【数学】2020届一轮复习人教B版选修4－5　不等式选讲学案

【数学】2020届一轮复习人教B版选修4－5　不等式选讲学案

选修4－5　不等式选讲 ‎1．不等式的性质和绝对值不等式 ‎(1)能利用三个正数的算术平均—几何平均不等式证明一些简单的不等式，解决最大(小)值的问题；了解基本不等式的推广形式(n个正数的形式)．‎ ‎(2)理解绝对值三角不等式的代数证明和几何意义，能利用绝对值三角不等式证明一些简单的绝对值不等式．‎ ‎(3)掌握|ax＋b|≤c，|ax＋b|≥c，|x－a|＋|x－b|≤c，|x－a|＋|x－b|≥c型不等式的解法．‎ ‎2．不等式的证明 ‎(1)了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法，并能利用它们证明一些简单不等式．‎ ‎(2)能够利用三维的柯西不等式证明一些简单不等式，解决最大(小)值问题．‎ ‎(3)理解数学归纳法的原理及其使用范围，会用数学归纳法证明一些简单问题．‎ 知识点一　绝对值不等式 ‎1．绝对值三角不等式 ‎(1)定理1：如果a，b是实数，则|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立；‎ ‎(2)定理2：如果a，b，c是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当(a－b)(b－c)≥0时，等号成立．‎ ‎2．绝对值不等式的解集 ‎(1)含绝对值的不等式|x|a的解集：‎ 不等式 a>0‎ a＝0‎ a<0‎ ‎|x|a ‎{x|x>a或x<－a}‎ ‎{x∈R|x≠0}‎ R ‎(2)|ax＋b|≤c、|ax＋b|≥c(c>0)型不等式的解法：‎ ‎①|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c；‎ ‎②|ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c.‎ ‎(3)|x－a|＋|x－b|≥c、|x－a|＋|x－b|≤c(c>0)型不等式的解法：‎ ‎①利用绝对值不等式的几何意义求解．‎ ‎②利用零点分段法求解．‎ ‎③构造函数，利用函数的图象求解．‎ 易误提醒　‎ ‎1．对形如|f(x)|>a或|f(x)||a－b|　　　　 B．|a＋b|<|a－b|‎ C．|a－b|<||a|－|b|| D．|a－b|<|a|＋|b|‎ 解析：∵ab<0，∴|a－b|＝|a|＋|b|>|a＋b|.‎ 答案：B ‎2．若存在实数x使|x－a|＋|x－1|≤3成立，则实数a的取值范围是________．‎ 解析：∵|x－a|＋|x－1|≥|(x－a)－(x－1)|＝|a－1|，‎ 要使|x－a|＋|x－1|≤3有解，可使|a－1|≤3，‎ ‎∴－3≤a－1≤3，∴－2≤a≤4.‎ 答案：[－2,4]‎ ‎3．不等式|x＋1|－|x－2|≥1的解集是________．‎ 解析：f(x)＝|x＋1|－|x－2|＝当－11.所以解集为{x|x≥1}．‎ 答案：[1，＋∞)‎ 知识点二　不等式的证明 ‎1．基本不等式 定理1：如果a，b∈R，那么a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立．‎ 定理2：如果a，b>0，那么≥，当且仅当a＝b时，等号成立，即两个正数的算术平均不小于(即大于或等于)它们的几何平均．‎ 定理3：如果a，b，c全为正实数，那么≥，当且仅当a＝b＝c时，等号成立．‎ ‎2．比较法 ‎(1)比差法的依据是：a－b>0⇔a>b.步骤是：“作差→变形→判断差的符号”．变形是手段，变形的目的是判断差的符号．‎ ‎(2)比商法：若B>0，欲证A≥B，只需证≥1.‎ ‎3．综合法与分析法 ‎(1)综合法：一般地，从已知条件出发，利用定义、公理、定理、性质等，经过一系列的推理、论证而得出命题成立．‎ ‎(2)分析法：从要证的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义，公理或已证明的定理，性质等)，从而得出要证的命题成立．‎ ‎4．柯西不等式 设a，b，c，d均为实数，则(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，等号当且仅当ad＝bc时成立．‎ 易误提醒　(1)在使用作商比较法时易忽视说明分母的符号．‎ ‎(2)在用综合法证明不等式时，不等式的性质和基本不等式是最常用的．在运用这些性质时，易忽视性质成立的前提条件．‎ ‎[自测练习]‎ ‎4．设t＝a＋2b，s＝a＋b2＋1，则s与t的大小关系是(　　)‎ A．s≥t　　　　　　　　　 B．s>t C．s≤t D．s5时，不等式可化为(x－1)－(x－5)<2，即4<2，显然不成立，所以此时不等式无解．‎ 综上，不等式的解集为(－∞，4)．故选A.‎ 答案：A ‎2．(2018·南宁二模)已知函数f(x)＝|x－a|.‎ ‎(1)若f(x)≤m的解集为{x|－1≤x≤5}，求实数a，m的值；‎ ‎(2)当a＝2且0≤t≤2时，解关于x的不等式f(x)＋t≥f(x＋2)．‎ 解：(1)∵|x－a|≤m，∴－m＋a≤x≤m＋a.‎ ‎∵－m＋a＝－1，m＋a＝5，‎ ‎∴a＝2，m＝3.‎ ‎(2)f(x)＋t≥f(x＋2)可化为|x－2|＋t≥|x|.‎ 当x∈(－∞，0)时，2－x＋t≥－x,2＋t≥0，∵0≤t≤2，∴x∈(－∞，0)；‎ 当x∈[0,2)时，2－x＋t≥x，x≤1＋，0≤x≤1＋，∵1≤1＋≤2，∴0≤x≤1＋；‎ 当x∈[2，＋∞)时，x－2＋t≥x，t≥2，当0≤t<2时，无解，当t＝2时，x∈[2，＋∞)．‎ ‎∴当0≤t<2时原不等式的解集为；当t＝2时x∈[2，＋∞)．‎ 求解该类问题的关键是去绝对值符号，常运用零点分段法去绝对值，此外还常利用绝对值的几何意义求解．‎ 考点二　不等式的证明|‎ 不等式的证明是考查热点、归纳起来常见的命题角度有：‎ ‎1．比较法证明不等式．‎ ‎2．综合法证明不等式．‎ ‎3．分析法证明不等式．‎ ‎4．放缩法证明绝对值不等式．‎ 探究一　比较法证明不等式 ‎1．(2018·莆田模拟)设a，b是非负实数．求证：a2＋b2≥(a＋b)．‎ 证明：因为(a2＋b2)－(a＋b)‎ ‎＝(a2－a)＋(b2－b)‎ ‎＝a(－)＋b(－)‎ ‎＝(－)(a－b)‎ ‎＝(a－b)(a－b)‎ 因为a≥0，b≥0，所以不论a≥b≥0，还是0≤a≤b，都有a－b与a－b同号，所以(a－b)(a－b)≥0，‎ 所以a2＋b2≥(a＋b)．‎ 探究二　综合法证明不等式 ‎2．(2018·长春三模)(1)已知a，b都是正数，且a≠b，求证：a3＋b3>a2b＋ab2；‎ ‎(2)已知a，b，c都是正数，求证：≥abc.‎ 证明：(1)(a3＋b3)－(a2b＋ab2)＝(a＋b)(a－b)2.‎ 因为a，b都是正数，所以a＋b>0.‎ 又因为a≠b，所以(a－b)2>0.‎ 于是(a＋b)(a－b)2>0，即(a3＋b3)－(a2b＋ab2)>0，所以a3＋b3>a2b＋ab2.‎ ‎(2)因为b2＋c2≥2bc，a2>0，所以a2(b2＋c2)≥‎2a2bc.①‎ 同理b2(a2＋c2)≥2ab2c.②‎ c2(a2＋b2)≥2abc2.③‎ ‎①②③相加得2(a2b2＋b2c2＋c2a2)≥2a2bc＋2ab2c＋2abc2，‎ 从而a2b2＋b2c2＋c2a2≥abc(a＋b＋c)．‎ 由a，b，c都是正数，得a＋b＋c>0，因此≥abc.‎ 探究三　分析法证明不等式 ‎3．已知a>b>c，且a＋b＋c＝0，求证：0，‎ 只需证(a－b)(2a＋b)>0，‎ 只需证(a－b)(a－c)>0.‎ ‎∵a>b>c，∴a－b>0，a－c>0.‎ ‎∴(a－b)(a－c)>0显然成立，故原不等式成立．‎ 探究四　放缩法证明绝对值不等式 ‎4．已知x，y∈R，且|x＋y|≤，|x－y|≤，‎ 求证：|x＋5y|≤1.‎ 证明：∵|x＋5y|＝|3(x＋y)－2(x－y)|.‎ ‎∴由绝对值不等式的性质，得 ‎|x＋5y|＝|3(x＋y)－2(x－y)|≤|3(x＋y)|＋|2(x－y)|＝3|x＋y|＋2|x－y|≤3×＋2×＝1.‎ 即|x＋5y|≤1.‎ 证明不等式的常用方法有比较法、综合法、分析法．‎ 如果已知条件与待证结论直接联系不明显，可考虑用分析法；如果待证命题是否定性命题、唯一性命题或以“至少”“至多”等方式给出的，则考虑用反证法；如果待证不等式与自然数有关，则考虑用数学归纳法等．在必要的情况下，可能还需要使用换元法、构造法等技巧简化对问题的表述和证明．‎ ‎　　‎ 考点三　绝对值不等式的综合应用|‎ ‎　(2018·郑州二检)已知函数f(x)＝|3x＋2|.‎ ‎(1)解不等式f(x)<4－|x－1|；‎ ‎(2)已知m＋n＝1(m，n>0)，若|x－a|－f(x)≤＋(a>0)恒成立，求实数a的取值范围．‎ ‎[解]　(1)不等式f(x)<4－|x－1|，即|3x＋2|＋|x－1|<4.‎ 当x<－时，即－3x－2－x＋1<4，解得－1时，即3x＋2＋x－1<4，无解．‎ 综上所述，x∈.‎ ‎(2)＋＝(m＋n)＝1＋1＋＋≥4，‎ 令g(x)＝|x－a|－f(x)＝|x－a|－|3x＋2|＝‎ ‎∴x＝－时，g(x)max＝＋a，要使不等式恒成立，‎ 只需g(x)max＝＋a≤4，即0a恒成立⇔f(x)min>a.‎ ‎　　‎ ‎　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ‎ 设函数f(x)＝|x－1|＋|x－2|.‎ ‎(1)求证：f(x)≥1；‎ ‎(2)若f(x)＝成立，求x的取值范围．‎ 解：(1)证明：f(x)＝|x－1|＋|x－2|≥|(x－1)－(x－2)|＝1.‎ ‎(2)∵＝＝＋≥2，‎ ‎∴要使f(x)＝成立，‎ 需且只需|x－1|＋|x－2|≥2，‎ 即或 或 解得x≤或x≥，‎ 故x的取值范围是∪.‎ ‎　　34.绝对值不等式中最值思想的应用 ‎【典例】　(1)求函数f(x)＝|x－1|＋|x＋1|的最小值．‎ ‎(2)若对任意实数x，不等式|x＋1|－|x－2|>a恒成立，求a的取值范围．‎ ‎[思考点拨]　利用绝对值不等式直接求最值．‎ ‎[解]　(1)|x－1|＋|x＋1|＝|1－x|＋|x＋1|≥|1－x＋x＋1|＝2，‎ 当且仅当(1－x)(x＋1)≥0，即－1≤x≤1时取等号．‎ 故当－1≤x≤1时，函数f(x)＝|x－1|＋|x＋1|取得最小值2.‎ ‎(2)因为a<|x＋1|－|x－2|对任意实数恒成立所以a<(|x＋1|－|x－2|)min.‎ 因为||x＋1|－|x－2||≤|(x＋1)－(x－2)|＝3，‎ 所以－3≤|x＋1|－|x－2|≤3.‎ 所以(|x＋1|－|x－2|)min＝－3.‎ 所以a<－3，即a的取值范围为(－∞，－3)．‎ ‎[方法点评]　(1)要注意对原绝对值不等式进行转化，使之适合用绝对值三角不等式求最值；(2)求最值时要注意等号成立的条件．‎ ‎[跟踪练习]　(2018·辽宁协作体一模)已知函数f(x)＝|2x＋1|－|x|－2.‎ ‎(1)解不等式f(x)≥0；‎ ‎(2)若存在实数x，使得f(x)≤|x|＋a，求实数a的取值范围．‎ 解：(1)不等式f(x)≥0等价于① 或②或③ 解不等式组①得x≤－3，不等式组②无解，解不等式组③得x≥1，∴所求的不等式解集为(－∞，－3]∪[1，＋∞)．‎ ‎(2)f(x)≤|x|＋a，即为|2x＋1|－2|x|≤2＋a⇔－|x|≤1＋.‎ 由绝对值的几何意义，知－|x|的最小值为－，故要满足题意，只需－≤1＋⇒a≥－3.‎ A组　考点能力演练 ‎1．已知|2x－3|≤1的解集为[m，n]．‎ ‎(1)求m＋n的值；‎ ‎(2)若|x－a|0且互不相等，abc＝1.试证明：‎ ＋＋<＋＋.‎ 证明：因为a，b，c>0，且互不相等，abc＝1，‎ 所以＋＋＝＋＋<＋＋＝＋＋，‎ 即＋＋<＋＋.‎ ‎4．已知函数f(x)＝m－|x－2|，m∈R，且f(x＋2)≥0的解集为[－1,1]．‎ ‎(1)求m的值；‎ ‎(2)若a，b，c∈R，且＋＋＝m，求z＝a＋2b＋‎3c的最小值．‎ 解：(1)∵f(x＋2)＝m－|x|，∴f(x＋2)≥0等价于|x|≤m.‎ 由|x|≤m有解，得m≥0，且其解集为{x|－m≤x≤m}．‎ 又∵f(x＋2)≥0的解集为[－1,1]，∴m＝1.‎ ‎(2)由(1)知＋＋＝1，‎ 又∵a，b，c∈R，由柯西不等式得 z＝a＋2b＋‎3c＝(a＋2b＋‎3c)≥2＝9，‎ ‎∴z＝a＋2b＋3c的最小值为9.‎ ‎5．(2018·大庆模拟)设函数f(x)＝|2x－1|－|x＋4|.‎ ‎(1)解不等式：f(x)>0；‎ ‎(2)若f(x)＋3|x＋4|≥|a－1|对一切实数x均成立，求a的取值范围．‎ 解：(1)原不等式即为|2x－1|－|x＋4|>0，‎ 当x≤－4时，不等式化为1－2x＋x＋4>0，解得x<5，‎ 即不等式组的解集是{x|x≤－4}．‎ 当－40，解得x<－1，即不等式组的解集是{x|－40，解得x>5，‎ 即不等式组的解集是{x|x>5}．综上，原不等式的解集为{x|x<－1，或x>5}．‎ ‎(2)∵f(x)＋3|x＋4|＝|2x－1|＋2|x＋4|＝|1－2x|＋|2x＋8|≥|(1－2x)＋(2x＋8)|＝9.‎ ‎∴由题意可知|a－1|≤9，解得－8≤a≤10，‎ 故所求a的取值范围是{a|－8≤a≤10}．‎ B组　高考题型专练 ‎1．(2018·高考重庆卷改编)若函数f(x)＝|x＋1|＋2|x－a|的最小值为5，求实数a的值．‎ 解：当a＝－1时，f(x)＝3|x＋1|≥0，不满足题意；‎ 当a<－1时，f(x)＝，‎ f(x)min＝f(a)＝－‎3a－1＋‎2a＝5，解得a＝－6；‎ 当a>－1时，f(x)＝ f(x)min＝f(a)＝－a＋1＋‎2a＝5，解得a＝4.‎ ‎2．(2018·高考湖南卷)设a>0，b>0，且a＋b＝＋.证明：‎ ‎(1)a＋b≥2；‎ ‎(2)a2＋a<2与b2＋b<2不可能同时成立．‎ 证明：由a＋b＝＋＝，a>0，b>0，得ab＝1.‎ ‎(1)由基本不等式及ab＝1，有a＋b≥2＝2，即a＋b≥2，当且仅当a＝b＝1时等号成立．‎ ‎(2)假设a2＋a<2与b2＋b<2同时成立，则由a2＋a<2及a>0得00.‎ ‎(1)当a＝1时，求不等式f(x)>1的解集；‎ ‎(2)若f(x)的图象与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围．‎ 解：(1)当a＝1时，f(x)>1化为|x＋1|－2|x－1|－1>0.‎ 当x≤－1时，不等式化为x－4>0，无解；‎ 当－10，解得0，解得1≤x<2.‎ 所以f(x)>1的解集为.‎ ‎(2)由题设可得，f(x)＝ 所以函数f(x)的图象与x轴围成的三角形的三个顶点分别为A，B(2a＋1,0)，C(a，a＋1)，‎ 则△ABC的面积为(a＋1)2.‎ 由题设得(a＋1)2>6，故a>2.‎ 所以a的取值范围为(2，＋∞)．‎