2020届高考数学一轮复习（课时训练·文）第2章 函数概念与基本初等函数Ⅰ7幂函数与二次函数
【课时训练】幂函数与二次函数
一、选择题
1．(2018 湖南长沙模拟)已知函数 f(x)＝x
1
2 ，则( )
A．∃x0∈R，使得 f(x)<0
B．∀x>0, f(x)>0
C．∃x1，x2∈[0，＋∞)，使得 f x1 －f x2
x1－x2
<0
D．∀x1∈[0，＋∞)，∃x2∈[0，＋∞)，使得 f(x1)>f(x2)
【答案】B
【解析】由题得，f(x)＝ x，函数的定义域为[0，＋∞)，函数的值域为[0，＋∞)，
并且函数是单调递增函数，所以 A 不成立，根据单调性可知 C 也不成立，而 D 中，当 x1＝0
时，不存在 x2∈[0，＋∞)，使得 f(x1)>f(x2)，所以 D 不成立．故选 B.
2．(2018 黑龙江哈尔滨六中月考)已知α∈
－2，－1，－1
2
，1
2
，1，2
，则使 f(x)＝xα
为奇函数，且在(0，＋∞)上单调递减的α的值的个数是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
【答案】A
【解析】由 f(x)＝xα在(0，＋∞)上单调递减，可知α<0.又 f(x)＝xα为奇函数，所以
α只能取－1.
3．(2018 福建六校联考)若幂函数 y＝(m2－3m＋3)·xm2－m－2 的图象不过原点，则 m
的取值是( )
A．－1≤m≤2 B．m＝1 或 m＝2
C．m＝2 D．m＝1
【答案】B
【解析】由幂函数性质可知 m2－3m＋3＝1，∴m＝1 或 m＝2.又函数图象不过原点，∴m2
－m－2≤0，即－1≤m≤2.
∴m＝1 或 m＝2.
4．(2018天津河东区模拟)若函数f(x)＝(1－x2)(x2＋ax－5)的图象关于直线x＝0对称，
则 f(x)的最大值是( )
A．－4 B．4
C．4 或－4 D．不存在
【答案】B
【解析】由题意知，函数 f(x)是偶函数，则 y＝x2＋ax－5 是偶函数，故 a＝0.则 f(x)
＝(1－x2)(x2－5)＝－x4＋6x2－5＝－(x2－3)2＋4.故当 x2＝3 时， f(x)取最大值为 4.
5．(2018 广东惠州一模)已知函数 f(x)＝x2－m 是定义在区间[－3－m，m2－m]上的奇函数，
则下列成立的是( )
A．f(m)
f(0) D．f(m)与 f(0)大小不确定
【答案】A
【解析】因为函数 f(x)是奇函数，所以－3－m＋m2－m＝0，解得 m＝3 或 m＝－1.当 m
＝3 时，函数 f(x)＝x－1，定义域不是[－6,6]，不合题意；当 m＝－1 时，函数 f(x)＝x3 在
定义域[－2,2]上单调递增，又 m<0，所以 f(m)0.若 a，b∈R，且 a＋b>0，ab<0，
则 f(a)＋f(b)的值( )
A．恒大于 0 B．恒小于 0
C．等于 0 D．无法判断
【答案】A
【解析】∵函数 f(x)＝(m2－m－1)x4m
9
－m
5
－1 是幂函数，∴m2－m－1＝1，解得 m＝2 或 m＝
－1.又由题易知函数 f(x)在第一象限是增函数，当 m＝2 时，指数为 4×29－25－1＝2 015>0，
满足题意，当 m＝－1 时，指数为 4×(－1)9－(－1)5－1＝－4<0，不满足题意．∴幂函数 f(x)
＝x2 015，它是定义在R 上的奇函数，且是增函数．又∵a，b∈R，且a＋b>0，∴a>－b，∴f(a)>f(－
b)＝－f(b)，∴f(a)＋f(b)>0.故选 A.
二、填空题
9．(2018 河南百校联盟质检)若关于 x 的不等式 x2－4x≥m 对任意 x∈(0,1]恒成立，则
m 的取值范围为________．
【答案】(－∞，－3]
【解析】因为函数 f(x)＝x2－4x 在(0,1]上为减函数，所以当 x＝1 时，f(x)min＝1－4
＝－3，所以 m≤－3.
10．(2018 四川遂宁零诊)已知点 P1(x1,2 018)和 P2(x2，2 018)在二次函数 f(x)＝ax2＋
bx＋9 的图象上，则 f(x1＋x2)的值为________．
【答案】9
【解析】依题意得 x1＋x2＝－b
a
，则 f(x1＋x2)＝ f
－b
a ＝a
－b
a 2＋b
－b
a ＋9＝9.
11．(2018 福建泉州质检)．若二次函数 f(x)＝ax2－x＋b 的最小值为 0，则 a＋4b 的取
值范围为________．
【答案】[2，＋∞)
【解析】由已知可得，a>0，且判别式Δ＝1－4ab＝0，即 ab＝1
4
，∴a＋4b≥2 4ab＝2，
即 a＋4b 的取值范围为[2，＋∞)．
12．(2018 江苏兴化三校联考)已知函数 f(x)＝x|x－2|在[0，a]上的值域为[0,1]，则
实数 a 的取值范围是________．
【答案】[1,1＋ 2]
【解析】函数 f(x)＝x|x－2|＝
x2－2x，x>2，
2x－x2，x≤2，
则易知 f(x)在(－∞，1)上单调递增，
在(1,2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增，且过点(0,0)，(2,0)．因为由 2x－x2＝1(x≤2)
解得 x＝1，由 x2－2x＝1(x>2)解得 x＝1＋ 2，且 f(x)在[0，a]上的值域为[0,1]，所以
1≤a≤1＋ 2.
三、解答题
13．(2018 杭州模拟)已知函数 h(x)＝(m2－5m＋1)xm＋1 为幂函数，且为奇函数．
(1)求 m 的值；
(2)求函数 g(x)＝h(x)＋ 1－2h x ，x∈
0，1
2 的值域．
【解】(1)∵函数 h(x)＝(m2－5m＋1)xm＋1 为幂函数，∴m2－5m＋1＝1，解得 m＝0 或 5.
又 h(x)为奇函数，∴m＝0.
(2)由(1)可知 g(x)＝x＋ 1－2x，x∈
0，1
2 ，令 1－2x＝t，则 x＝－1
2
t2＋1
2
，t∈[0,1]，
∴f(t)＝－1
2
t2＋t＋1
2
＝－1
2
(t－1)2＋1∈
1
2
，1
，
故 g(x)＝h(x)＋ 1－2h x ，x∈
0，1
2 的值域为
1
2
，1
.
14．(2018 四川成都二诊)已知函数 f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0，b∈R，c∈R)．
(1)若函数 f(x)的最小值是 f(－1)＝0，且 c＝1，F(x)＝
f x ，x>0，
－f x ，x<0，
求 F(2)
＋F(－2)的值；
(2)若 a＝1，c＝0，且|f(x)|≤1 在区间(0,1]上恒成立，试求 b 的取值范围．
【解】(1)由已知 c＝1，a－b＋c＝0，且－ b
2a
＝－1，解得 a＝1，b＝2.∴f(x)＝(x＋1)2.
∴F(x)＝
x＋1 2，x>0，
－ x＋1 2，x<0.
∴F(2)＋F(－2)＝(2＋1)2－(－2＋1)2＝8.
(2)由题意可知， f(x)＝x2＋bx，则原命题等价于－1≤x2＋bx≤1 在(0,1]上恒成立，
即 b≤1
x
－x 且 b≥－1
x
－x 在(0,1]上恒成立．又1
x
－x 的最小值为 0，－1
x
－x 的最大值为－2，
所以－2≤b≤0.故 b 的取值范围是[－2,0]．
