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文档介绍
数学（理）卷·2018届天津市南开中学高三上学期第一次月考（2017
天津市南开中学2018届高三第一次月考 数学试卷（理科） 一、 选择题（每小题5分，共60分） 1. 已知全集，集合，则为（ ）. A. B. C. D. 2. 设，则是的（ ）条件. A.充分不必要 B.必要不充分 C.充要 D.既不充分也不必要 3. 设，，，则（ ）. A. B. C. D. 4. 在下列区间中的零点所在区间为（ ）. A. B. C. D. 5. 设函数,则是（ ）. A.奇函数，且在上是增函数 B.奇函数，且在上是减函数 C.偶函数，且在上是增函数 D.偶函数，且在上是减函数 6. 已知函数，若,则实数的取值范围是（ ）. A. B. C. D. 7. 若在上单调递减，则的取值范围是（ ）. A. B. C. D. 8.已知为偶函数，当时，，若函数恰有4个零点，则的取值范围是（ ）. A. B. C. D. 二、 填空题（每小题5分，共30分） 9. 已知复数，则 . 10. 不等式的解集是 . 11. 已知曲线的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为 . 12. 函数与函数的图象所谓封闭图形的面积是 . 13. 函数在区间的最小值是 . 14. 若函数在区间上不是单调函数，则实数的取值范围是 . 三、 解答题（共80分） 15. 在锐角△中，分别为角所对应的边，且 （1） 确定角的大小； （2） 若，且△的面积为，求的值. 16. 某项选拔共有三轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮考核，否则被淘汰.已知某选手能正确回答第一、二、三轮的问题的概率分别为，且各轮问题能否正确回答互不影响. （1） 求该选手被淘汰的概率； （2） 该选手在选拔中回答问题的个数记为,求随机变量的分布列与数学期望. 17. 某小组共10人，利用假期参加义工活动，已知参加义工活动次数为1,2,3的人数分别为3,3,4.现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会. （1） 设为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”求事件发生的概率. （2） 设为事件“选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值”求事件发生的概率. 18. 如图，在三棱柱中，底面, ,, . （1） 证明; （2） 求异面直线和所成角的余弦值; （3） 求二面角的平面角的余弦值. 19. 已知是函数的一个极值点. （1） 求； （2） 求函数的单调区间； （3） 若直线与函数的图象有个交点，求的取值范围. 20. 设函数 （1） 当时，求函数的单调区间； （2） 令其图象上任意一点处切线的斜率恒成立，求实数的取值范围； （3） 当时，令若与的图象有两个交点,,求证： 参考答案 1-4 CACC 5-8 ADCB 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15.解：（1）根据正弦定理，由有，于是，由于是锐角三角形，故 （2）， ，故。 16.解（1）记“该选手能正确回答第轮的问题”的事件为，则，，，∴该选手被淘汰的概率： （2）的可能值为1,2,3 ，， ∴随机变量的分布列为 1 2 3 ∴随机变量的数学期望 17.解：（1）由已知，得，所以事件发生的概率为 （2）随机变量的所有可能取值为0, 1,2 ，， 所以随机变量的分布列为 0 1 2 随机变量的数学期望 18.解（1）在三棱柱中，∵，∴ 在中，，，，由正弦定理得， ∴，即。且，为平面内两条相交直线， ∴，又，∴ （2）如图，建立空间直角坐标系，则，，，，， ∴，，∴，即异面直线和所成角的余弦值为 （3）可取为平面的法向量，设平面的法向量为，则，又∵，，∴ ，不妨取，则，因此有 ∴二面角的平面角的余弦值为 19.解：（1）因为，所以，因此 当时，， 由此可知，当时，单调递减，当时，单调递增，所以当时，是函数的一个极值点。于是 （2）由（I）知，，， 当时， 当时， 所以的单调增区间是，的单调减区间是 （3）与的图象有个实数根；即有3个实数根；此时，函数的图象与轴有个不同交点， 令 则 令解得或随的变化情况列表如下： 极大值 极小值 为极大值，为极小值. 为使图象与轴有个不同交点，必须的极大值等于零，极小值小于零，即可化为解得 ∴ 20. 解：（1）定义域为， ， 令解得，令解得， ∴的单增区间为单减区间为. （2） ∴即 令，∴在上单调递增， ∴∴，∴ （3） 定义域 ∴①，② ①+②得即，③ ①-②得即，④ 由③④得，不妨设，记， 令∴ ∴在上单调递增，∴ ∴即∴ ∴ ∴即 令∴∴在上单调递增. 又∴ 即∴查看更多