【推荐】专题1-3 简单的逻辑联结词-试题君之K三关2017-2018学年高二数学人教版（选修1-1）x

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‎1.3 简单的逻辑联结词 一、逻辑联结词“且”‎ ‎1．一般地，用联结词“且”把命题p和q联结起来，就得到一个新命题，记作__________，读作p且q．‎ ‎2．关于逻辑联结词“且”‎ ‎（1）“且”的含义与日常语言中的“并且”、“及”、“和”相当，是连词“既……又……”的意思，二者须__________成立．‎ ‎（2）从如图所示串联开关电路上看，当两个开关S1、S2__________时，灯才能亮；当两个开关S1、S2中一个不闭合或两个都不闭合时，灯都不会亮．‎ ‎（3）从集合角度理解“且”即集合运算“__________”．‎ 设命题p：，命题q：，‎ 则且．‎ ‎（4）“”是这样的一个复合命题：当p、q都是真命题时，是__________命题；当p、q两个命题中有一个命题是假命题时，是__________命题．‎ 二、逻辑联结词“或”‎ ‎1．一般地，用联结词“或”把命题p和q联结起来，就得到一个新命题，记作__________，读作p或q．‎ ‎2．关于逻辑联结词“或”‎ ‎（1）“或”的含义和日常语言中的“或者”相当．是“要么……要么……”的意义，二者中有__________成立即可．‎ ‎（2）从并联开关电路上看，当两个开关S1、S2至少有一个闭合时，灯就亮，只有当两个开关S1和S2__________时，灯才不会亮．‎ ‎（3）从集合角度理解“或”即集合运算“__________”．‎ 设命题p：，命题q：，‎ 则或．‎ ‎（4）当p、q两个命题中有一个命题是真命题时，是__________命题；‎ 当p、q两个命题都是假命题时，是__________命题．‎ ‎（5）逻辑联结词“或”与自然语言中的“或者”、“可能”相当，但自然语言中的“或者”有两种用法：‎ 一是“不可兼”的“或”；‎ 二是“可兼”的“或”，而我们仅研究可兼“或”在数学中的含义．‎ 三、逻辑联结词“非”‎ ‎1．一般地，对命题p加以否定，就得到一个新的命题，记作__________，读作__________或__________．‎ ‎2．若p是真命题，则¬p是__________命题，若p是假命题，则¬p是__________命题．‎ 含有逻辑联结词的命题的真假判断如表：‎ 或 且 真 真 真 真 假 真 假 真 假 假 假 真 真 假 真 假 假 假 假 真 ‎3．根据“且”、“或”的含义，“p∧q”的否定为“__________”，“p∨q”的否定为“__________”．‎ K知识参考答案：‎ 一、1． 2．（1）同时 （2）都闭合 （3）交 （4）真 假 ‎ 二、1． 2．（1）一个 （2）都断开 （3）并 （4）真 假 三、1． 非 的否定 2．假 真 3． ‎ K—重点 了解“或”“且”“非”逻辑联结词的含义 K—难点 掌握的真假性的判断，关键在于与的真假的判断 K—易错 易混淆否命题与命题的否定 含有逻辑联结词的命题的构成形式 找出命题中的逻辑联结词→判断命题的形式→确定命题的构成 ‎ 指出下列命题的形式及其构成： ‎ ‎（1）若A是一个三角形的最小内角，则A不大于60°；‎ ‎（2）垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧；‎ ‎（3） 或 是不等式的解集． ‎ ‎【答案】见解析．‎ ‎【解析】（1）这个命题是“非”的形式，其中:若A是一个三角形的最小内角，则A大于60°． ‎ ‎（2）这个命题是“且”的形式，其中：垂直于弦的直径平分这条弦，:垂直于弦的直径平分这条弦所对的两条弧． ‎ ‎（3）这个命题是“或”的形式，其中：是不等式的解集；:是不等式的解集．‎ ‎【名师点睛】正确理解逻辑联结词“或”、“且”、“非”是解题的关键，应根据组成命题的语句中所出现的逻辑联结词，进行命题结构的判断．但需注意带有“或”的命题不一定是复合命题，需要分析逻辑关系．‎ 判断含有逻辑联结词“且”、“或”的命题的真假 ‎（1）判断“”、“”形式复合命题真假的步骤：‎ 第一步，确定复合命题的构成形式；‎ 第二步，判断简单命题p、q的真假；‎ 第三步，根据真值表作出判断．‎ 注意：一真“或”为真，一假“且”为假．‎ ‎（2）不含逻辑联结词的复合命题，通过辨析命题中词语的含义和实际背景，弄清其构成形式．‎ ‎（3）当为真，p与q一真一假；为假时，p与q至少有一个为假 ‎ 对下列各组命题，利用逻辑联结词“且”构造新命题，并判断它们的真假：‎ ‎（1）12是3的倍数，12是4的倍数；‎ ‎（2），；‎ ‎（3），则，，则． ‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析．‎ ‎【解析】（1） ：“12是3的倍数且是4的倍数”，是真命题． ‎ ‎（2）:“大于3且小于2”，是假命题． ‎ ‎（3）：“，则，且，则”，是假命题． ‎ ‎【易错点睛】（3）中写形式的命题时，有的同学会误写为“且，则”．注意：两个命题的条件不同，结论相同时，不能用“且”联结两个条件．事实上，上述命题是真命题，这与用逻辑联结词联结后的命题的真假性（假命题）不符合．‎ ‎ 对下列各组命题，利用逻辑联结词“或”构造新命题，并判断它们的真假： ‎ ‎（1）正数的平方大于0，负数的平方大于0；‎ ‎（2）3>4，3<4； ‎ ‎（3）方程的根是，方程的根是．‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析．‎ ‎【解析】（1） ：“正数或负数的平方大于0”，即“非零实数的平方大于0”，是真命题． ‎ ‎（2）：“或”，即“”，是真命题． ‎ ‎（3）：“方程的根是或方程的根是”，是假命题．‎ ‎【易错点睛】（3）中形式的命题不能写为“方程的根是或”，显然p，q均为假命题，也应为假命题，而上述命题是真命题．‎ ‎ 指出下列各命题的构成形式并判断命题的真假．‎ ‎（1）等腰三角形的顶角平分线垂直平分底边；‎ ‎（2）方程的根是4或．‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）见解析．‎ ‎【解析】（1）该命题是“”的形式．‎ 其中p：等腰三角形的顶角平分线垂直于底边；‎ q：等腰三角形的顶角平分线平分底边．‎ 因为p，q都是真命题，所以该命题是真命题．‎ ‎（2）该命题是“”的形式．‎ 其中p：方程的一个根是4，‎ q：方程的一个根是，‎ 因为p，q都是真命题，所以该命题是真命题．‎ ‎【解题技巧】（1）辨别复合命题的构成形式时，应根据组成复合命题的语句中所出现的逻辑联结词，或语句的意义确定复合命题的形式．‎ ‎（2）准确理解语义应注意抓住一些关键词．如“是…也是…”，“兼”，“不但…而且…”，“既…又…”，“要么…，要么…”，“不仅…还…”等．‎ ‎（3）要注意数学中和生活中一些特殊表达方式和特殊关系式．‎ 如a≥3是a>3或a＝3；xy＝0是x＝0或y＝0；x2＋y2＝0是x＝0且y＝0．‎ 命题的否定 由命题p写¬p时，只否定其结论．‎ ‎ 写出下列命题的否定，并判断它们的真假：‎ ‎（1）； ‎ ‎（2）；‎ ‎（3）不等式的解集是．‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析．‎ ‎【解析】（1）是一个简单命题，“”的否定是“”，所以“非”：． ‎ 由于是真命题，所以命题“非”是假命题． ‎ ‎（2）命题是形式的命题，其否定为的形式，所以“非”： 或．‎ 由于p是真命题，所以命题“非p”是假命题．‎ ‎（3）“非p”：不等式的解集不是．‎ 由于p是假命题，所以命题“非p”是真命题．‎ ‎【易错点睛】（3）中“非p”易错写为“不等式的解集是”．其原因是混淆了“否定”与“互补”，A不是B，不能认为是除B以外的所有对象，而应认为是除B以外的某一个对象或某一部分对象．‎ 命题的否定与否命题 分清题设和条件，命题的否定只否定结论，而否命题既否定题设，又否定结论．‎ ‎ 写出下列各命题的否定形式及否命题．‎ ‎（1）面积相等的三角形是全等三角形；‎ ‎（2）若m2＋n2＋a2＋b2＝0，则实数m、n、a、b全为零．‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）见解析．‎ ‎【解析】（1）否定形式：面积相等的三角形不都是全等三角形．‎ 否命题：面积不相等的三角形不是全等三角形．‎ ‎（2）否定形式：若m2＋n2＋a2＋b2＝0，则实数m、n、a、b不全为零．‎ 否命题：若m2＋n2＋a2＋b2≠0，则实数m、n、a、b不全为零．‎ ‎【名师点睛】（1）命题的否定只否定结论，否命题既否定结论也否定条件，这是区分两者的关键，解答此类问题，首先要找出命题的条件与结论，再作出准确的否定．‎ ‎（2）注意复合命题“”“p∧q”的否定．‎ 求解含逻辑联结词命题中的参数 命题“p或q”是真命题，意味着“p真”“q真”中至少有一个成立，即“p真”或“q真”，此时用逻辑联结词“或”的含义来理解 “为什么只求出‘p真’‘q真’时各自对应的参数范围，最后取并集”就易懂了．这样做避免了将“p真”“q真”中至少有一个成立，分解成“p真q假”“p假q真”“p真q真”三种情况，再分别求解参数范围的繁琐过程．‎ ‎ 已知命题p：关于x的不等式的解集为R，命题q：函数 是R上的增函数，若为真命题，为假命题，求实数m的取值范围．‎ ‎【答案】．‎ ‎【解析】不等式的解集为R，则，即p是真命题时，m<1；‎ 函数是R上的增函数，则，即q是真命题时，m<2．‎ ‎∵p或q为真命题，p且q为假命题，‎ ‎∴p、q中一个为真命题，另一个为假命题．‎ ‎（1）当p真，q假时，m<1且m≥2，此时无解；‎ ‎（2）当p假，q真时，m≥1且m<2，此时1≤m<2．‎ 故实数m的取值范围为．‎ ‎【名师点睛】由简单命题和逻辑联结词构成的复合命题的真假可以用真值表来判断，反之根据复合命题的真假也可以判断简单命题的真假，若p且q真，则p真，q真；若p或q真，则p，q至少有一个真；若p且q假，则p，q至少有一个假．‎ 混淆命题的否定与否命题 ‎ 【例8】写出命题“对顶角相等”的否定形式．‎ ‎【错解】该命题的否定形式是“不是对顶角的两个角不相等”．‎ ‎【错因分析】错解把命题的否定形式理解为否命题．‎ ‎【正解】该命题的否定形式是“对顶角不都相等”．‎ 已知 ，，则¬p是¬q的什么条件．‎ ‎【错解】∵p：|5x－2|>3，∴¬p：|5x－2|≤3，‎ ‎∴，即，‎ 又∵q：，∴，‎ ‎∴，即，‎ ‎∴¬p¬q且¬q¬p，‎ 故¬p是¬q的既不充分也不必要条件．‎ ‎【错因分析】将命题q：的否定形式错误地认为：，∴导致错误．‎ ‎【正解】∵，∴或，‎ ‎∴或，∴：．‎ ‎∵ ，∴，‎ ‎∴或，‎ ‎∴，∴，但，‎ 故是的充分不必要条件．‎ ‎【规律总结】对命题“若p，则q”来说，其否定形式应是：“若p，则非q”，其否命题应是：“若非p，则非q”．‎ ‎1．已知复合命题是真命题，则下列命题中也是真命题的是 A． B．‎ C． D．‎ ‎2．已知命题若，则；命题若，则．下面四个结论中正确的是 A．是真命题 B．是真命题 C．是真命题 D．是假命题 ‎3．在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次，设命题是“甲降落在指定范围”，是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员降落在指定范围”可表示为 A． B．‎ C． D．‎ ‎4．下列说法错误的是 A．若命题“”为真命题，则“”为真命题 B．若命题“”为假命题，则“”为真命题 C．命题“若，则”的否命题为真命题 D．命题“若，则方程有实根”的逆命题为真命题 ‎5．已知命题的图象关于对称；命题若，则，则下列命题中正确的是 A． B．‎ C． D．‎ ‎6．已知命题：若是非零向量，是非零实数，则与方向相反；命题：，则下列命题为真命题的是 A． B．‎ C． D．‎ ‎7．若是的充分不必要条件，则是的________________条件．‎ ‎8．已知命题：函数是奇函数，：函数为偶函数，则下列四个命题：①；②；③；④．其中真命题是________________．(填序号)‎ ‎9．设命题“已知函数对一切，恒成立”，命题“不等式有实数解”，若且为真命题，则实数的取值范围为________________．‎ ‎10．写出下列命题的否定形式和否命题．‎ ‎（1）等腰三角形有两个内角相等；‎ ‎（2）自然数的平方是正数．‎ ‎11．已知命题：指数函数是上的增函数，命题：不等式有解．若命题是真命题，命题是假命题，求实数的取值范围．‎ ‎12．已知命题p，q，则命题“p或q为真”是命题“q且p为真”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎13．己知命题存在，使，命题集合，有个子集，下列结论: ①命题“且”是真命题；②命题“且”是假命题；③命题“或”是真命题，其中正确的个数是 A． B．‎ C． D．‎ ‎14．已知命题：函数的最小正周期为；命题：若函数为奇函数，则的图象关于对称，则下列命题是真命题的是 A． B．‎ C． D．‎ ‎15．已知，且，命题：函数在内单调递减，命题：曲线与轴交于不同的两点．若“”为假，则的取值范围为 A． B．‎ C． D．‎ ‎16．已知命题，敏体，若命题“”为真，则实数的取值范围是________________．‎ ‎17．设命题函数的值域为；命题对一切实数恒成立，若命题“”为假命题，则实数的取值范围是________________．‎ ‎18．已知，设命题函数是上的单调递减函数；命题函数 的定义域为．若“”是真命题，“”是假命题，求实数的取值范围．‎ ‎19．设命题：实数满足，其中，命题：实数满足．‎ ‎（1）若且为真，求实数的取值范围；‎ ‎（2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围．‎ ‎20．（2014重庆文）已知命题对任意，总有； 是方程的根，则下列命题为真命题的是 A． B．‎ C． D．‎ ‎21．（2014重庆） 已知命题对任意，总有；是的充分不必要条件，则下列命题为真命题的是 A． B． ‎ C． D．‎ ‎22．（2014辽宁）设a、b、c是非零向量，已知命题p：若a·b＝0，b·c＝0，则a·c＝0；命题q：若a∥b，b∥c，则a∥c，则下列命题中真命题是 A． B． ‎ C． D．‎ ‎23．（2014湖南）已知命题：若，则；命题：若，则．‎ 在命题①中，真命题是 A．①③ B．①④‎ C．②③ D．②④‎ ‎1．【答案】B ‎【解析】由已知得命题是真命题，命题是真命题，所以命题是假命题，根据复合命题的真假判断是真命题，其他选项都是假命题，故选B．‎ ‎2．【答案】B ‎【解析】由题意可知，命题为真命题，命题为假命题，所以是真命题，故选B．‎ ‎3．【答案】B ‎【解析】对于选项A，表示“至少有一位学员没有降落在指定范围”，所以不 正确；对于选项B，表示“至少有一位学员降落在指定范围”，所以正确；‎ 对于选项C，表示“两位学员均没有降落在指定范围”，所以不正确；‎ 对于选项D，表示“两位学员均没有降落在指定范围”，所以不正确，故选B．‎ ‎4．【答案】D ‎【解析】对于A：若“”为真命题，则p，q都是真命题，所以“”为真命题，故A正确；对于B：若“”为假命题，则都是假命题，∴p是真命题，是真命题，所以“”为真命题，故B正确；对于C：“若，则”的否命题为“若，则”，，∴由可得到，故C正确；对于D：命题“若，则方程有实根”的逆命题为“若方程有实根，则”，方程有实数根只需，，所以不一定得到，所以D错．故选D．‎ ‎5．【答案】C ‎【解析】当时，，所以点是函数图象的对称中心，故命题为真命题，又时，成立，而，均无意义，所以命题为假命题，所以命题为真命题，故选C．‎ ‎6．【答案】C ‎【解析】当时，与方向相反；当时，与方向相同，命题是假命题；，命题是假命题，是真命题，是真命题，故选C．‎ ‎7．【答案】充分不必要 ‎【解析】且且，所以是的充分不必要条件．‎ ‎8．【答案】①④‎ ‎【解析】由函数的奇偶性可得命题为真命题，命题为假命题，再由命题的真假值表可得②③为假，①④为真．故填①④．‎ ‎9．【答案】‎ ‎【解析】当命题为真命题时，在上恒成立，则，即；当命题为真命题时，．‎ 因为且为真命题，所以假真，即或，，故实数的取值范围是．故填．‎ ‎10．【答案】（1）见解析；（2）见解析．‎ ‎【解析】（1）否定形式：存在某个等腰三角形，它的任意两个内角都不相等．‎ 否命题：任意两边都不相等的三角形，其任意两个内角都不相等．‎ ‎（2）否定形式：存在平方不是正数的自然数．‎ 否命题：如果一个数不是自然数，则它的平方不是正数．‎ ‎11．【答案】．‎ ‎【解析】命题为真命题时，，即．‎ 命题：不等式有解，‎ 当时，显然有解；‎ 当时，有解；‎ 当时，∵有解，∴，∴．‎ 从而不等式有解时．‎ 又命题是假命题，∴．‎ ‎∴是真命题，是假命题时，实数的取值范围是．‎ ‎12．【答案】B ‎【解析】当p或q为真时，可以得到p和q中至少有一个为真，这时q且p不一定为真;反之，当q且p为真时，必有p和q都为真，一定可得p或q为真．故选B．‎ ‎13．【答案】C ‎【解析】，所以命题为假命题；‎ 有个子集，所以命题为真命题；‎ 因此“且”是假命题；“且”是假命题；“或”是真命题．故选C．‎ ‎14．【答案】B ‎【解析】：，最小正周期为，故是假命题；‎ ‎：的图象可由的图象向右平移个单位得到，故的图象关于对称，故是真命题，∴是真命题，故选B．‎ ‎15．【答案】A ‎【解析】当时，函数在内单调递减；当时，函数在内不是单调递减的，若为假，则．曲线与轴交于不同的两点等价于，即或，若为假，则，若使“或”为假，则，即，故选A．‎ ‎16．【答案】‎ ‎【解析】为真时，；‎ 为真时，或或，‎ 所以“”为真时，．故实数的取值范围是．‎ ‎17．【答案】‎ ‎【解析】当为真命题时，符合题意．时，．‎ 时，此时为真命题．‎ 当为真命题时：令，故在恒成立时，为真命题．‎ 为真时，．‎ 为假命题时，．‎ ‎18．【答案】或．‎ ‎【解析】当命题为真命题时，因为函数是上的单调递减函数，所以 ‎；‎ 当命题为真命题时，因为函数的定义域为，‎ 所以在上恒成立，当时，恒成立，‎ 当时，有,解得，所以当命题为真命题时，，‎ 因为是真命题，是假命题，所以，一真一假，当真假时，无解；‎ 当假真时，解得或．‎ 综上所述，实数的取值范围是或．‎ ‎19．【答案】（1）；（2）．‎ ‎【解析】（1）当时，，，‎ 又为真，所以真真，由得，‎ 所以实数的取值范围为．‎ ‎（2）因为是的充分不必要条件，所以是的充分不必要条件，‎ 又，，所以解得．‎ 所以实数的取值范围为．‎ ‎20．【答案】 A ‎【解析】因为命题“对任意，总有”为真命题；命题：“是方程的根”是假命题；所以是真命题，所以为真命题，故选A．‎ ‎21 ．【答案】D ‎【解析】由题设可知：是真命题，是假命题；所以，是假命题，是真命题；‎ 所以，是假命题，是假命题，是假命题，是真命题，故选D．‎ ‎22．【答案】A ‎【解析】取a＝c＝（1，0），b＝（0，1）知，a·b＝0，b·c＝0，但a·c≠0，∴命题 p为假命题；‎ ‎∵a∥b，b∥c，∴存在λ，μ∈R，使a＝λb，b＝μc，∴a＝λμc，∴a∥c，∴命题q是真命题．‎ ‎∴p∨q为真命题．故选A．‎ ‎23．【答案】C ‎【解析】当时，两边同乘以可得，所以命题为真命题，当时，因为，所以命题为假命题，则为真命题，所以根据真值表可得②③为真命题，故选C．‎ ‎ ‎