【数学】2021届一轮复习人教A版八个无敌模型——全搞定空间几何的外接球和内切球问题学案

【数学】2021届一轮复习人教A版八个无敌模型——全搞定空间几何的外接球和内切球问题学案

八个有趣模型——搞定空间几何体的外接球与内切球 类型一、墙角模型（三条线两个垂直，不找球心的位置即可求出球半径）‎ ‎ ‎ 方法：找三条两两垂直的线段，直接用公式，即，求出 例1 （1）已知各顶点都在同一球面上的正四棱柱的高为，体积为，则这个球的表面积是（ C ）‎ A． B． C． D．‎ ‎（2）若三棱锥的三个侧面两垂直，且侧棱长均为，则其外接球的表面积是 ‎ 解：（1），，，，选C； ‎ ‎（2），‎ ‎（3）在正三棱锥中，分别是棱的中点，且,若侧棱,则正三棱锥外接球的表面积是 。‎ 解：引理：正三棱锥的对棱互垂直。证明如下：‎ 如图（3）-1，取的中点，连接，交于，连接，则是底面正三角形的中心，平面，，‎ ‎，，，平面，‎ ‎，同理：，，即正三棱锥的对棱互垂直，‎ 本题图如图（3）-2， ，，‎ ‎，，平面，‎ ‎，，，，‎ 平面，，‎ 故三棱锥的三棱条侧棱两两互相垂直，‎ ‎，即，‎ 正三棱锥外接球的表面积是 ‎（4）在四面体中，，则该四面体的外接球的表面积为（ D ） ‎ ‎（5）如果三棱锥的三个侧面两两垂直，它们的面积分别为、、，那么它的外接球的表面积是 ‎ ‎（6）已知某几何体的三视图如图所示，三视图是腰长为的等腰直角三角形和边长为的正方形，则该几何体外接球的体积为 ‎ 解析：（4）在中，，‎ ‎，的外接球直径为，‎ ‎，，选D ‎（5）三条侧棱两两生直，设三条侧棱长分别为（），则 ‎，，，，，，，‎ ‎（6），，‎ ‎，‎ 类型二、垂面模型（一条直线垂直于一个平面）‎ ‎1．题设：如图5，平面 解题步骤：‎ 第一步：将画在小圆面上，为小圆直径的一个端点，作小圆的直 ‎ 径，连接，则必过球心；‎ 第二步：为的外心，所以平面，算出小圆的半 径（三角形的外接圆直径算法：利用正弦定理，得 ‎），；‎ 第三步：利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：①；‎ ②‎ ‎2．题设：如图6，7，8，的射影是的外心三棱锥的三条侧棱相等三棱锥的底面在圆锥的底上，顶点点也是圆锥的顶点 ‎ ‎ ‎ ‎ 解题步骤：‎ 第一步：确定球心的位置，取的外心，则三点共线；‎ 第二步：先算出小圆的半径，再算出棱锥的高（也是圆锥的高）；‎ 第三步：勾股定理：，解出 方法二：小圆直径参与构造大圆。‎ 例2 一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体外接球的表面积为( )C A． B． C． D．以上都不对 ‎ 解：选C，,, ,‎ ‎,‎ 类型三、切瓜模型（两个平面互相垂直）‎ ‎ ‎ ‎1．题设：如图9-1，平面平面，且（即为小圆的直径）‎ 第一步：易知球心必是的外心，即的外接圆是大圆，先求出小圆的直径；‎ 第二步：在中，可根据正弦定理，求出 ‎2．如图9-2，平面平面，且（即为小圆的直径）‎ ‎ ‎ ‎3．如图9-3，平面平面，且（即为小圆的直径），且的射影是的外心三棱锥的三条侧棱相等三棱的底面在圆锥的底上，顶点点也是圆锥的顶点 解题步骤：‎ 第一步：确定球心的位置，取的外心，则三点共线；‎ 第二步：先算出小圆的半径，再算出棱锥的高（也是圆锥的高）；‎ 第三步：勾股定理：，解出 ‎4．如图9-3，平面平面，且（即为小圆的直径），且，则 利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：①；‎ ②‎ 例3 （1）正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为1，底面边长为，则该球的表面积为 。‎ ‎（2）正四棱锥的底面边长和各侧棱长都为，各顶点都在同一个球面上，则此球的体积为 ‎ 解：（1）由正弦定理或找球心都可得，，‎ ‎（2）方法一：找球心的位置，易知，，，故球心在正方形的中心处，，‎ 方法二：大圆是轴截面所的外接圆，即大圆是的外接圆，此处特殊，的斜边是球半径，‎ ‎，，‎ ‎（3）在三棱锥中，,侧棱与底面所成的角为，则该三棱锥外接球的体积为（ ） ‎ A．　 B.　 C. 4　 D.‎ 解：选D，圆锥在以的圆上，‎ ‎（4）已知三棱锥的所有顶点都在球的求面上,是边长为的正三角形,为球的直径,且，则此棱锥的体积为（　　）A A． B． C． D．‎ 解：，，‎ 类型四、汉堡模型（直棱柱的外接球、圆柱的外接球）‎ ‎ ‎ 题设：如图10-1，图10-2，图10-3,直三棱柱内接于球（同时直棱柱也内接于圆柱，棱柱的上下底面可以是任意三角形）‎ 第一步：确定球心的位置，是的外心，则平面；‎ 第二步：算出小圆的半径，（也是圆柱的高）；‎ 第三步：勾股定理：，解出 例4 （1）一个正六棱柱的底面上正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为，底面周长为，则这个球的体积为 ‎ 解：设正六边形边长为，正六棱柱的高为，底面外接圆的关径为，则，‎ 底面积为，，，，‎ ‎，球的体积为 ‎（2）直三棱柱的各顶点都在同一球面上，若,，则此球的表面积等于 。‎ 解：，，，，‎ ‎（3）已知所在的平面与矩形所在的平面互相垂直，，则多面体的外接球的表面积为 。‎ 解析：折叠型，法一：的外接圆半径为，，‎ ‎；法二：，，，，‎ ‎（4）在直三棱柱中，则直三棱柱的外接球的表面积为 。‎ 解析：，，，，‎ ‎，‎ 类型五、折叠模型 题设：两个全等三角形或等腰三角形拼在一起，或菱形折叠(如图11)‎ 第一步：先画出如图所示的图形，将画在小圆上，找出和的外心和；‎ 第二步：过和分别作平面和平面的垂线，两垂线的交点即为球心，连接；‎ 第三步：解，算出，在中，勾股定理：‎ 例5三棱锥中，平面平面，△和△均为边长为的正三角形，则三棱锥外接球的半径为 .‎ 解析：，，，‎ ‎，；‎ 法二：，，，‎ ‎，‎ 类型六、对棱相等模型（补形为长方体）‎ 题设：三棱锥（即四面体）中，已知三组对棱分别相等，求外接球半径（，，）‎ 第一步：画出一个长方体，标出三组互为异面直线的对棱；‎ 第二步：设出长方体的长宽高分别为，，，，列方程组，‎ ‎，‎ 补充：‎ 第三步：根据墙角模型，，‎ ‎，，求出，‎ 例如，正四面体的外接球半径可用此法。‎ 例6（1）棱长为的正四面体的四个顶点都在同一个球面上，若过该球球心的一 个截面如图，则图中三角形(正四面体的截面)的面积是 . ‎ ‎（2）一个正三棱锥的四个顶点都在半径为的球面上，其中底面的三个顶点 在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ 解：（1）截面为，面积是；‎ ‎（2）高，底面外接圆的半径为，直径为，‎ 设底面边长为，则，，，‎ 三棱锥的体积为 ‎ ‎（3）在三棱锥中，则三棱锥外接球的表面积为 。‎ 解析：如图12，设补形为长方体，三个长度为三对面的对角线长，设长宽高分别为，则，‎ ‎，，，‎ ‎，，‎ ‎（4）如图所示三棱锥，其中则该三棱锥外接球的表面积为 . ‎ 解析：同上，设补形为长方体，三个长度为三对面的对角线长，设长宽高分别为，，，，‎ ‎【55；对称几何体；放到长方体中】‎ ‎（5）正四面体的各条棱长都为，则该正面体外接球的体积为 ‎ 解析：这是特殊情况，但也是对棱相等的模式，放入长方体中，，‎ ‎，，‎ 类型七、两直角三角形拼接在一起(斜边相同,也可看作矩形沿对角线折起所得三棱锥)模型 题设：，求三棱锥外接球半径（分析：取公共的斜边的中点，连接 ‎，则，为三棱锥外接球球心，然后在中求出半径），当看作矩形沿对角线折起所得三棱锥时与折起成的二面角大小无关，只要不是平角球半径都为定值。‎ 例7（1）在矩形中，，，沿将矩形折成一个直二面角，则四面体的外接球的体积为（ ）‎ A． B． C． D．‎ 解：（1），，，选C ‎（2）在矩形中，，，沿将矩形折叠，连接，所得三棱锥的外接球的表面积为 ．‎ ‎ 解析：（2）的中点是球心，，；‎ 类型八、锥体的内切球问题 ‎1．题设：如图14，三棱锥上正三棱锥，求其外接球的半径。‎ 第一步：先现出内切球的截面图，分别是两个三角形的外心；‎ 第二步：求，，是侧面的高；‎ 第三步：由相似于，建立等式：，解出 ‎2．题设：如图15，四棱锥上正四棱锥，求其外接球的半径 第一步：先现出内切球的截面图，三点共线；‎ 第二步：求，，是侧面的高；‎ 第三步：由相似于，建立等式：，解出 ‎3．题设：三棱锥是任意三棱锥，求其的内切球半径 方法：等体积法，即内切球球心与四个面构成的四个三棱锥的体积之和相等 第一步：先画出四个表面的面积和整个锥体体积；‎ 第二步：设内切球的半径为，建立等式：‎ 第三步：解出 习题：‎ ‎1．若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且，，则该三棱锥的外接球半径为（ ）‎ A. B. C. D.‎ 解：【A】，‎ ‎【三棱锥有一侧棱垂直于底面，且底面是直角三角形】【共两种】‎ 2． 三棱锥中，侧棱平面，底面是边长为的正三角形，，则该三棱锥的外接球体积等于 . ‎ 解析：，，，，外接球体积 ‎【外心法（加中垂线）找球心；正弦定理求球小圆半径】‎ ‎3．正三棱锥中，底面是边长为的正三角形，侧棱长为，则该三棱锥的外接球体积等于 .‎ 解析：外接圆的半径为 ，三棱锥的直径为，外接球半径，‎ 或，，外接球体积，‎ ‎4．三棱锥中，平面平面，△边长为的正三角形，，则三棱锥外接球的半径为 .‎ 解析：的外接圆是大圆，，，‎ 5． 三棱锥中，平面平面，，，，则三棱锥外接球的半径为 .‎ 解析：，，，‎ ‎，‎ 6． 三棱锥中，平面平面，，，，则三棱锥外接球的半径为 .‎ 解：是公共的斜边，的中点是球心，球半径为