数学卷·2018届河南省郑州市七校联考高二上学期期中考试理科数学 （解析版）x
2016-2017学年河南省郑州市七校联考高二上学期期中考试理科数学
一、选择题：共12题
1．已知a>b，c>d，且c，d不为0，那么下列不等式成立的是
A.ad>bc B.ac>bd C.a-c>b-d D.a+c>b+d
【答案】D
【解析】本题主要考查不等式的性质,可利用特值验证求解.
对于A,令a=2,b=1,c=-1,d=-2,故A,B,C错;故选D.
2．不等式(x-1)(2-x)≥0的解集为
A.{x|1≤x≤2} B.{x|x≤1或x≥2}
C.{x|1
2}
【答案】A
【解析】本题主要考查一元二次不等式的解法.
原式转化为(x-1)(x-2)≤0,解得1≤x≤2,
故选A.
3．在数列{an}中，若a1=-2，且对任意的n∈N*有2an+1=1+2an，则数列{an}前10项的和为
A.2 B.10 C.52 D.54
【答案】C
【解析】本题主要考查等差数列的概念和前n项和的应用.
根据2an+1=1+2an可得an+1-an=12,故数列{an}为公差为12的等差数列；
∴Sn=10×-2+10×92×12=52,
故选C.
4．已知等比数列{an}满足a1=3，a1+a3+a5=21，则a3+a5+a7等于
A.21 B.42 C.63 D.84
【答案】B
【解析】本题主要考查等比数列的性质.
由a1=3，a1+a3+a5=21，可得a11+q2+q4=21,
解得q2=2,
a3+a5+a7=a1q2+a3q2+a5q2=q2a1+a3+a5=42,
故选B.
5．在ΔABC中,a=x,b=2,∠B=45°,若三角形有两解,则x的取值范围是
A.x>2 B.x<2 C.20恒成立，则实数a的取值范围为
A.[-1,4] B.(-∞,-2]∪[5,+∞)
C.(-∞,-1]∪[4,+∞) D.[-2,5]
【答案】A
【解析】本题主要考查基本不等式的应用，函数恒成立，考查转化思想以及计算能力，属于中档题．
∵x>0，∴不等式x+4x≥2x∙4x=4，当且仅当x=2时，表达式取得最小值为4，由关于x的不等式x+4x≥a2-3a对任意实数x>0恒成立，可得4≥a2-3a，解得-1≤a≤4，
故选A.
8．若变量想x，y满足约束条件y≤x,x+y≤1,y≥-1,且z=2x+y的最大值和最小值分别为m和n，则m-n等于
A.5 B.6 C.7 D.8
【答案】B
【解析】本题主要考查线性规划的应用，利用z的几何意义，利用数形结合是解决本题的关键．
作出不等式组对应的平面区域如图：
由z=2x+y，得y=﹣2x+z，
平移直线y=﹣2x+z，由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点A，
直线y=﹣2x+z的截距最小，此时z最小，
由y=-1y=x，解得x=-1y=-1，
即A(﹣1，﹣1)，此时z=﹣2﹣1=﹣3，此时n=﹣3，
平移直线y=﹣2x+z，由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点B，
直线y=﹣2x+z的截距最大，此时z最大，
由y=-1x+y=1，解得x=2y=-1，
即B(2，﹣1)，此时z=2×2﹣1=3，即m=3，
则m﹣n=3﹣(﹣3)=6，
故选B.
9．如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B,C的俯角分别为75°，30°，此时气球的高度是60m，则河流的宽度BC等于
A.240(3+1)m B.180(2-1)m C.120(3-1)m D.30(3+1)m
【答案】C
【解析】本题给出实际应用问题，求河流在B、C两地的宽度，着重考查了三角函数的定义、正余弦定理解三角形的知识，属于中档题．
如图，∠DAB=15°，
∵tan15°=tan45°﹣30°=tan45°-tan30°tan45°tan30°=2-3．
在Rt△ADB中，又AD=60，
∴DB=AD•tan15°=60×(2﹣3)=120﹣603．
在Rt△ADC中，∠DAC=60°，AD=60，
∴DC=AD•tan60°=603．
∴BC=DC﹣DB=603﹣(120﹣603)=120(3﹣1)(m)．
∴河流的宽度BC等于120(3﹣1)m．
故选C.
10．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若A，B，C成等差数列，2a，2b，2c成等比数列，则cosAcosB=
A.14 B.16 C.12 D.23
【答案】A
【解析】本题主要考查了等差数列和等比数列的性质，三角形的内角和定理，以及余弦定理的应用，三角形问题与数列的综合题，是考试中常涉及的问题，注重了对学生的双基能力的考查．
由A，B，C成等差数列，有2B=A+C(1)
∵A，B，C为△ABC的内角，∴A+B+C=π(2)．
由(1)(2)得B=π3．
由2a，2b，2c成等比数列，得b2=ac，
由余弦定理得，b2=a2+c2﹣2accosB
把B=π3,b2=ac代入得，a2+c2﹣ac=ac，
即(a-c)2=0，则a=c，从而A=C=B=π3，
∴cosAcosB=12×12=14，
故选A.
11．已知数列{an}:12,13+23 ,14+24+34 ,…,110+210+310+⋯910,…,若bn=1an⋅an+1，那么数列{bn}的前n项和Sn为
A.nn+1 B.4nn+1 C.3nn+1 D.5nn+1
【答案】B
【解析】本题考查数列的通项，考查裂项法求数列的和，考查学生的计算能力，属于基础题．先确定数列{an}的通项，再确定数列{bn}的通项，利用裂项法可求数列的和．
由题意，数列{an}的通项为an=1+2+3+…+nn+1=n2，
∴bn=1an∙an+1=4(1n-1n+1)
∴Sn=41-12+12-13+…+1n-1n+1=41-1n+1=4nn+1,
故选B.
12．已知各项均为正数的等比数列{an}满足a7=a6+2a5，若存在两项am，an使得aman=4a1，则1m+4n的最小值为
A.32 B.53 C.94 D.256
【答案】A
【解析】本题主要考查等比数列的通项公式，基本不等式的应用，属于基础题．
由各项均为正数的等比数列{an}满足 a7=a6+2a5，可得a1q6=a1q5+2a1q4，
∴q2﹣q﹣2=0，∴q=2．
∵anam=4a1,
∴qm+n-2=16,∴2m+n-2=24，
∴m+n=6，
∴1m+4n=16m+n1m+4n=165+nm+4mn≥165+4=32，当且仅当nm=4mn时，等号成立．
故1m+4n的最小值等于32，
故选A.
二、填空题：共4题
13．已知数列{an}中，a1=1且1an+1=1an+13(n∈N*)，则a10=
【答案】14
【解析】本题主要考查等差数列的概念和通项公式的求解.
根据1an+1=1an+13可得1an+1-1an=13，
故{1an}是等差数列，
∴1an=1+n-1×13=13n+23=n+23,
∴an=3n+2,
∴a10=14.
14．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知bcosC+3bsinC-a-c=0，则角B=
【答案】π3
【解析】本题主要考查了正弦定理，特殊角的三角函数值，两角和与差的正弦函数公式在解三角形中的应用，正弦定理是解决本题的关键．综合性较强，属于基础题．
在△ABC中，bcosC+3bsinC-a-c=0，
∴利用正弦定理化简得：
sinBcosC+3sinBsinC-sinA-sinC=0，即
sinBcosC+3sinBsinC=sinA+sinC,
sinBcosC+3sinBsinC=sinA+sinC=sin(B+C)+sinC=sinBcosC+cosBsinC+sinC=sinBcosC+sinC(cosB+1),
∴3sinB=cosB+1，即sin(B﹣π6)=12，
∵00，b>0)的最大值为10，则a2+b2的最小值-1则实数m= .
【答案】2513
【解析】本题主要考查线性规划的应用以及点到直线距离公式的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．
由z=ax+by (a>0，b>0)得y=-abx+zb，
作出可行域如图：
∵a>0，b>0，
∴直线y=-abx+zb的斜率为负，且截距最大时，z也最大．
平移直线y=-abx+zb，由图象可知当y=-abx+zb经过点A时，
直线的截距最大，此时z也最大．
由3x-y-6=0x-y+2=0，解得x=4y=6，即A(4，6)．
此时z=4a+6b=10，
即2a+3b﹣5=0，
即(a，b)在直线2x+3y﹣5=0上，
a2+b2的几何意义为直线上点到原点的距离的平方，
则圆心到直线的距离d=|-5|22+32=513，
则a2+b2的最小值为d2=2513，
故答案为2513．
16．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，8,13，……，其中从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和，人们把这样的一列数所组成的数列{an}称为“斐波那契数列”，该数列是一个非常美丽、和谐的数列，有很多奇妙的属性，比如：随着项数的增加，前一项与后一项的比值越逼近黄金分割0.6180339887.若把该数列{an}的每一项除以4所得的余数按相对应的顺序组成新数列{bn}，在数列{bn}中第2016项的值是 .
【答案】0
【解析】本题主要考查数列的应用，考查数列为周期数性，属于中档题．
1，1，2，3，5，8，13，…除以4所得的余数分别为1，1，2，3，1，0，；1，1，2，3，1，0…，
即新数列{bn}是周期为6的周期数列，
∴b2016=b236×6=b6=0，
故答案为0．
三、解答题：共6题
17．已知关于x的不等式kx2-2x+3k<0.
(1)若不等式的解集为{x|x<-3或x>-1}，求k的值；
(2)若不等式的解集为ϕ，求实数k的取值范围.
【答案】(1)由不等式的解集为{x|x<-3或x>-1}，
可知k<0,-3和-1是一元二次方程kx2-2x+3k=0的两根，
所以(-3)×(-1)=3(-3)×(-1)=2k，解得k=-12.
(2)因不等式kx2-2x+3k<0的解集为ϕ，
若k=0，则不等式-2x<0，此时x>0，不合题意；
若k≠0，则k>0Δ=4-4k×3x≥0，解得00.
所以cosC=-12,又因为C∈(0,π)，所以C=2π3.
(2)因为余弦定理c2=a2+b2-2abcosC，
所以4=a2+b2-2ab⋅(-12)，即4=a2+b2+ab.
所以4=a2+b2+ab≥2ab+ab=3ab
所以4≥3ab，ab≤43(当且仅当a=b时等号成立).
因为SΔABC=12absinC=34ab，
所以当a=b时△ABC面积最大为33，此时a=b=233.
故当a=b=233时△ABC面积最大为33.
【解析】此题考查了正弦、余弦定理，三角形的面积公式，以及基本不等式的运用，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．
(1)已知等式左边利用正弦定理化简，右边利用诱导公式变形，整理后再利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式变形，根据sinA不为0求出cosC的值，即可确定出C的度数；
(2)利用余弦定理列出关系式，将c与cosC的值代入并利用基本不等式求出ab的最大值，进而确定出三角形ABC面积的最大值，以及此时a与b的值即可．
21．某企业准备投入适当的广告费对产品进行促销，在一年内预计销售Q(万件)与广告费x(万元)之间的函数关系为Q=3x+1x+1(x≥0).已知生产此产品的年固定投入为3万元，每生产1万元此产品仍需再投入32万元，若每件销售价为“平均每件生产成本的150%”与“年平均每件所占广告费的50%”之和.
(1)试将年利润W(万元)表示为年广告费x(万元)的函数；
(2)当年广告费投入多少万元时，企业年利润最大？最大利润为多少？
【答案】(1)由题意可得，产品的生产成本为(32Q+3)万元，每万件销售价为32Q+3Q×150%+xQ×50%，
∴年销售收入为(32Q+3Q×150%+xQ×50%)⋅Q=32(32Q+3)+12x，
∴年利润W=32(32Q+3)+12x-(32Q+3)-x
=12(32Q+3-x)=-x2+98x+352(x+1)(x≥0).
(2)令x+1=t(t≥1)，则
W=-(t-1)2+98(t-1)+352t=50-(t2+32t).
∵t≥1,∴t2+32t≥2t2⋅32t=8,即W≤42，
当且仅当t2=32t，即t=8时，W有最大值42，此时x=7.即当年广告费为7万元时，企业利润最大，最大值为42万元.
【解析】本题考查的知识点是函数模型的选择与应用，利用利润=收入﹣成本，得到年利润的表达式是解答本题的关键．
(1)根据生产此产品的年固定投入为3万元，每生产1万件此产品仍需后期再投入32万元，若每件售价为“年平均每件投入的150%”与“年平均每件所占广告费的50%”之和，可建立函数关系式；
(2)利用换元法，再借助于基本不等式，即可求得最值．
22．已知函数f(x)满足f(x+y)=f(x)⋅f(y)且f(1)=12.
(1)当n∈N*时，求f(n)的表达式；
(2)设an=n⋅f(n)，n∈N*，求证：a1+a2+a3+…+an<2；
(3)设bn=(9-n)f(n+1)f(n)，n∈N*，Sn为{bn}的前n项和，当Sn最大时，求n的值.
【答案】(1)令y=1，则f(x+1)=f(x)⋅f(1)，
∴f(n+1)=f(n)⋅f(1)，即f(n+1)f(n)=12
∴f(n)=(12)n(n∈N*)
(2)证明：an=n⋅(12)n
设Tn=a1+a2+a3+⋯+an-1+an，则
Tn=1⋅12+2⋅(12)2+3⋅(12)3+⋯+(n-1)(12)n-1+n⋅(12)n
12Tn=1⋅(12)2+2⋅(12)3+⋯+(n-2)(12)n-1+(n-1)(12)n+n⋅(12)n+1
∴12Tn=12+(12)2+(12)3+⋯+(12)n-1+(12)n-n⋅(12)n+1=12(1-(12)n)1-12=1-(12)n
∴Tn=2-(12)n-1<2
即a1+a2+a3+⋯+an-1+an<2
(3)由(1)可得bn=(9-n)12=9-n2，
∴数列{bn}是一个首项是4，公差为12的等差数列，
∴当n≥1时bn<0，当n≤8时bn>0，当n=9时bn=0
故n=8或9时Sn取得最大值18.
【解析】本题主要考查数列求和的错位相减法法、等比数列的前n项和公式，着重考查考生的运算能力．
(1)由于函数f(x)满足f(x+y)=f(x)⋅f(y)对任意的实数x，y都成立，故可令x=n，y=1，再由fx=12得到f(n)的表达式；
(2)由(1)知，an=n⋅(12)n，故可用错位相减法求出a1+a2+a3+…+an的表达式，即可得证；
(3)由(1)和bn=(9-n)12=9-n2，n∈N*可求bn的表达式，进而求出Sn，由于数列为一种特殊函数，故可利用函数单调性得到Sn最大时的n值．
