【数学】湖北省荆州中学2019-2020学年高二7月双周考试题

【数学】湖北省荆州中学2019-2020学年高二7月双周考试题

湖北省荆州中学 2019-2020 学年高二 7 月双周考试题 一、单选题 1．已知 为虚数单位， ，则复数 的虚部为( ) A． B．1 C． D． 2．从 6 名男生和 2 名女生中选出 3 名志愿者，其中至少有 1 名女生的选法共有(　　) A．36 种 B．30 种 C．42 种 D．60 种 3．已知学生贾天才考试中每一道简单题做对的概率为 ，每一道中等题做对的概率为 ， 每一道难题有三个选项，其中正确答案有且只有一项，贾天才面对难题时，他极有自知之明， 答案完全凭感觉随机蒙一个。在贾天才参加的某次考试中，简单题有 8 道题，做对一题得 5 分，做错或不做得 0 分；中等题有有 6 道题，做对一题得 10 分，做错或不做得 0 分；难题 有 3 道题，做对一题得 15 分，做错或不做得 0 分.则贾天才在本次考试中所得分数的数学期 望为（ ） A．70 分 B．145 分 C．95 分 D．85 分 4．已知圆 上存在不同两点关于直线 对称，则实数 ( ) A． B． C． D． 5.已知椭圆与抛物线 有一个公共焦点，椭圆的离心率是 0 和 1 的等差中项，则椭圆 的长轴长为( ) A． B． C． D． 6．为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系，随机调查了该社区 5 户家庭，得到如 下统计数据表： 收入 （万元） 8.2 8.6 10.0 11.3 11.9 支出 （万元） 6.2 7.5 m 8.5 9.3 i ( )1 1z i i− = + z 1− i− i 3 4 2 3 2 2: 2 4 0C x y x y+ − − = 2 1 0x ay+ − = a = 3 2 − 5 4 − 1 2 − 3 4 − 21 4y x= 1 8 1 4 2 4 x y 根据表中数据可得回归直线方程 ，据此估计，该社区一户年收入为 20 万元家 庭的年支出约为 15 万元，则 m 的值为( ) A．8.0 B．8.5 C．9.6 D．8.8 7．已知抛物线 上一点 到该抛物线焦点距离为 ， 为已知抛物线上任意一点，则 的取值范围为 ( ) A． B． C． D． 8．若焦点在 轴上的双曲线 的离心率为 ，则该双曲线的一个焦点到其中一 条渐近线的距离为( ) A． B． C． D． 9．已知 是单位向量，点 的坐标为 ,则点 的坐标为 ( ) A． 或 B． 或 C． 或 D．选项 A、B、C 都不对 10．如图的茎叶图是甲、乙两人在 4 次模拟测试中的成绩，其中一个数字被污损，事件 A： 甲的平均成绩超过乙的平均成绩；事件 B：乙在 4 次考试中成绩的中位数不高于 90 分，则 的值为 ( ) A． B． C． D． 11．已知 是函数 的一个极值点，直线 与 函数 的图象恰有两个不同交点，则实数 的取值范 围是( ) ˆ ˆ0.7y x a= + 2: 2 ( 0)C y px p= > ( )3,M m 4 ( ),N s t 1 t s + ( )2,− +∞ ( ), 2−∞ − ( )1,− +∞ [ 1,2)− y 2 2 2y xm − = 5 2 2 1 2 5 5 2 1 1, ,2 2AB m = −    A 21,0, 2A  −    B 3 1, ,02 2  −   3 1, , 22 2  −   1 1, ,02 2  − −   1 1, , 22 2  − −   1 1, ,02 2      1 1, , 22 2      ( )P B A 6 7 5 6 0 1 1x = ( ) ( ) ( )2ln 1 , 0,f x a x x x x= + + − ∈ +∞ y b= ( ) ( ) ( )2ln 1 , 0,f x a x x x x= + + − ∈ +∞ b A． B． C． D． 12．已知方程 表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为 ，则 实数 n 的取值范围是(　　) A．(－1,3) B．(－1， 3) C． D． 二、填空题 13. 已知函数 ，则函数 的图象在点 处的切线方程为_______. 14． 的展开式中二项式系数最大的项为第五项和第六项，则该展开式的常数项是 __________．（用数字作答） 15．已知某批零件的长度误差 （单位 ）服从正态分布 ，若 ， ，现从中随机取一件，其长度误差落在 区间 内的概率 _____________． 16．在三棱锥 中，若 ，则该三 棱锥外接球的体积为_________． 三、解答题 17. (本小题满分 10 分)已知数列 的前 项和 满足 （1）求数列 的通项公式； （2）若数列 满足 ，求数列 的前 项和 。 18．(本小题满分 12 分)2022 年北京冬奥会的申办成功与“3 亿人上冰雪”口号的提出，将冰 雪这个冷项目迅速炒“热”．北京某综合大学计划在一年级开设冰球课程，为了解学生对冰球 运动的兴趣，随机从该校一年级学生中抽取了 100 人进行调查，其中女生中对冰球运动有兴 趣的占2 3，而男生有 10 人表示对冰球运动没有兴趣． ( ), 2ln 2−∞ − ( ]2ln2,0− ( )2ln2,0− ( )2ln 2,− +∞ 2 2 2 2 12 3 x y m n n m + =+ − 4 2 32 96,7 7  −   8 24,7 7  −   2( ) 3xf x = ( )f x 0x = 2 n x x  −   ξ mm (1,4)N ( 1 3) 0.6826P ξ− < ≤ = ( 3 5) 0.9544P ξ− < ≤ = ( 3,3)− ( 3 3)P ξ− < < = P ABC− 5, 10, 13PA BC PB AC PC AB= = = = = = { }na n nS ( )22 1nS n n n N∗= − + ∈ { }na { }nb ( ) 2 n n n ab n N ∗= ∈ { }nb n ( )3nT n ≥ (1)完成 2×2 列联表，并回答能否有 90%的把握认为“对冰球是否有兴趣与性别有关”？ 有兴趣 没兴趣 合计 男 55 女 合计 (2)现从该校一年级全体学生中，随机抽取了 12 名学生，发现 12 名学生中对冰球有兴 趣的学生频率恰好等于之前抽取的 100 名学生中对冰球有兴趣的学生频率，再从被抽取的 12 名学生中随机抽取 3 名学生，求抽取的 3 名学生中至少含有一名对冰球没兴趣的学生的 概率。 附表： P(K2≥k0) 0.150 0.100 0.050 0.025 0.010 k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 ， 19．(本小题满分 12 分)在多面体 中，四边形 为菱形， ∥ ， ⊥ ，且平面 ⊥平面 (1)求证： ⊥ ； ( ) ( )( )( )( ) 2 2 n ad bck a b c d a c b d −= + + + + n a b c d= + + + ABCDEF ABCD AF DE AF AD BED ABCD AF CD (2)若 求二面角 的余弦值． 20．(本小题满分12分)已知函数 (1)当 时，判断 在定义域上的单调性； (2)若 在 上的最小值为 ，求实数 的值. 21． (本小题满分 12 分)已知曲线 与 x 轴交于 两点，且点 在 点 左侧，点 P 为 x 轴上方的一个动点， 是线段 的中点，直线 ( 为坐标原点) 的斜率与直线 的斜率之积为－4. (1)求动点 的轨迹 的方程； (2)过点 的直线 与 分别交于点 (均异于点 )，在三角形 中， 为锐角，求直线 的斜率的取值范围． 22．(本小题满分 12 分)已知函数 (1)当 时，若函数 恰有一个零点，求 的取值范围； (2)当 时， 恒成立，求 的取值范围． 160 , 2BAD AF AD ED∠ = = = A FB E− − ( ) ln af x x x = − 0a > ( )f x ( )f x [ ]1,e 3 2 a ( )2 1 : 1 0C y x y= − + ≤ ,A B A B D PB DO O PB P 2C B l 1 2,C C ,Q M ,A B AMQ∆ MAQ∠ l ( ) ( ) ( )2 2 1 ln ,f x x m x x m R= − + + ∈ 1 2m = − ( ) ( ) ( )1 lng x f x a x= + − a 1x > ( ) ( ) 21f x m x< − m 参考答案 一、单选题 题 号 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 答 案 B A D C D B C A A D C D 二、填空题 13、 14、 15、 16、 三、解答题 17.解： 首项未考虑的学生，扣除 2 分，全对得 5 分，只有 首项正确，给 1 分 第二问只要错位相减法基本过程到位， 结果不正确这一问给 3 分，完全正确（包括化简非最简形式）这一问给 5 分 18 解　(1)根据已知数据得到如下列联表： 有兴趣 没兴趣 合计 男 45 10 55 女 30 15 45 合计 75 25 100 根据列联表中的数据，得到 K2＝100 × (45 × 15－10 × 30)2 55 × 45 × 75 × 25 ＝100 33 ≈3.030. K2≈3.030>2.706，所以有 90%的把握认为“对冰球是否有兴趣与性别有关”.5 分 2ln3− 5376 0.8185 7 14 3 π ( ) 2, 11 4 3, 2n na n n ==  − ≥ ( ) 3 11 1 4 3 11 4 52 2 2 2 2 2n n n n n nT − − += − − = − (2)由列联表中数据可知，对冰球有兴趣的学生频率是3 4 7 分 故抽取的 12 名学生中对冰球有兴趣的学生人数为 ，没有兴趣的人数 3 人 所以概率为 算式正确，结果不对扣 2 分 19 解　(1)证明：连接 AC，由四边形 ABCD 为菱形可知 AC⊥BD，1 分 ∵平面 BED⊥平面 ABCD，且交线为 BD， ∴AC⊥平面 BED，∴AC⊥ED， 又 AF∥DE，∴AF⊥AC，3 分 ∵AF⊥AD，AC∩AD＝A，∴AF⊥平面 ABCD， ∵CD⊂平面 ABCD，∴AF⊥CD. 4 分 (2)设 AC∩BD＝O，过点 O 作 DE 的平行线 OG， 由(1)可知 OA，OB，OG 两两互相垂直， 则可建立如图所示的空间直角坐标系 Oxyz， 6 分 设 AF＝AD＝1 2ED＝2a(a>0)，则 A( 3a,0,0)，B(0，a,0)，F( 3a,0,2a)，E(0，－a,4a)， 所以AB→ ＝(－ 3a，a,0)，AF→ ＝(0,0,2a)，BE→ ＝(0，－2a，4a)， BF→ ＝( 3a，－a,2a)， 8 分 设平面 ABF 的法向量为 m＝(x，y，z)， 则Error!即Error! 312 94 × = 3 9 3 12 21 341 1 55 55 cp c = − = − = 取 y＝ 3，则 m＝(1，3，0)为平面 ABF 的一个法向量， 同理可得 n＝(0,2,1)为平面 FBE 的一个法向量. 10 分 则 cos〈m，n〉＝ 2 3 2 × 5 ＝ 15 5 ， 又二面角 A－FB－E 的平面角为钝角，则其余弦值为－ 15 5 . 12 分 20. 解：(1)由题得f(x)的定义域为(0,＋∞)，且 f ′(x)＝ ＋ ＝ . ∵a>0，∴f ′(x)>0，故f(x)在(0,＋∞)上是单调递增函数. (2)由(1)可知：f ′(x)＝ ， ①若a≥－1，则x＋a≥0，即f ′(x)≥0在[1,e]上恒成立，此时f(x)在[1,e]上为增函数， ∴f(x)min＝f(1)＝－a＝ ，∴a＝－ (舍去). ②若a≤－e，则x＋a≤0，即f ′(x)≤0在[1,e]上恒成立，此时f(x)在[1,e]上为减函数， ∴f(x)min＝f(e)＝1－ ＝ ，∴a＝－ (舍去). ③若－e0，∴f(x)在(－a,e)上为增函数， ∴f(x)min＝f(－a)＝ln(－a)＋1＝ ⇒a＝－ . 综上可知：a＝－ . 21 解：(1)易知 A(－1,0)，B(1,0)，设 P(x，y)(y>0)，因为 DO∥PA，所以 kDOkPB＝kPAkPB， 则 kAPkBP＝ y x＋1· y x－1＝－4，整理，得y2 4＋x2＝1(y>0)， 所以动点 P 的轨迹 C2 的方程为y2 4＋x2＝1(y>0). 5 分 (没有 y 的范围扣 1 分) (2)由(1)知，上半椭圆 C2 的方程为y2 4＋x2＝1(y>0)． 2 x a x + 2 x a x + a e 1 x 2 a x 3 2 3 2 3 2 2 e 3 2 e e 易知，直线 l 与 x 轴不重合也不垂直，设其方程为 y＝k(x－1)(k≠0)， 代入 C2 的方程整理得(k2＋4)x2－2k2x＋k2－4＝0.(*) 设点 M 的坐标为(xM，yM)， ∵直线 l 过点 B，∴x＝1 是方程(*)的一个根， 由求根公式得 xM＝k2－4 k2＋4，从而 yM＝ －8k k2＋4， ∴点 M 的坐标为(k2－4 k2＋4， －8k k2＋4)， 7 分 同理，由Error!得点 Q 的坐标为(－k－1，－k2－2k)， 8 分 AM→ ＝( 2k2 k2＋4， －8k k2＋4)，AQ→ ＝(－k，－k2－2k)． 由题意可知AM→ ·AQ→ >0， 即 －2k2 k2＋4[k－4(k＋2)]>0， ∴k－4(k＋2)<0，解得 k>－8 3， 10 分 因为 y′＝(－2x)|x＝1＝－2，即直线 l 与抛物线在 B 处相切时，切线的斜率为－2. 而直线 l 与两曲线有交点，必须 k<－2. 所以直线 l 的斜率的取值范围为－8 30 时无零点， 2 分 ②当 a>0 时，g′(x)>0，所以 g(x)在(0，＋∞)上单调递增， 因为 g(1)＝1，所以 g(x0)·g(1)<0，此时函数 g(x)恰有一个零点， 4 分 ③当 a<0 时，令 g′(x)＝0，解得 x＝ －a 2， 当 0 －a 2时，g′(x)>0，所以 g(x)在( －a 2，＋∞)上单调递增． 要使函数 g(x)恰有一个零点， 则 g( －a 2 )＝aln －a 2－a 2＝0 即 a＝－2e， 综上所述，若函数 g(x)恰有一个零点，则 a＝－2e 或 a>0. 6 分 (2)令 h(x)＝f(x)－(1－m)x2＝mx2－(2m＋1)x＋ln x，根据题意，当 x∈(1，＋∞)时，h(x)<0 恒成立，又 h′(x)＝2mx－(2m＋1)＋1 x＝(x－1)(2mx－1) x ， 7 分 ①若 00 恒成立，所以 h(x)在( 1 2m，＋∞)上是增函数， 且 h(x)∈(h( 1 2m )，＋∞)，所以不符合题意. 8 分 ②若 m≥1 2，则 x∈(1，＋∞)时，h′(x)>0 恒成立，所以 h(x)在(1，＋∞)上是增函数，且 h(x) ∈(h(1)，＋∞)，所以不符合题意. 9 分 ③若 m≤0，则 x∈(1，＋∞)时，恒有 h′(x)<0，故 h(x)在(1，＋∞)上是减函数，于是“h(x)<0 对任意 x∈(1，＋∞)都成立”的充要条件是 h(1)≤0，即 m－(2m＋1)≤0，解得 m≥－1，故－ 1≤m≤0. 11 分 综上，m 的取值范围是[－1,0]. 12 分