　‎ 一．选择题（共12小题，每小题5分共60分）‎ ‎1．圆（x+2）2+（y+3）2=2的圆心和半径分别是（　　）‎ A．（2，3）、 B．（﹣2，﹣3）、2 C．（2，3）、1 D．（﹣2，﹣3）、‎ ‎2．如果过点A（x，4）和（﹣2，x）的直线的斜率等于1，那么x=（　　）‎ A．4 B．1 C．1或3 D．1或4‎ ‎3．如果直线ax+2y+2=0与3x﹣y﹣2=0互相垂直，那么系数a=（　　）‎ A．﹣3 B．﹣6 C． D．‎ ‎4．直线3x﹣4y﹣9=0与圆x2+y2=4的位置关系是（　　）‎ A．相交但不过圆心 B．相交且过圆心 C．相切 D．相离 ‎5．已知点（3，M）到直线x+y﹣4=0的距离等于1，则m等于（　　）‎ A． B．﹣ C．﹣ D．或﹣‎ ‎6．若方程x2+y2﹣x+y+m=0表示圆，则m实数的取值范围为（　　）‎ A． B．（﹣∞，0） C．（﹣∞，﹣1） D．（﹣∞，2）‎ ‎7．下列说法正确的是（　　）‎ A．三点确定一个平面 B．四边形一定是平面图形 C．梯形一定是平面图形 D．平面α和平面β有不同在一条直线上的三个交点 ‎8．垂直于同一条直线的两条直线一定（　　）‎ A．平行 B．相交 C．异面 D．以上都有可能 ‎9．下列四个说法：‎ ‎①a∥α，b⊊α，则a∥b；‎ ‎②a∩α=P，b⊊α，则a与b不平行；‎ ‎③a⊄α，则a∥α；‎ ‎④a∥α，b∥α，则a∥b．‎ 其中错误的说法的个数是（　　）‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎10．若直线l∥平面α，直线a⊊α，则l与a的位置关系是（　　）‎ A．l∥a B．l与a异面 C．l与a相交 D．l与a没有公共点 ‎11．如图是一个几何体的三视图，根据图中数据，该几何体的体积是（　　）‎ A．27 B．9π C．π D．33‎ ‎12．a，b，c表示直线，M表示平面，给出下列四个命题：‎ ‎①若a∥M，b∥M，则a∥b；‎ ‎②若b⊊M，a∥b，则a∥M；‎ ‎③若a⊥c，b⊥c，则a∥b；‎ ‎④若a⊥M，b⊥M，则a∥b．‎ 其中正确的命题的个数是（　　）‎ A．0 B．1 C．2 D．3‎ ‎　‎ 二．填空题（共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13．已知空间两点的坐标分别为A（1，0，﹣3），B（4，﹣2，1），则|AB|=　　．‎ ‎14．已知两圆x2+y2=10和（x﹣1）2+（y﹣3）2=20相交于A，B两点，则直线AB的方程是　　．‎ ‎15．已知PA垂直平行四边形ABCD所在平面，若PC⊥BD，平行四边形ABCD一定是　　．‎ ‎16．已知正方体的棱长为1，F，E分别为AC和BC′的中点，则线段EF的长为　　．‎ ‎　‎ 三．解答题（共6小题）‎ ‎17．求圆C：x2+y2﹣4x+4y+4=0被直线l：x﹣y﹣5=0所截的弦的长度．‎ ‎18．设锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=2bsinA ‎（Ⅰ）求B的大小；‎ ‎（Ⅱ）若，c=5，求b．‎ ‎19．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1，O是底ABCD对角线的交点．求证：‎ ‎（1）C1O∥面AB1D1；‎ ‎（2）A1C⊥面AB1D1．‎ ‎20．变量x，y满足，‎ ‎①设z=，求z的最小值；‎ ‎②设z=x2+y2求z的取值范围．‎ ‎21．已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=4，对一切正整数n，都有Sn﹣an+2=0．‎ ‎（1）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（2）设bn=an•log，求数列{bn}的前n项和Tn．‎ ‎22．已知圆C：x2+y2+2x﹣4y+3=0．‎ ‎（1）若圆C的切线在x轴和y轴上的截距相等，求此切线的方程；‎ ‎（2）从圆C外一点P（x1，y1）向该圆引一条切线，切点为M，O为坐标原点，且有|PM|=|PO|，求使得|PM|取得最小值的点P的坐标．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年江西省赣州市兴国三中高二（上）第一次月考数学试卷 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一．选择题（共12小题，每小题5分共60分）‎ ‎1．圆（x+2）2+（y+3）2=2的圆心和半径分别是（　　）‎ A．（2，3）、 B．（﹣2，﹣3）、2 C．（2，3）、1 D．（﹣2，﹣3）、‎ ‎【考点】圆的标准方程．‎ ‎【分析】根据圆的标准方程找出圆心坐标和半径即可．‎ ‎【解答】解：由圆的标准方程（x+2）2+（y+3）2=2，‎ 得到圆心坐标为（﹣2，﹣3），圆的半径r=．‎ 故选D ‎　‎ ‎2．如果过点A（x，4）和（﹣2，x）的直线的斜率等于1，那么x=（　　）‎ A．4 B．1 C．1或3 D．1或4‎ ‎【考点】两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系．‎ ‎【分析】由题意可得1=，解之即可．‎ ‎【解答】解：由于直线的斜率等于1，‎ 故1=，解得x=1‎ 故选B ‎　‎ ‎3．如果直线ax+2y+2=0与3x﹣y﹣2=0互相垂直，那么系数a=（　　）‎ A．﹣3 B．﹣6 C． D．‎ ‎【考点】两条直线垂直的判定．‎ ‎【分析】通过两条直线的垂直，利用斜率乘积为﹣1，即可求解a的值．‎ ‎【解答】解：因为直线ax+2y+2=0与3x﹣y﹣2=0互相垂直，‎ 所以，所以a=．‎ 故选D．‎ ‎　‎ ‎4．直线3x﹣4y﹣9=0与圆x2+y2=4的位置关系是（　　）‎ A．相交但不过圆心 B．相交且过圆心 C．相切 D．相离 ‎【考点】直线与圆的位置关系．‎ ‎【分析】先求出圆心（0，0）到直线3x﹣4y﹣9=0的距离d，再根据它大于零小于半径，可得直线和圆相交但不过圆心．‎ ‎【解答】解：由于圆心（0，0）到直线3x﹣4y﹣9=0的距离d==＜2（半径r），‎ 再根据d＞0，可得直线和圆相交但不过圆心，‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎5．已知点（3，M）到直线x+y﹣4=0的距离等于1，则m等于（　　）‎ A． B．﹣ C．﹣ D．或﹣‎ ‎【考点】点到直线的距离公式．‎ ‎【分析】利用点到直线的距离公式即可得出．‎ ‎【解答】解：∵点（3，m）到直线x+y﹣4=0的距离等于1，‎ ‎∴=1，‎ 解得m=或﹣．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎6．若方程x2+y2﹣x+y+m=0表示圆，则m实数的取值范围为（　　）‎ A． B．（﹣∞，0） C．（﹣∞，﹣1） D．（﹣∞，2）‎ ‎【考点】二元二次方程表示圆的条件．‎ ‎【分析】由圆的一般式方程可得D2+E2﹣4F＞0，即 1+1﹣4m＞0，由此求得m的范围．‎ ‎【解答】解：由圆的一般式方程可得D2+E2﹣4F＞0，即 1+1﹣4m＞0，求得 m＜，‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎7．下列说法正确的是（　　）‎ A．三点确定一个平面 B．四边形一定是平面图形 C．梯形一定是平面图形 D．平面α和平面β有不同在一条直线上的三个交点 ‎【考点】平面的基本性质及推论．‎ ‎【分析】不共线的三点确定一个平面，两条平行线确定一个平面，得到A，B，C三个选项的正误，根据两个平面如果相交一定有一条交线，确定D选项是错误的，得到结果．‎ ‎【解答】解：A．不共线的三点确定一个平面，故A不正确，‎ B．四边形有时是指空间四边形，故B不正确，‎ C．梯形的上底和下底平行，可以确定一个平面，故C正确，‎ D．两个平面如果相交一定有一条交线，所有的两个平面的公共点都在这条交线上，故D不正确．‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎8．垂直于同一条直线的两条直线一定（　　）‎ A．平行 B．相交 C．异面 D．以上都有可能 ‎【考点】空间中直线与直线之间的位置关系．‎ ‎【分析】根据在同一平面内两直线平行或相交，在空间内两直线平行、相交或异面判断．‎ ‎【解答】解：分两种情况：①在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行；‎ ‎②在空间内垂直于同一条直线的两条直线可以平行、相交或异面．‎ 故选D ‎　‎ ‎9．下列四个说法：‎ ‎①a∥α，b⊊α，则a∥b；‎ ‎②a∩α=P，b⊊α，则a与b不平行；‎ ‎③a⊄α，则a∥α；‎ ‎④a∥α，b∥α，则a∥b．‎ 其中错误的说法的个数是（　　）‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎【考点】命题的真假判断与应用．‎ ‎【分析】根据直线与直线的位置关系，直线与平面的位置关系，逐一分析四个结论的真假，可得答案．‎ ‎【解答】解：①a∥α，b⊊α，则a与b可能平行，也可能异面，故①错误；‎ ‎②a∩α=P，b⊊α，则a与b可能相交，也可能异面，但不平行，故②正确；‎ ‎③a⊄α，则a与α可能平行，可能相交，故③错误；‎ ‎④a∥α，b∥α，则a与b可能平行，可能相交，也可能异面，故④错误．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎10．若直线l∥平面α，直线a⊊α，则l与a的位置关系是（　　）‎ A．l∥a B．l与a异面 C．l与a相交 D．l与a没有公共点 ‎【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．‎ ‎【分析】以正方体为载体，列举出所有可能结果，由此能求出结果．‎ ‎【解答】解：在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，‎ 直线A1B1∥面ABCD，AB⊂面ABCD，A1B1∥AB；‎ 直线A1B1∥面ABCD，AD⊂面ABCD，且A1B1与AD是异面直线．‎ ‎∵直线l∥平面α，直线a⊊α，‎ ‎∴l与a的位置关系是平面或异面，‎ ‎∴l与a没有公共点．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎11．如图是一个几何体的三视图，根据图中数据，该几何体的体积是（　　）‎ A．27 B．9π C．π D．33‎ ‎【考点】由三视图求面积、体积．‎ ‎【分析】由已知中三视图，我们可以分析出该几何体是一个组合体，由一个棱长为3的正方体和一个底面棱长为3，高为2的正四棱锥组成，分别代入正方体体积公式及棱锥体积公式，即可求出答案．‎ ‎【解答】解：根据已知中的三视图可知 该几何体由一个正方体和一个正四棱锥组成 其中正方体的棱长为3，故V正方体=3×3×3=27，‎ 正四棱锥的底面棱长为3，高为2，故V正四棱锥=×3×3×2=6‎ 故这个几何体的体积V=27+6=33‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎12．a，b，c表示直线，M表示平面，给出下列四个命题：‎ ‎①若a∥M，b∥M，则a∥b；‎ ‎②若b⊊M，a∥b，则a∥M；‎ ‎③若a⊥c，b⊥c，则a∥b；‎ ‎④若a⊥M，b⊥M，则a∥b．‎ 其中正确的命题的个数是（　　）‎ A．0 B．1 C．2 D．3‎ ‎【考点】命题的真假判断与应用；空间中直线与平面之间的位置关系．‎ ‎【分析】①平行于同一平面的两直线平行a与b可以是任何位置关系；②中可以a⊂M；‎ ‎③如正方体从同一点出发的三条线；④间垂直同一平面的两条直线平行．‎ ‎【解答】解：对于①，平行于同一平面的两直线平行a与b可以是任何位置关系，错误；‎ 对于②，中可以a⊂M，错误；‎ 对于③，中正方体从同一点出发的三条线，也错误；‎ 对于④，空间垂直同一平面的两条直线平行，正确，‎ 故选：B ‎　‎ 二．填空题（共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13．已知空间两点的坐标分别为A（1，0，﹣3），B（4，﹣2，1），则|AB|=　　．‎ ‎【考点】空间两点间的距离公式．‎ ‎【分析】直接利用空间距离公式求解即可．‎ ‎【解答】解：空间两点的坐标分别为A（1，0，﹣3），B（4，﹣2，1），‎ 则|AB|==．‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎14．已知两圆x2+y2=10和（x﹣1）2+（y﹣3）2=20相交于A，B两点，则直线AB的方程是　x+3y=0　．‎ ‎【考点】相交弦所在直线的方程．‎ ‎【分析】当判断出两圆相交时，直接将两个圆方程作差，即得两圆的公共弦所在的直线方程．‎ ‎【解答】解：因为两圆相交于A，B两点，则A，B两点的坐标坐标既满足第一个圆的方程，又满足第二个圆的方程 将两个圆方程作差，得直线AB的方程是：x+3y=0，‎ 故答案为 x+3y=0．‎ ‎　‎ ‎15．已知PA垂直平行四边形ABCD所在平面，若PC⊥BD，平行四边形ABCD一定是　菱形　．‎ ‎【考点】空间中直线与直线之间的位置关系．‎ ‎【分析】根据题意，画出图形，利用线面平行的判定定理和性质定理，可知AC⊥BD，由对角线互相垂直的平行四边形是菱形．即可得出结论．‎ ‎【解答】解：根据题意，画出图形如图，‎ ‎∵PA垂直平行四边形ABCD所在平面，‎ ‎∴PA⊥BD，‎ 又∵PC⊥BD，PA⊂平面ABCD，PC⊂平面ABCD，PA∩PC=P．‎ ‎∴BD⊥平面PAC 又∵AC⊂平面PAC ‎∴AC⊥BD 又ABCD是平行四边形 ‎∴平行四边形ABCD一定是 菱形．‎ 故答案为：菱形．‎ ‎　‎ ‎16．已知正方体的棱长为1，F，E分别为AC和BC′的中点，则线段EF的长为　　．‎ ‎【考点】棱柱的结构特征．‎ ‎【分析】根据题意画出图形，建立空间直角坐标系，由棱长AB=1，表示出向量，求出||即可．‎ ‎【解答】解：画出图形，建立空间直角坐标系，如图所示；‎ ‎∵AB=1，‎ ‎∴A（1，0，0），C（0，1，0），‎ ‎∴F（，，0）；‎ 又∵B（1，1，0），C′（0，1，1），‎ ‎∴E（，1，）；‎ ‎∴=（0，﹣，﹣），‎ ‎∴||==．‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ 三．解答题（共6小题）‎ ‎17．求圆C：x2+y2﹣4x+4y+4=0被直线l：x﹣y﹣5=0所截的弦的长度．‎ ‎【考点】直线与圆相交的性质．‎ ‎【分析】圆的方程化为标准方程，求出圆心C到直线l：x﹣y﹣5=0的距离，利用勾股定理，可得结论．‎ ‎【解答】解：圆C：x2+y2﹣4x+4y+4=0可化为（x﹣2）2+（y+2）2=4，‎ ‎∴圆心坐标C（2，﹣2），圆的半径为2，‎ ‎∴圆心C到直线l：x﹣y﹣5=0的距离为=，‎ ‎∴圆C：x2+y2﹣4x+4y+4=0被直线l：x﹣y﹣5=0所截的弦的长度为2=．‎ ‎　‎ ‎18．设锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=2bsinA ‎（Ⅰ）求B的大小；‎ ‎（Ⅱ）若，c=5，求b．‎ ‎【考点】正弦定理的应用；余弦定理的应用．‎ ‎【分析】（1）根据正弦定理将边的关系化为角的关系，然后即可求出角B的正弦值，再由△ABC为锐角三角形可得答案．‎ ‎（2）根据（1）中所求角B的值，和余弦定理直接可求b的值．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）由a=2bsinA，‎ 根据正弦定理得sinA=2sinBsinA，所以，‎ 由△ABC为锐角三角形得．‎ ‎（Ⅱ）根据余弦定理，得b2=a2+c2﹣2accosB=27+25﹣45=7．‎ 所以，．‎ ‎　‎ ‎19．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1，O是底ABCD对角线的交点．求证：‎ ‎（1）C1O∥面AB1D1；‎ ‎（2）A1C⊥面AB1D1．‎ ‎【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．‎ ‎【分析】（1）欲证C1O∥面AB1D1，根据直线与平面平行的判定定理可知只需证C1O与面AB1D1内一直线平行，连接A1C1，设A1C1∩B1D1=O1，连接AO1，易得C1O∥AO1，AO1⊂面AB1D1，C1O⊄面AB1D1，满足定理所需条件；‎ ‎（2）欲证A1C⊥面AB1D1，根据直线与平面垂直的判定定理可知只需证A1C与面AB1D1内两相交直线垂直根据线面垂直的性质可知A1C⊥B1D1，同理可证A1C⊥AB1，又D1B1∩AB1=B1，满足定理所需条件．‎ ‎【解答】证明：（1）连接A1C1，设A1C1∩B1D1=O1，连接AO1，‎ ‎∵ABCD﹣A1B1C1D1是正方体，‎ ‎∴A1ACC1是平行四边形，‎ ‎∴A1C1∥AC且A1C1=AC，‎ 又O1，O分别是A1C1，AC的中点，‎ ‎∴O1C1∥AO且O1C1=AO，‎ ‎∴AOC1O1是平行四边形，‎ ‎∴C1O∥AO1，AO1⊂面AB1D1，C1O⊄面AB1D1，‎ ‎∴C1O∥面AB1D1；‎ ‎（2）∵CC1⊥面A1B1C1D1∴CC1⊥B1D!，‎ 又∵A1C1⊥B1D1，∴B1D1⊥面A1C1C，即A1C⊥B1D1，‎ ‎∵A1B⊥AB1，BC⊥AB1，又A1B∩BC=B，‎ AB1⊥平面A1BC，又A1C⊂平面A1BC，‎ ‎∴A1C⊥AB1，又D1B1∩AB1=B1，‎ ‎∴A1C⊥面AB1D1‎ ‎　‎ ‎20．变量x，y满足，‎ ‎①设z=，求z的最小值；‎ ‎②设z=x2+y2求z的取值范围．‎ ‎【考点】简单线性规划．‎ ‎【分析】作出平面区域，利用z的几何意义即可得到结论．‎ ‎【解答】解：由约束条件可作 的可行域如图，且 ‎①z=的值即是可行域中的点与原点O连线的斜率，由图得OB的斜率最小，‎ 由，解得，即B（5，2），‎ 此时z==．‎ ‎②z=x2+y2的几何意义是可行域上的到原点O的距离的平方，结合图形可知，OB的长度最大，‎ 即z的最大值为z=x2+y2=25+4=29，‎ OC的长度最小，‎ 由，得，即C（1，1），‎ 此时zmin=1+1=2．‎ ‎　‎ ‎21．已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=4，对一切正整数n，都有Sn﹣an+2=0．‎ ‎（1）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（2）设bn=an•log，求数列{bn}的前n项和Tn．‎ ‎【考点】数列的求和；数列递推式．‎ ‎【分析】（1）根据对一切正整数n，都有Sn﹣an+2=0，再写一式，两式相减，即可求得数列{an}的通项公式；‎ ‎（2）求得数列{bn}的通项，再利用错位相减法，即可求得数列{bn}的前n项的和Tn．‎ ‎【解答】解：（1）由题意对一切正整数n，都有Sn﹣an+2=0，‎ 当n≥2时， Sn﹣1﹣an﹣1+2=0．‎ 两式相减可得（Sn﹣Sn﹣1）﹣an+an﹣1=0，‎ 即为an﹣an+an﹣1=0，即有an=2an﹣1，‎ ‎∴数列{an}的通项公式为an=4•2n﹣1=2n+1．‎ ‎（2）∵bn=an•log=（n+1）•2n+1，‎ ‎∴前n项和Tn=2•22+3•23+…+（n+1）•2n+1，‎ ‎2Tn=2•23+3•24+…+（n+1）•2n+2，‎ 两式相减可得﹣Tn=8+23+…+2n+1﹣（n+1）•2n+2‎ ‎=8+﹣（n+1）•2n+2，‎ 化简可得Tn=（n+1）•2n+2﹣23•2n﹣1=n•2n+2．‎ ‎　‎ ‎22．已知圆C：x2+y2+2x﹣4y+3=0．‎ ‎（1）若圆C的切线在x轴和y轴上的截距相等，求此切线的方程；‎ ‎（2）从圆C外一点P（x1，y1）向该圆引一条切线，切点为M，O为坐标原点，且有|PM|=|PO|，求使得|PM|取得最小值的点P的坐标．‎ ‎【考点】直线与圆的位置关系．‎ ‎【分析】（1）当截距不为0时，根据圆C的切线在x轴和y轴的截距相等，设出切线方程x+y=a，然后利用点到直线的距离公式求出圆心到切线的距离d，让d等于圆的半径r，列出关于a的方程，求出方程的解即可得到a的值，得到切线的方程；当截距为0时，设出切线方程为y=kx，同理列出关于k的方程，求出方程的解即可得到k的值，得到切线的方程；‎ ‎（2）根据圆切线垂直于过切点的半径，得到三角形CPM为直角三角形，根据勾股定理表示出点P的轨迹方程，由轨迹方程得到动点P的轨迹为一条直线，所以|PM|的最小值就是|PO|的最小值，求出原点到P轨迹方程的距离即为|PO|的最小值，然后利用两点间的距离公式表示出P到O的距离，把P代入动点的轨迹方程，两者联立即可此时P的坐标．‎ ‎【解答】解：（1）∵切线在两坐标轴上的截距相等，‎ ‎∴当截距不为零时，设切线方程为x+y=a，‎ 又∵圆C：（x+1）2+（y﹣2）2=2，‎ ‎∴圆心C（﹣1，2）到切线的距离等于圆的半径，‎ 即，‎ 解得：a=﹣1或a=3，‎ 当截距为零时，设y=kx，‎ 同理可得或，‎ 则所求切线的方程为x+y+1=0或x+y﹣3=0或或．‎ ‎（2）∵切线PM与半径CM垂直，‎ ‎∴|PM|2=|PC|2﹣|CM|2．‎ ‎∴（x1+1）2+（y1﹣2）2﹣2=x12+y12．‎ ‎∴2x1﹣4y1+3=0．‎ ‎∴动点P的轨迹是直线2x﹣4y+3=0．‎ ‎∴|PM|的最小值就是|PO|的最小值．‎ 而|PO|的最小值为原点O到直线2x﹣4y+3=0的距离，‎ ‎∴由，可得 故所求点P的坐标为．‎ ‎　‎