【数学】2020届一轮复习人教B版集合、常用逻辑用语学案
集合的运算性质及重要结论
(1)A∪A＝A，A∪∅＝A，A∪B＝B∪A；
(2)A∩A＝A，A∩∅＝∅，A∩B＝B∩A；
(3)A∩(∁UA)＝∅，A∪(∁UA)＝U；
(4)A∩B＝A⇔A⊆B，A∪B＝A⇔B⊆A.
(1)设集合A＝{1，2，6}，B＝{2，4}，C＝{1，2，3，4}，则(A∪B)∩C＝( )
A．{2} B．{1，2，4}
C．{1，2，4，6} D．{1，2，3，4，6}
【答案】B
【解析】由题意知A∪B＝{1，2，4，6}，所以(A∪B)∩C＝{1，2，4}，故选B.
(2)已知集合A＝{x|x<2}，B＝{x|3－2x>0}，则( )
A．A∩B＝ B．A∩B＝∅
C．A∪B＝ D．A∪B＝R
【答案】A
【解析】因为A＝{x|x<2}，B＝{x|3－2x>0}＝，所以A∩B＝，A∪B＝{x|x<2}．故选A.
(3)已知集合A＝{x|x2－11x－12＜0}，B＝{x|x＝2(3n＋1)，n∈Z}，则A∩B等于( )
A．{2} B．{2，8}
C．{4，10} D．{2，8，10}
【答案】B
集合运算中的常用方法
(1)若已知的集合是不等式的解集，用数轴求解；
(2)若已知的集合是点集，用数形结合法求解；
(3)若已知的集合是抽象集合，用Venn图求解．
【对点训练】
1．设集合A＝{1，2，4}，B＝{x|x2－4x＋m＝0}．若A∩B＝{1}，则B＝( )
A．{1，－3} B．{1，0}
C．{1，3} D．{1，5}
【答案】C
【解析】因为A∩B＝{1}，所以1∈B，所以1是方程x2－4x＋m＝0的根，所以1－4＋m＝0，m＝3，方程为x2－4x＋3＝0，解得x＝1或x＝3，所以B＝{1，3}，故选C.
2．(2019·洛阳模拟)已知全集U＝R，集合A＝{x|x2－3x－4＞0}，B＝{x|－2≤x≤2}，则如图所示阴影部分所表示的集合为( )
A．{x|－2≤x＜4} B．{x|x≤2或x≥4}
C．{x|－2≤x≤－1} D．{x|－1≤x≤2}
【答案】D
【解析】依题意得A＝{x|x＜－1或x＞4}，因此∁RA＝{x|－1≤x≤4}，题图中的阴影部分所表示的集合为(∁RA)∩B＝{x|－1≤x≤2}，选D.
3．(2019·武昌调研)设A，B是两个非空集合，定义集合A－B＝{x|x∈A，且x∉B}．若A＝{x∈N|0≤x≤5}，B＝{x|x2－7x＋10＜0}，则A－B＝( )
A．{0，1} B．{1，2}
C．{0，1，2} D．{0，1，2，5}
【答案】D
【解析】选D.A＝{0，1，2，3，4，5}，B＝{x|2＜x＜5}，所以A－B＝{0，1，2，5}．
命题的真假判断与否定
1．四种命题的关系
(1)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性．
(2)两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．
2．全(特)称命题及其否定
(1)全称命题p：∀x∈M，p(x)．它的否定﹁p：∃x0∈M，﹁p(x0)．
(2)特称命题p：∃x0∈M，p(x0)．它的否定﹁p：∀x∈M，﹁p(x)．
3．复合命题的真假判断
命题p∨q，只要p，q有一真，即为真；命题p∧q，只有p，q均为真，才为真；﹁p和p为真假对立的命题．
(1)(2019·郑州质量检测(一))命题“∃x0∈R，x－x0－1＞0”的否定是( )
A．∀x∈R，x2－x－1≤0 B．∀x∈R，x2－x－1＞0
C．∃x0∈R，x－x0－1≤0 D．∃x0∈R，x－x0－1≥0
【答案】A
【解析】依题意得，命题“∃x0∈R，x－x0－1＞0”的否定是“∀x∈R，x2－x－1≤0”，选A.
(2)已知命题p：∃x∈R，x2－x＋1≥0；命题q：若a2
0恒成立，所以p为真命题．对于命题q，取a＝2，b＝－3，22<(－3)2，而2>－3，所以q为假命题，﹁q为真命题．因此p∧﹁q为真命题．选B.
(3)能够说明“设a，b，c是任意实数．若a>b>c，则a＋b>c”是假命题的一组整数a，b，c的值依次为________．
【答案】－1，－2，－3
(1)命题真假的判定方法
①一般命题p的真假由涉及的相关知识辨别．
②四种命题真假的判断：一个命题和它的逆否命题同真假，而与它的其他两个命题的真假无此规律．
③形如p∨q，p∧q，﹁p命题的真假根据p，q的真假与联结词的含义判定．
(2)全称命题与特称命题真假的判定
①全称命题：要判定一个全称命题是真命题，必须对限定集合M中的每一个元素x验证p(x)成立，要判定其为假命题时，只需举出一个反例即可．
②特称命题：要判定一个特称命题为真命题，只要在限定集合M中至少能找到一个元素x0，使得p(x0)成立即可；否则，这一特称命题就是假命题．
(3)(易错提醒)“否命题”是对原命题“若p，则q”既否定其条件，又否定其结论；而“命题p的否定”即：非p，只是否定命题p的结论．
【对点训练】
1．(2019·长沙模拟)已知函数f(x)＝x，则( )
A．∃x0∈R，f(x0)＜0
B．∀x∈(0，＋∞)，f(x)≥0
C．∃x1，x2∈[0，＋∞)，＜0
D．∀x1∈[0，＋∞)，∃x2∈[0，＋∞)，f(x1)＞f(x2)
【答案】.B
【解析】幂函数f(x)＝x的值域为[0，＋∞)，且在定义域上单调递增，故A错误，B正确，C错误，D选项中当x1＝0时，结论不成立，选B.
2．(2019·山西重点中学五月联考)已知命题p：对任意x∈(0，＋∞)，log2x＜log4x，命题q：存在x∈R，使得tan x＝1－x，则下列命题为真命题的是( )
A．p∧q B．(﹁p)∧(﹁q)
C．p∧(﹁q) D．(﹁p)∧q
【答案】D.
【解析】易知命题p是假命题，命题q是真命题，故﹁p是真命题，因此(﹁p)∧q是真命题，故选D.
充要条件的判断
充分条件与必要条件的三种判定方法
(1)定义法：正、反方向推理，若p⇒q，则p是q的充分条件(或q是p的必要条件)；若p⇒q，且q⇒p，则p是q的充分不必要条件(或q是p的必要不充分条件)．
(2)集合法：利用集合间的包含关系．例如，若A⊆B，则A是B的充分条件(B是A的必要条件)；若A＝B，则A是B的充要条件．
(3)等价法：将命题等价转化为另一个便于判断真假的命题．
(1)设x∈R，则“2－x≥0”是“|x－1|≤1”的( )
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】由2－x≥0，得x≤2；由|x－1|≤1，得0≤x≤2，因为0≤x≤2⇒x≤2，x≤20≤x≤2，故“2－x≥0”是“|x－1|≤1”的必要而不充分条件，故选B.
(2)设m, n为非零向量，则“存在负数λ，使得m＝λn”是“m·n<0”的( )
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
判断充分、必要条件时应关注的三点
(1)要弄清先后顺序：“A的充分不必要条件是B”是指B能推出A，且A不能推出B；而“A是B的充分不必要条件”则是指A能推出B，且B不能推出A.
(2)要善于举出反例：当从正面判断或证明一个命题的正确或错误不易进行时，可以通过举出恰当的反例来说明．
法二：因为1∉A，所以1∉A∩B，故排除D；因为1.1∉B，所以1.1∉A∩B，故排除B；因为2∈A，2∈B，所以2∈A∩B，故排除A.故选C.
9．(2019·长沙模拟)已知集合A＝{1，2，3}，B＝{x|x2－3x＋a＝0，a∈A}，若A∩B≠∅，则a的值为( )
A．1 B．2
C．3 D．1或2
【答案】B.
【解析】当a＝1时，B中元素均为无理数，A∩B＝∅；当a＝2时，B＝{1，2}，A∩B＝{1，2}≠∅；当a＝3时，B＝∅，则A∩B＝∅.故a的值为2.选B.
10．(2019·山西八校联考)已知命题p：存在n∈R，使得f(x)＝nxn2＋2n是幂函数，且在(0，＋∞)上单调递增；命题q：“∃x∈R，x2＋2＞3x”的否定是“∀x∈R，x2＋2＜3x”．则下列命题为真命题的是( )
A．p∧q B．﹁p∧q
C．p∧﹁q D．﹁p∧﹁q
【答案】C.
【解析】当n＝1时，f(x)＝x3为幂函数，且在(0，＋∞)上单调递增，故p是真命题，则﹁p是假命题；“∃x∈R，x2＋2＞3x”的否定是“∀x∈R，x2＋2≤3x”，故q是假命题，﹁q是真命题．所以p∧q，﹁p∧q，﹁p∧﹁q均为假命题，p∧﹁q为真命题，选C.
11．(2019·兰州模拟)下列命题中，真命题为( )
A．∃x0∈R，ex0≤0
B．∀x∈R，2x＞x2
C．已知a，b为实数，则a＋b＝0的充要条件是＝－1
D．已知a，b为实数，则a＞1，b＞1是ab＞1的充分不必要条件
【答案】D.
12．(2019·郑州质量预测(二))下列命题是真命题的是( )
A．∀φ∈R，函数f(x)＝sin(2x＋φ)都不是偶函数
B．∃α，β∈R，使cos(α＋β)＝cos α＋cos β
C．向量a＝(2，1)，b＝(－1，0)，则a在b的方向上的投影为2
D．“|x|≤1”是“x≤1”的既不充分也不必要条件
【答案】B.
【解析】选项A，当φ＝时，f(x)＝cos 2x，其为偶函数，故A为假命题；选项B，令α＝，β＝－，则cos(α＋β)＝cos(－)＝，cos α＋cos β＝＋0＝，cos(α＋β)＝cos α＋cos β成立，故B为真命题；选项C，设a与b的夹角为θ，则a在b的方向上的投影为＝＝－2，故C为假命题；选项D，|x|≤1，－1≤x≤1，故充分性成立，若x≤1，|x|≤1不一定成立，故为充分不必要条件，D为假命题．
13．(2017·高考江苏卷)已知集合A＝{1，2}，B＝{a，a2＋3}．若A∩B＝{1}，则实数a的值为________．
【答案】：1
【解析】：因为B＝{a，a2＋3}，A∩B＝{1}，
所以a＝1或a2＋3＝1，
因为a∈R，
所以a＝1.经检验，满足题意．
14．若集合A＝{x||x|≤1，x∈R}，B＝{y|y＝x2，x∈R}，则A∩B＝________．
【答案】：{x|0≤x≤1}
【解析】：依题意得A＝{x|－1≤x≤1}，B＝{y|y≥0}，
所以A∩B＝{x|0≤x≤1}．
15．(2019·太原模拟(二))若命题“∀x∈(0，＋∞)，x＋≥m”是假命题，则实数m的取值范围是________．
【答案】：(2，＋∞)
【解析】：当x＞0时，x＋≥2(当且仅当x＝1时等号成立)．若命题“∀x∈(0，＋∞)，x＋≥m”为假命题，则m＞2.
16．设A＝{x|(x－3)(x＋a2)＜0}，B＝{x|x2－5x＋4＜0}．定义集合M＝{x|m＜x＜n}(m＜n)的长度为dim M＝n－m.则dim(A∩B)＝________．
【答案】：2
【解析】A＝{x|(x－3)(x＋a2)＜0}＝{x|－a2＜x＜3}，
B＝{x|x2－5x＋4＜0}＝{x|1＜x＜4}．
所以A∩B＝{x|1＜x＜3}，所以dim(A∩B)＝2.
