2019-2020学年四川省绵阳市南山中学高一上学期12月月考数学试题（解析版）

2019-2020学年四川省绵阳市南山中学高一上学期12月月考数学试题（解析版）

‎2019-2020学年四川省绵阳市南山中学高一上学期12月月考数学试题 一、单选题 ‎1．（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】直接利用诱导公式化简即得解.‎ ‎【详解】‎ ‎.‎ 故选：A ‎【点睛】‎ 本题主要考查诱导公式化简求值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.‎ ‎2．已知实数集，集合，集合，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】可得集合,求出补集,再求出即可.‎ ‎【详解】‎ 由,得,即,‎ 所以,‎ 所以.‎ 故选:A ‎【点睛】‎ 本题考查了集合的补集和交集的混合运算,属于基础题.‎ ‎3．下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的函数是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】对于A：函数不是偶函数，不合题意； ‎ 对于B：函数是偶函数，且时，递增；符合题意； ‎ 对于C：函数是偶函数，在递减，不合题意； ‎ 对于D：函数是偶函数，在递减，不合题意； ‎ 本题选择B选项.‎ ‎4．下列大小关系正确的是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】试题分析：根据题意，由于那么根据与0,1的大小关系比较可知结论为，选C.‎ ‎【考点】指数函数与对数函数的值域 点评：主要是利用指数函数和对数函数的性质来比较大小，属于基础题。‎ ‎5．设，则（ ）‎ A．3 B．2 C．1 D．0‎ ‎【答案】B ‎【解析】先求内层函数，将所求值代入分段函数再次求解即可 ‎【详解】‎ ‎，则 故选：B ‎【点睛】‎ 本题考查分段函数具体函数值的求法，属于基础题 ‎6．已知扇形的圆心角为，扇形所在圆的半径为2，则扇形的面积（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】先求出扇形的弧长，再利用扇形的面积公式求解.‎ ‎【详解】‎ 设扇形的弧长为.‎ 所以扇形的面积为.‎ 故选：A ‎【点睛】‎ 本题主要考查扇形的弧长和面积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.‎ ‎7．已知角的始边与轴非负半轴重合，终边过点，则（ ）‎ A．1 B．-1 C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】利用三角函数的坐标定义求出，即得解.‎ ‎【详解】‎ 由题得.‎ 所以.‎ 故选：D ‎【点睛】‎ 本题主要考查三角函数的坐标定义，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.‎ ‎8．已知函数是定义在R上的偶函数, 且在区间单调递增. 若实数a满足, 则a的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】试题分析：函数是定义在上的偶函数，∴，等价为），即．∵函数是定义在上的偶函数，且在区间单调递增，∴）等价为．即，∴，解得,故选项为C．‎ ‎【考点】（1）函数的奇偶性与单调性；（2）对数不等式.‎ ‎【思路点晴】本题主要考查对数的基本运算以及函数奇偶性和单调性的应用，综合考查函数性质的综合应 用根据函数的奇偶数和单调性之间的关系，综合性较强.由偶函数结合对数的运算法则得：，即，结合单调性得：将不等式进行等价转化即可得到结论.‎ ‎9．函数的最小正周期为，若其图象向左平移个单位后得到的函数为奇函数，则函数的图象（ ）‎ A．关于点对称 B．关于点对称 C．关于直线对称 D．关于直线对称 ‎【答案】C ‎【解析】根据函数的最小正周期为，求出，向左平移个单位后得到的函数为奇函数，求出，可得出的解析式，结合三角函数的性质可得出对称中心和对称轴，由此判断即可求得答案.‎ ‎【详解】‎ 根据三角函数的图象与性质，可得，因为，所以 所以 设的图象向左平移个单位后得到的函数为 则 若为奇函数，则,故()，即 因为，所以，所以，‎ 由,()解得,所以关于点,()对称 A项，不存在整数，使得，故A项错误；‎ B项，不存在整数，使得，故B项错误；‎ 由()解得,所以关于直线()对称 C项，当时，，故关于直线对称，故C项正确；‎ D项，不存在整数，使得，故D项错误.‎ 故选:C.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了正弦函数的图象变换以及对称中心，对称轴的求法，涉及的知识点较多，综合性较强，属于中等题.‎ ‎10．已知奇函数满足，当时，函数，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】由已知得到，即得函数的周期是2，把进行变形得到，‎ 由满足，求出即可．‎ ‎【详解】‎ ‎，所以函数的周期是2.‎ 根据对数函数的图象可知，且；‎ 奇函数满足和 则，‎ 因为 ‎，‎ 故选：．‎ ‎【点睛】‎ 考查学生应用函数奇偶性的能力，函数的周期性的掌握能力，以及运用对数的运算性质能力．‎ ‎11．设实数是函数的两个零点，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】能够分析出的零点是函数和函数交点的横坐标，从而可画出这两个函数图象，由图象列出不等式组，然后求解即可．‎ ‎【详解】‎ 令，；‎ 函数的零点是上面方程的解，即是函数和函数的交点的横坐标，‎ 画出这两个函数图象如下：‎ 由图看出：，，‎ ‎∴，，且，‎ ‎∴， ，即；‎ 故选：．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查函数的零点和对数函数的图象，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.‎ ‎12．已知函数，实数满足，则 的最小值为（ ）‎ A．1 B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】先求出，再设，判断函数g(x)的奇偶性，利用其奇偶性得到，再利用二次函数求最值.‎ ‎【详解】‎ 因为，‎ 所以，‎ 所以，‎ 设，‎ 因为，‎ 所以函数是一个奇函数，‎ 所以.‎ 因为，‎ 所以，‎ 所以，‎ 所以.‎ 所以.‎ 故选：D ‎【点睛】‎ 本题主要考查奇函数的判定及应用，考查二次函数的最值的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.‎ 二、填空题 ‎13．若幂函数的图象过点，则________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】把点的坐标代入幂函数的解析式即得解.‎ ‎【详解】‎ 由题得.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查幂函数的解析式的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.‎ ‎14．计算：______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】直接利用公式计算得到答案.‎ ‎【详解】‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了指数对数的计算，属于简单题目.‎ ‎15．若，且，则的值为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】∵且,∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴cosα+sinα=0,或cosα−sinα= (不合题意,舍去)，‎ ‎∴，‎ 故答案为：−1.‎ ‎16．已知函数，若在区间上既有最大值又有最小值，则实数的取值范围是______________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】f（x）的图象如图所示 ‎∵f（x）在上既有最大值又有最小值，‎ ‎∴‎ 解得＜a＜0，‎ 故a的取值范围为，‎ 故答案为：，‎ 三、解答题 ‎17．已知集合.‎ ‎（1）当时，求；‎ ‎（2）若，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】（1）化简集合A，B，再求；（2）先求出得不等式，解不等式即得解.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）当时，‎ ‎，.‎ ‎；‎ ‎（2），，‎ 若，则，‎ ‎.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查对数不等式指数不等式的解法，考查集合的关系和运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.‎ ‎18．近年来，我国大部分地区遭遇雾霾天气，给人们的健康、交通安全等带来了严重影响.经研究发现工业废气等污染物排放是雾霾形成和持续的重要因素，污染治理刻不容缓.为此，某工厂新购置并安装了先进的废气处理设备，使产生的废气经过过滤后排放，以降低对空气的污染.已知过滤过程中废气的污染物数量（单位：mg/L）与过滤时间（单位：h）间的关系为（，均为非零常数，e为自然对数的底数），其中为时的污染物数量.若经过5h过滤后还剩余90%的污染物.‎ ‎（1）求常数的值；‎ ‎（2）试计算污染物减少到40%至少需要多长时间.（精确到1h，参考数据：，，，，）‎ ‎【答案】（1）（2）42h ‎【解析】（1）根据题意，得到，求解，即可得出结果；‎ ‎（2）根据（1）的结果，得到，由题意得到，求解，即可得出结果.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由已知得，当时，；当时，.‎ 于是有，解得（或）.‎ ‎（2）由（1）知，当时，有，‎ 解得.‎ 故污染物减少到40%至少需要42h.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查函数模型的应用，熟记指数函数的性质即可，属于常考题型.‎ ‎19．已知函数.‎ ‎（1）求函数对称轴方程和单调递增区间；‎ ‎（2）对任意，恒成立，求实数m的取值范围.‎ ‎【答案】（1）对称轴是，单调增区间是（2）‎ ‎【解析】（1）化简函数得，再求函数对称轴方程和单调递增区间；（2）求出，即得解.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）‎ 由，‎ 由，‎ 所以对称轴是，单调增区间是 ‎（2）由得，‎ 从而.‎ 恒成立等价于，‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查三角恒等变换，考查三角函数的对称轴和单调区间的求法，考查三角函数的最值的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.‎ ‎20．已知函数.‎ ‎（1）若，对任意有恒成立，求实数k取值范围；‎ ‎（2）设，，若，问是否存在实数m使函数在上的最大值为0？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由.‎ ‎【答案】（1）（2）不存在满足条件的实数m,详见解析 ‎【解析】（1）由得，恒成立等价于恒成立，（2）先求出，令，则，再根据函数的最大值为零求解即可.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由，且可得，‎ ‎，，‎ 解得，‎ 则在上单调递减，在上单调递增，‎ 在上单调递减，‎ ‎，由有对任意，‎ 所以，‎ 所以.‎ ‎（2），‎ 由可得，‎ 即，又，‎ ‎，，‎ 易知在单调递增.‎ 令，则，‎ 令，则，‎ ‎，，‎ ‎，在有意义，‎ 对任意的都有恒成立，‎ 即，‎ ‎，‎ ‎.‎ 二次函数开口向上，对称轴为直线，对称轴在区间的左侧，‎ 所以在区间上单调递增，‎ 时，时，，‎ 设存在满足条件的实数m则：‎ 若，则为减函数，，‎ 即，‎ 所以，舍去；‎ 若，则为增函数，‎ ‎，‎ 即，‎ 所以，舍去；‎ 综上，不存在满足条件的实数m.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查指数对数函数的图象和性质，考查二次不等式的恒成立问题，考查函数最值的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.‎