2019高三数学（人教A版 文）一轮课时分层训练45 椭 圆

2019高三数学（人教A版 文）一轮课时分层训练45 椭 圆

课时分层训练(四十五)　椭　圆 ‎ (对应学生用书第217页)‎ A组　基础达标 ‎(建议用时：30分钟)‎ 一、选择题 ‎1．设F1，F2分别是椭圆＋＝1的左、右焦点，P为椭圆上一点，M是F1P的中点，|OM|＝3，则P点到椭圆左焦点的距离为(　　)‎ A．4　　 B．3‎ C．2 D．5‎ A　[由题意知，在△PF1F2中，|OM|＝|PF2|＝3，∴|PF2|＝6，∴|PF1|＝2a－|PF2|＝10－6＝4.]‎ ‎2．已知椭圆的方程为2x2＋3y2＝m(m>0)，则此椭圆的离心率为(　　)‎ A． B． C． D． B　[原方程化为＋＝1(m>0)，‎ ‎∴a2＝，b2＝，则c2＝a2－b2＝，‎ 则e2＝，∴e＝.]‎ ‎3．(2018·衡水模拟)已知A(－1,0)，B是圆F：x2－2x＋y2－11＝0(F为圆心)上一动点，线段AB的垂直平分线交BF于P，则动点P的轨迹方程为(　　)‎ ‎ 【导学号：79170293】‎ A．＋＝1 B．－＝1‎ C．－＝1 D．＋＝1‎ D　[由题意得|PA|＝|PB|，∴|PA|＋|PF|＝|PB|＋|PF|＝r＝2＞|AF|＝2，∴点P的轨迹是以A、F为焦点的椭圆，且a＝，c＝1，∴b＝，∴动点P的轨迹方程为＋＝1，故选D.]‎ ‎4．若点O和点F分别为椭圆＋＝1的中心和左焦点，若P为椭圆上的任意一点，则·的最大值为(　　)‎ A．2 B．3‎ C．6 D．8‎ C　[由题意知，O(0,0)，F(－1,0)，设P(x，y)，则＝(x，y)，＝(x＋1，y)，∴·＝x(x＋1)＋y2＝x2＋y2＋x.又∵＋＝1，∴y2＝3－x2，‎ ‎∴·＝x2＋x＋3＝(x＋2)2＋2.‎ ‎∵－2≤x≤2，∴当x＝2时，·有最大值6.]‎ ‎5．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点为F1，F2，离心率为，过F2的直线l交C于A，B两点．若△AF1B的周长为4，则C的方程为(　　)‎ A．＋＝1‎ B．＋y2＝1‎ C．＋＝1‎ D.＋＝1‎ ‎ A　[∵＋＝1(a>b>0)的离心率为，∴＝.‎ 又∵过F2的直线l交椭圆于A，B两点，△AF1B的周长为4，‎ ‎∴4a＝4，∴a＝，∴b＝，‎ ‎∴椭圆方程为＋＝1.]‎ 二、填空题 ‎6．已知椭圆的方程是＋＝1(a>5)，它的两个焦点分别为F1，F2，且|F1F2|＝8，弦AB(椭圆上任意两点的线段)过点F1，则△ABF2的周长为__________．‎ ‎4　[∵a>5，∴椭圆的焦点在x轴上．‎ ‎∵|F1F2|＝8，∴c＝4，‎ ‎∴a2＝25＋c2＝41，则a＝.‎ 由椭圆定义，|AF1|＋|AF2|＝|BF2|＋|BF1|＝2a，‎ ‎∴△ABF2的周长为4a＝4.]‎ ‎7．(2017·湖南长沙一中月考)如图854，∠OFB＝，△ABF的面积为2－，则以OA为长半轴，OB为短半轴，F为一个焦点的椭圆方程为__________．‎ ‎ 【导学号：79170294】‎ 图854‎ ＋＝1　[设所求椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，由题意可知，|OF|＝c，|OB|＝b，‎ ‎∴|BF|＝A．∵∠OFB＝，∴＝，a＝2B．‎ ‎∴S△ABF＝·|AF|·|BO|＝(a－c)·b＝(2b－b)b＝2－，‎ 解得b2＝2，则a＝2b＝2.‎ ‎∴所求椭圆的方程为＋＝1.]‎ ‎8．(2018·赣州模拟)已知圆E：x2＋2＝经过椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点F1，F2，与椭圆在第一象限的交点为A，且F1，E，A三点共线，则该椭圆的方程为________．‎ ＋＝1　[对于x2＋2＝，当y＝0时，x＝±，‎ ‎∴F1(－，0)，F2(，0)，∵E的坐标为，∴直线EF1的方程为＝ ‎，即y＝x＋，由 得点A的坐标为(，1)，‎ 则2a＝|AF1|＋|AF2|＝4，∴a＝2，∴b2＝2，‎ ‎∴该椭圆的方程为＋＝1.]‎ 三、解答题 ‎9．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，其中左焦点为F(－2,0)．‎ ‎(1)求椭圆C的方程；‎ ‎(2)若直线y＝x＋m与椭圆C交于不同的两点A，B，且线段AB的中点M在圆x2＋y2＝1上，求m的值．‎ ‎[解]　(1)由题意，得解得 3分 ‎∴椭圆C的方程为＋＝1. 5分 ‎(2)设点A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，线段AB的中点为M(x0，y0)，‎ 由消去y得，3x2＋4mx＋2m2－8＝0，‎ Δ＝96－8m2>0，∴－2b>0)，点O为坐标原点，点A的坐标为(‎ a,0)，点B的坐标为(0，b)，点M在线段AB上，满足|BM|＝2|MA|，直线OM的斜率为.‎ ‎(1)求E的离心率e；‎ ‎(2)设点C的坐标为(0，－b)，N为线段AC的中点，证明：MN⊥AB． ‎ ‎【导学号：79170295】‎ ‎[解]　(1)由题设条件知，点M的坐标为， 2分 又kOM＝，从而＝.‎ 进而a＝b，c＝＝2b，故e＝＝. 5分 ‎(2)证明：由N是AC的中点知，点N的坐标为，可得＝.‎ ‎ 8分 又＝(－a，b)，‎ 从而有·＝－a2＋b2＝(5b2－a2). 10分 由(1)的计算结果可知a2＝5b2，‎ 所以·＝0，故MN⊥AB． 12分 B组　能力提升 ‎(建议用时：15分钟)‎ ‎1．已知圆M：x2＋y2＋2mx－3＝0(m<0)的半径为2，椭圆C：＋＝1的左焦点为F(－c,0)，若垂直于x轴且经过F点的直线l与圆M相切，则a的值为 ‎(　　)‎ A．　　　　 B．1　　　　‎ C．2　　　　 D．4‎ C　[圆M的方程可化为(x＋m)2＋y2＝3＋m2，‎ 则由题意得m2＋3＝4，即m2＝1(m<0)，‎ ‎∴m＝－1，则圆心M的坐标为(1,0)．‎ 又直线l过椭圆C的左焦点，且垂直于x轴，‎ ‎∴直线l的方程为x＝－C．‎ 又∵直线l与圆M相切，‎ ‎∴c＝1，∴a2－3＝1，∴a＝2.]‎ ‎2．过椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左顶点A且斜率为k的直线交椭圆C于另一个点B，且点B在x轴上的射影恰好为右焦点F2，若b>0)经过点A(0，－1)，且离心率为.‎ 图855‎ ‎(1)求椭圆E的方程；‎ ‎(2)经过点(1,1)，且斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点P，Q(均异于点A)，证 明：直线AP与AQ的斜率之和为2. 【导学号：79170296】‎ ‎[解]　(1)由题设知＝，b＝1，‎ 结合a2＝b2＋c2，解得a＝. 3分 所以椭圆的方程为＋y2＝1. 5分 ‎(2)证明：由题设知，直线PQ的方程为y＝k(x－1)＋1(k≠2)，代入＋y2＝1，得(1＋2k2)x2－4k(k－1)x＋2k(k－2)＝0. 7分 由已知Δ>0，‎ 设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，x1x2≠0，‎ 则x1＋x2＝，x1x2＝. 9分 从而直线AP，AQ的斜率之和 kAP＋kAQ＝＋＝＋ ‎＝2k＋(2－k)＝2k＋(2－k) ‎＝2k＋(2－k)＝2k－2(k－1)＝2.‎ 所以直线AP与AQ的斜率之和为定值2. 12分