山西省忻州一中2018-2019学年高二上学期第一次月考数学试卷

山西省忻州一中2018-2019学年高二上学期第一次月考数学试卷

高二年级第一次月考 数学试题 命题人：董存会 ‎ ‎【满分150分，考试时间120分钟】‎ 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)‎ ‎1.设集合，．若，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2.设,向量 且 ∥，则|+|=（ ） ‎ A． B． C．2 D．10‎ ‎3. 如果直线与平面α不垂直，那么在平面α内（　　）‎ A．不存在与垂直的直线 B．存在一条与垂直的直线 C．存在无数条与垂直的直线 D．任一条都与垂直 ‎4.是两个平面，是两条直线，有下列四个命题,其中正确的个数为（ ）‎ ‎（1）如果，那么 ‎（2）如果，那么.‎ ‎（3）如果，那么.‎ ‎（4）如果，那么与所成的角和与所成的角相等.‎ A.1 B.2 C.3 D.4‎ ‎5. 的斜二侧直观图如图所示，则的面积为（ ）‎ A、 B、 C、 D、‎ ‎6.一个骰子由1～6六个数字组成，请你根据图中三种状态所显示的数字，推出“？”处的数字是（　　）‎ A．6 B．3 C．1 D．2‎ ‎7. 三个互不重合的平面能把空间分成n部分，则n所有可能值为 （ ）‎ A．4、6、8 B．4、6、7、8 ‎ C．4、6、7 D．4、5、7、8‎ ‎8．如图是一个几何体的三视图，则该几何体任意两个顶点间距离的最大值是（　　）‎ 是 否 开始 结束 输出S A． B． C．4 D．5‎ ‎9.执行如图的程序框图，输出的值为（ ）‎ A．6 B．5 C．4 D．3‎ ‎10. 已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为 （ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎11. 已知函数,则有（ ）‎ A.函数的图象关于直线对称 B.函数的图象关于点对称 C.函数为偶函数 D.函数在区间内单调递减 ‎12.已知函数,若有三个不同的实数根，则实数的取值范围是（ ）‎ ‎ ‎ 二、填空题(4×5=20分, 把答案填在答题纸的相应位置上)‎ ‎13. 在四面体ABCD中，，，，则该四面体外接球的表面积为 ． ‎ ‎14. 若满足约束条件，则的最小值为__________.‎ ‎15. 已知数列是递增的等比数列，，则数列的前项和等于 ______.‎ ‎16. 如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中：‎ ‎①BM与ED平行；‎ ‎②CN与BE是异面直线；‎ ‎③CN与BM成60°角；‎ ‎④DM与BN是异面直线．‎ 以上四个命题中，正确命题的序号是___________．‎ 三、解答题(本大题6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，并把解答写在答题纸的相应位置上) ‎ ‎17．(本小题满分10分)‎ 在锐角△ABC中，内角的对边分别为， 且，‎ ‎（Ⅰ）求角的大小.‎ ‎（Ⅱ) 若，求△ABC的面积.‎ ‎18．（本小题满分12分）‎ 等差数列的前项和为,且.‎ ‎ (1) 数列满足:求数列的通项公式；‎ ‎ (2) 设求数列的前项和.‎ ‎19．（本小题满分12分）‎ 如图所示，在四棱锥O-ABCD中，底面ABCD是边长为1的菱形，，OA⊥面ABCD，OA=2，M、N分别为OA、BC的中点 ‎(1)证明：直线MN∥平面OCD;‎ ‎(2)求异面直线AB与MD所成角的大小;‎ ‎(3)求点B到平面OCD的距离．‎ ‎20．（本小题满分12分）‎ 已知四棱锥A﹣BCDE，其中AB=BC=AC=BE=1，CD=2，CD⊥面ABC，BE∥CD，F为AD的中点．‎ ‎（Ⅰ）求证：EF∥面ABC；‎ ‎（Ⅱ）求证：EF⊥平面ACD；‎ ‎（Ⅲ）求四棱锥A﹣BCDE的体积．‎ ‎21．（本小题满分12分）‎ 为了解大学生身高情况，从某大学随机抽取100名学生进行身高调查，得出如下统计表：‎ 身高(cm)‎ ‎[145, 155)‎ ‎[155, 165)‎ ‎[165, 175)‎ ‎[175, 185)‎ ‎[185, 195)‎ ‎[195, 205]‎ 人数 ‎12‎ a ‎35‎ ‎22‎ b ‎2‎ 频率 ‎0.12‎ c d ‎0.22‎ ‎0.04‎ ‎0.02‎ ‎（1）求表中b、c、d的值；‎ ‎（2）根据上面统计表，估算这100名学生的平均身高；‎ ‎（3）若从上面100名学生中，随机抽取2名身高不低于185cm的学生，求这2名学生中至少有1名身高不低于195cm的概率．‎ ‎22．（本小题满分12分）‎ 如图，四边形ABCD为菱形，G为AC与BD的交点，BE⊥平面ABCD. ‎ ‎（Ⅰ）证明：平面AEC⊥平面BED；‎ ‎（Ⅱ）若∠ABC=120°，AE⊥EC，三棱锥E—ACD的体积为，求该三棱锥的侧面积 高二年级第一次月考数学试题参考答案 一、选择题 ‎1.A 2.B 3.C 4.C 5.D 6.C 7.B 8.B 9.D 10.B 11.B 12.D 二． 填空题 ‎13. 14.-1 15. 16． 三、解答题 ‎17.解(1)由已知可得，且，又………………………………………………4分 ‎(2)由（1）知，于是根据可得 ‎，解得，所以………………………10分 ‎18. 解:(1)设等差数列的公差为，由已知 ‎ 解得： ∴ ………………………………………..3分 ‎ 又 ‎ ………………………………………..6分 ‎ (2) ………………………………………8分 ‎ ∴‎ ‎ ………………………………………………12分 ‎19. 解：（1）取OD的中点E，连接ME、CE则四边形MNCE为平行四边形， ∴MN//CE,又 ∴MN∥平面OCD （2）∵， ∴为异面直线AB与MD所成的角（或其补角） 作于点P，连接MP ∵，∴ ∵，∴ ‎ ‎∵， ∴， 所以，异面直线AB与MD所成的角为。 （3）∵，∴点B和点A到平面的距离相等。 连接OP，过点A作于点Q ∵，∴，∴又∵， ∴， 线段AQ的长就是点A到平面OCD的距离，与点B到平面OCD的距离相等 ， ， 所以，点B到平面OCD的距离为 ‎20. 证明：（Ⅰ）取AC中点G，连接FG、BG，‎ ‎∵F，G分别是AD，AC的中点 ∴FG∥CD，且FG=DC=1．‎ ‎∵BE∥CD∴FG与BE平行且相等 ‎ ‎∴EF∥BG． 又∵EF⊄面ABC，BG⊂面ABC ‎ ‎∴EF∥面ABC……………………………………………………………………………………………..4分 ‎（Ⅱ）∵△ABC为等边三角形 ∴BG⊥AC 又∵DC⊥面ABC，BG⊂面ABC ∴DC⊥BG ‎∴BG垂直于面ADC的两条相交直线AC，DC， ‎ ‎∴BG⊥面ADC． ‎ ‎∵EF∥BG ‎ ‎∴EF⊥面ADC …………………………………………………………………………………………..8分 ‎（Ⅲ）方法一：连接EC，该四棱锥分为两个三棱锥E﹣ABC和E﹣ADC．‎ ‎…..12分 方法二：取BC的中点为O，连接AO，则AO⊥BC，又CD⊥平面ABC，‎ ‎∴CD⊥AO，BC∩CD=C，∴AO⊥平面BCDE，‎ ‎∴AO为VA﹣BCDE的高，，‎ ‎∴………………………………………………………..12分 ‎ ‎ ‎21. 解：（1）由，得，由，得，‎ 所以 ………………3分 ‎（2） …6分 ‎（3）设身高在[185, 195)内的学生为A1, A2, A3, A4，在[195, 205]内的学生为B1, B2, 则从 ‎[185, 205]内随机抽取2名学生的所有基本事件有：A1A2, A1A3, A1A4, A2A3, A2A4, A3A4, A1B1, A1B2, A2B1, A2B2, A3B1, A3B2, A4B1, A4B2, B1B2，共15个 ……………9分 ‎ 设“2名学生中至少有一位学生身高不低于195cm”为事件A，则事件A包含基本事件共9个，所以 ……………………11分 即2名学生中至少有1名学生身高不低于195cm的概率为. ………………12分 ‎（注意：用间接法计算的可酌情给分。）‎ ‎22. ‎