【数学】2019届文科一轮复习人教A版3-4函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及三角函数模型的简单应用教案

【数学】2019届文科一轮复习人教A版3-4函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及三角函数模型的简单应用教案

第四节　函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及三角函数模型的简单应用 ‎[考纲传真]　(教师用书独具)1.了解函数y＝AsinF(ωx＋φ)的物理意义；能画出函数的图象，了解参数A，ω，φ对函数图象变化的影响.2.会用三角函数解决一些简单实际问题，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型．‎ ‎(对应学生用书第45页)‎ ‎ [基础知识填充]‎ ‎1．函数y＝Asin (ωx＋φ)中各量的物理意义 y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，x≥0)，表示一个振动量时 振幅 周期 频率 相位 初相 A T＝ f＝＝ ωx＋φ φ ‎2. 用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示 x ‎－ ωx＋φ ‎0‎ π ‎2π y＝Asin(ωx＋φ)‎ ‎0‎ A ‎0‎ ‎－A ‎0‎ ‎3. 由y＝sin x的图象变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(其中A＞0，ω＞0)的图象 先平移后伸缩　　　　　　　　先伸缩后平移 ‎⇓　　　　　　　　　　　　⇓‎ ‎[知识拓展]‎ ‎1．由y＝sin ωx到y＝sin(ωx＋φ)(ω＞0，φ＞0)的变换中，应向左平移个单位长度，而非φ个单位长度．‎ ‎2．函数y＝Asin(ωx＋φ)的对称轴由ωx＋φ＝kπ＋，k∈Z确定；对称中心由ωx＋φ＝kπ，k∈Z确定其横坐标．‎ ‎[基本能力自测]‎ ‎1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)‎ ‎ (1)利用图象变换作图时“先平移，后伸缩”与“先伸缩，后平移”中平移的单位长度一致．(　　)‎ ‎ (2)将y＝3sin 2x的图象左移个单位后所得图象的解析式是y＝3sin.(　　)‎ ‎ (3)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的图象的两个相邻对称轴间的距离为一个周期．(　　)‎ ‎ (4)函数y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为T，那么函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为.(　　)‎ ‎ [答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√‎ ‎2．(2016·四川高考)为了得到函数y＝sin的图象，只需把函数y＝sin x的图象上所有的点(　　)‎ ‎ A．向左平行移动个单位长度 B．向右平行移动个单位长度 ‎ C．向上平行移动个单位长度 D．向下平行移动个单位长度 ‎ A　[把函数y＝sin x的图象上所有的点向左平行移动个单位长度就得到函数y＝sin的图象．]‎ ‎3．(2017·山东高考)函数y＝sin 2x＋cos 2x的最小正周期为(　　)‎ ‎ A．　　　 B．　　　‎ ‎ C．π　　　 D．2π ‎ C　[y＝sin 2x＋cos 2x＝2sin，T＝＝π.‎ ‎ 故选C．]‎ ‎4．将函数y＝sin(2x＋φ)的图象沿x轴向左平移个单位后，得到一个偶函数的图象，则φ的一个可能取值为(　　)‎ ‎ A．　　　　 B．　　　　 ‎ ‎ C．0　　　　 D．－ ‎ B　[把函数y＝sin(2x＋φ)沿x轴向左平移个单位后得到函数y＝sin 2＝sin为偶函数，则φ的一个可能取值是.]‎ ‎5．(教材改编)电流I(单位：A)随时间t(单位：s)变化的函数关系式是I＝5sin，t∈[0，＋∞)，则电流I变化的初相、周期分别是________．‎ ‎ 【导学号：79170097】‎ ‎ ，　[由初相和周期的定义，得电流I变化的初相是，周期T＝＝.]‎ ‎(对应学生用书第46页)‎ 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及变换 ‎　(1)(2017·全国卷Ⅰ)已知曲线C1：y＝cos x，C2：y＝sin，则下面结论正确的是(　　)‎ ‎ A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2‎ ‎ B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线 ‎ 向左平移个单位长度，得到曲线C2‎ ‎ C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向 ‎ 右平移个单位长度，得到曲线C2‎ ‎ D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向 ‎ 左平移个单位长度，得到曲线C2‎ ‎ (2)已知函数f(x)＝3sin，x∈R.‎ ‎ ①画出函数f(x)在一个周期的闭区间上的简图；‎ ‎ ②将函数y＝sin x的图象作怎样的变换可得到f(x)的图象？‎ ‎ (1)D　[因为y＝sin＝cos＝cos，所以曲线C1：y＝cos x上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到曲线y＝cos 2x，再把得到的曲线y＝cos 2x向左平移个单位长度，得到曲线y＝cos 2＝cos.故选D．]‎ ‎ (2)①列表取值：‎ x π π π π x－ ‎0‎ π π ‎2π f(x)‎ ‎0‎ ‎3‎ ‎0‎ ‎－3‎ ‎0‎ ‎ 描出五个关键点并用光滑曲线连接，得到一个周期的简图．‎ ‎ ②先把y＝sin x的图象向右平移个单位，然后把所有点的横坐标扩大为原来的2倍，再把所有点的纵坐标扩大为原来的3倍，得到f(x)的图象．‎ ‎ [规律方法]　　1.变换法作图象的关键是看x轴上是先平移后伸缩还是先伸缩后平移，对于后者可利用ωx＋φ＝ω确定平移单位．‎ ‎ 2．用“五点法”作图，关键是通过变量代换，设z＝ωx＋φ，由z取0，，π，π，2π来求出相应的x，通过列表，描点得出图象．如果在限定的区间内作图象，还应注意端点的确定．‎ ‎[变式训练1]　(1)(2016·全国卷Ⅰ)将函数y＝2sin的图象向右平移个周期后，所得图象对应的函数为(　　)‎ ‎ A．y＝2sin　　　　　　 B．y＝2sin ‎ C．y＝2sin D．y＝2sin ‎ (2)(2018·长春模拟)要得到函数f(x)＝cos的图象，只需将函数g(x)＝sin的图象(　　) 【导学号：79170098】‎ ‎ A．向左平移个单位长度 ‎ B．向右平移个单位长度 ‎ C．向左平移个单位长度 ‎ D．向右平移个单位长度 ‎ (1)D　(2)C　[(1)函数y＝2sin的周期为π，将函数y＝2sin的图象向右平移个周期即个单位长度，所得图象对应的函数为y＝2sin＝2sin，故选D．‎ ‎ (2)f(x)＝cos＝sin，‎ ‎ 故把g(x)＝sin的图象向左平移个单位，即得函数f(x)＝sin的图象，即得到函数f(x)＝cos的图象，故选C．]‎ 求函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式 ‎　(1)(2016·全国卷Ⅱ)函数y＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图341所示，则 ‎(　　)‎ 图341‎ ‎ A．y＝2sin ‎ B．y＝2sin ‎ C．y＝2sin ‎ D．y＝2sin ‎ (2)已知函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A＞0，ω＞0)的最大值为4，最小值为0，最小正周期为，直线x＝是其图象的一条对称轴，则下面各式中符合条件的解析式为(　　)‎ ‎ A．y＝4sin B．y＝2sin＋2‎ ‎ C．y＝2sin＋2 D．y＝2sin＋2‎ ‎ (1)A　(2)D　[(1)由图象知＝－＝，故T＝π，因此ω＝＝2.又图象的一个最高点坐标为，所以A＝2，且2×＋φ＝2kπ＋(k∈Z)，故φ＝2kπ－(k∈Z)，结合选项可知y＝2sin.故选A．‎ ‎ (2)由函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b的最大值为4，最小值为0，可知b＝2，A＝2.由函数的最小正周期为，可知＝，得ω＝4.由直线x＝是其图象的一条对称轴，可知4×＋φ＝kπ＋，k∈Z，从而φ＝kπ－，k∈Z，故满足题意的是y＝2sin＋2.]‎ ‎ [规律方法]　　确定y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A＞0，ω＞0)的步骤和方法 ‎ (1)求A，b：确定函数的最大值M和最小值m，则A＝，b＝；‎ ‎ (2)求ω：确定函数的周期T，则可得ω＝；‎ ‎ (3)求φ：常用的方法有：‎ ‎ ①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时A，ω，b已知)或代入图象与直线y＝b的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)．‎ ‎ ②五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的某一个点为突破口．“第一点”(即图象上升时与x轴的交点)时ωx＋φ＝0；“第二点”(即图象的“‎ 峰点”)时ωx＋φ＝；“第三点”(即图象下降时与x轴的交点)时ωx＋φ＝π；“第四点”(即图象的“谷点”)时ωx＋φ＝；“第五点”时ωx＋φ＝2π.‎ ‎[变式训练2]　(2017·石家庄一模)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的部分图象如图342所示，则f的值为(　　)‎ 图342‎ ‎ A．－　　　 B．－　　　‎ ‎ C．－　　　 D．－1‎ ‎ D　[由图象可得A＝，最小正周期T＝4＝π，则ω＝＝2.又f＝sin＝－，解得φ＝－＋2kπ(k∈Z)，即k＝1，φ＝，则f(x)＝sin，f＝sin＝sin＝－1，故选D．]‎ 函数y＝Asin(ωx＋φ)图象与性质的应用 ‎　(2016·天津高考)已知函数f(x)＝4tan xsin·cos－.‎ ‎ (1)求f(x)的定义域与最小正周期；‎ ‎ (2)讨论f(x)在区间上的单调性．‎ ‎ 【导学号：79170099】‎ ‎ [解]　(1)f(x)的定义域为. 2分 ‎ f(x)＝4tan xcos xcos－ ‎ ＝4sin xcos－ ‎ ＝4sin x－ ‎ ＝2sin xcos x＋2sin2x－ ‎ ＝sin 2x＋(1－cos 2x)－ ‎ ＝sin 2x－cos 2x＝2sin.‎ ‎ 所以f(x)的最小正周期T＝＝π. 6分 ‎ (2)令z＝2x－，则函数y＝2sin z的单调递增区间是，k∈Z.‎ ‎ 由－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，‎ ‎ 得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z. 8分 ‎ 设A＝，B＝xk∈Z，易知A∩B＝.‎ ‎ 所以当x∈时，f(x)在区间上单调递增，在区间上单调递减. 12分 ‎ [规律方法]　　讨论函数的单调性，研究函数的周期性、奇偶性与对称性，都必须首先利用辅助角公式，将函数化成一个角的一种三角函数．‎ ‎[变式训练3]　设函数f(x)＝－sin2ωx－sin ωxcos ωx(ω＞0)，且y＝f(x)图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为.‎ ‎ (1)求ω的值；‎ ‎ (2)求f(x)在区间上的最大值和最小值．‎ ‎ [解]　(1)f(x)＝－sin2ωx－sin ωxcos ωx ‎ ＝－·－sin 2ωx ‎ ＝cos 2ωx－sin 2ωx＝－sin. 3分 ‎ 因为图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为，又ω＞0，所以＝4×，因此ω＝1. 5分 ‎ (2)由(1)知f(x)＝－sin. 6分 ‎ 当π≤x≤时，≤2x－≤，‎ ‎ 所以－≤sin≤1，则－1≤f(x)≤. 10分 ‎ 故f(x)在区间上的最大值和最小值分别为，－1. 12分 三角函数模型的简单应用 ‎　某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t(单位：h)的变化近似满足函数关系：f(t)＝10－cost－sint，t∈[0,24)．‎ ‎ (1)求实验室这一天的最大温差；‎ ‎ (2)若要求实验室温度不高于‎11 ℃‎，则在哪段时间实验室需要降温？‎ ‎ [解]　(1)因为f(t)＝10－2 ‎ ＝10－2sin， 2分 ‎ 又0≤t＜24，‎ ‎ 所以≤t＋＜，－1≤sin≤1. 4分 ‎ 当t＝2时，sin＝1；‎ ‎ 当t＝14时，sin＝－1.‎ ‎ 于是f(t)在[0,24)上取得最大值12，取得最小值8.‎ ‎ 故实验室这一天最高温度为‎12 ℃‎，最低温度为‎8 ℃‎，最大温差为‎4 ℃‎. 6分 ‎ (2)依题意，当f(t)＞11时实验室需要降温．‎ ‎ 由(1)得f(t)＝10－2sin，‎ ‎ 故有10－2sin＞11，‎ ‎ 即sin＜－. 9分 ‎ 又0≤t＜24，因此＜t＋＜，即10＜t＜18.‎ ‎ 故在10时至18时实验室需要降温. 12分 ‎ [规律方法]　　1.三角函数模型在实际中的应用体现在两个方面：一是用已知的模型去分析解决实际问题，二是把实际问题抽象转化成数学问题，建立三角函数模型解决问题，其关键是合理建模．‎ ‎ 2．建模的方法是认真审题，把问题提供的“条件”逐条地“翻译”成“数学语言”，这个过程就是数学建模的过程．‎ ‎[变式训练4]　(2015·陕西高考)如图343，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y＝3sin＋k.据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为(　　)‎ 图343‎ ‎ A．5　　　　 B．6　　　　‎ ‎ C．8　　　　 D．10‎ ‎ C　[根据图象得函数的最小值为2，有－3＋k＝2，k＝5，最大值为3＋k＝8.]‎