安徽省池州市东至三中2019-2020学年高一上学期期中考试数学试题

安徽省池州市东至三中2019-2020学年高一上学期期中考试数学试题

www.ks5u.com 东至三中高一（上）期中数学试卷A 注意：本试卷包含Ⅰ、Ⅱ两卷.第Ⅰ卷为选择题，所有答案必须用2B铅笔涂在答题卡中相应的位置.第Ⅱ卷为非选择题，所有答案必须填在答题卷的相应位置.答案写在试卷上均无效，不予记分.‎ 一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）‎ ‎1.已知全集,,,则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分别求出集合和集合,由此能求出．‎ ‎【详解】解：,‎ ‎,‎ ‎．‎ 故选：A ‎【点睛】本题考查交集的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意指数函数性质的灵活运用．‎ ‎2.函数的定义域是 A. （-1，2] B. [-1,2] C. （-1 ，2） D. [-1,2)‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据二次根式的性质求出函数的定义域即可．‎ ‎【详解】由题意得： ‎ 解得：﹣1＜x≤2，‎ 故函数的定义域是（﹣1，2]，‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】本题考查了求函数的定义域问题，考查二次根式的性质，是一道基础题．常见的求定义域的类型有：对数，要求真数大于0即可；偶次根式，要求被开方数大于等于0；分式，要求分母不等于0，零次幂，要求底数不为0;多项式要求每一部分的定义域取交集.‎ ‎3.下列四个图象中，是函数图象是 A. ① B. ①③④ C. ①②③ D. ③④‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 由函数的定义知，对于定义域中的每一个自变量，只能有唯一的与之对应，故②不是函数，①③④是函数.‎ 故选B.‎ 点睛：函数定义中要求：‎ ‎1.两个函数都是非空集合；‎ ‎2.A中的每个元素在B中都有与之对应的元素；‎ ‎3.对应形式为“一对一”或“多对一”，但不能是“一对多”（一个 对应多个 ；‎ 只有满足了这几个特点的对应关系才是函数关系.‎ 本题解题的关键是观察：图象对应的是否是函数；定义域与值域是否是对的.‎ ‎4.已知函数满足，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析：根据题意得：①，令可得：‎ ‎②，联立可得，故选择D 考点：求函数解析式以及求函数值 ‎5.已知函数是定义在上的奇函数．且当时，，则的值为（ ）‎ A. B. C. D. 2‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 化简，先求出的值，再根据函数奇偶性的性质，进行转化即可得到结论．‎ ‎【详解】∵，‎ ‎∴，‎ 是定义在上的奇函数，且当时，，‎ ‎∴，‎ 即，故选B．‎ ‎【点睛】本题主要考查函数值的计算，考查了对数的运算以及函数奇偶性的应用，意在考查灵活应用所学知识解答问题的能力，属于基础题．‎ ‎6.设则 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：∵a=ln2＞0，ln3＞1，∴，即b＜a．‎ 又．∴b＞c．综上可知：a＞b＞c 考点：对数值大小的比较 ‎7.函数的零点所在的区间是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 应用函数零点存在性定理判断.‎ ‎【详解】易知函数f（x）=在定义域上连续，‎ 且f()=<0 , f（1）= -1<0 , f(2)= , ,‎ 根据函数零点存在性定理，可知零点所在区间为，故选B.‎ ‎【点睛】本题考查了函数零点的判定定理的应用，判断函数零点所在区间有三种常用方法，①直接法，解方程判断，②定理法，③图象法.‎ ‎8.设函数,若对任意x的都满足成立,则函数可以是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. 不存在这样的函数 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分为有理数和无理数两种情况讨论,再讨论和可得．‎ ‎【详解】对于A选项，当x为有理数时,,‎ ‎①当时,成立；‎ ‎②当时, 不成立,‎ 当x为无理数时,,不恒成立，故A错误；‎ 对于C选项，当x为无理数时,, 不恒成立；‎ 对于B选项，当x为有理数时,,‎ ‎①当时,成立；‎ ‎②当时,成立,‎ 当x为无理数时,,恒成立,‎ 故对任意的都满足成立，故D错误，B正确；‎ 故选：B ‎【点睛】本题考查了分段函数求解析式,需要分情况讨论,属中档题．‎ ‎9.若函数单调递增，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用函数的单调性，判断指数函数的单调性和一次函数的单调性，列出不等式，即可求解．‎ ‎【详解】由题意，函数单调递增，‎ 由指数函数和一次函数的单调性的性质，则满足 ，‎ 解得，即实数的取值范围是，故选D．‎ ‎【点睛】本题主要考查了分段函数的应用，其中解答中熟记分段函数的性质，以及指数函数和一次函数的单调性．列出不等式组是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题．‎ ‎10.已知函数，若，，则（ ）‎ A. B. ‎ C. D. 与的大小不能确定 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 判断f（x1）-f（x2）的正负即可 ‎【详解】f（x1）-f（x2）‎ ‎=（ax12+2ax1+4）-（ax22+2ax2+4）=a（x1-x2）（x1+x2）+2a（x1-x2）=a（x1-x2）（x1+x2+2）‎ 因为a＞0，x1＜x2，x1+x2=0所以x1-x2＜0，x1+x2+2＞0所以f（x1）-f（x2）＜0‎ 即f（x1）＜f（x2）．故选A ‎【点睛】本题考查了函数值作差法比较大小，作差，判断式子的正负，也是判断函数单调性的一种常用方法.‎ ‎11.已知函数，若互不相同，且满足，则的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 本题要先画出分段函数的图象，再根据根据分段函数第一个表达式可得出，根据分段函数第二个表达式可得出，这时可将用表示出来，通过求出关于的二次函数在相应区间上的值域即可得到的取值范围．‎ ‎【详解】由题意，可画出函数图象如下：‎ 由题意，‎ 互不相同，‎ ‎∴可不妨设．‎ ‎∵，由图象，可知．即：．‎ ‎∴，‎ ‎∴．‎ 又∵，‎ ‎∴依据图象，它们的函数值只能在0到2之间，‎ ‎∴．‎ 根据二次函数的对称性，可知：．‎ ‎∴‎ 则可以将看成一个关于的二次函数．‎ 由二次函数的知识，可知：‎ 在上的值域为．‎ 的取值范围即为，故选C．‎ ‎【点睛】本题主要考查分段函数的图象，相等函数值的自变量取值，意在考查数形结合思想的应用，本题是一道较难的中档题．数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法，.函数图象是函数的一种表达形式，它形象地揭示了函数的性质，为研究函数的数量关系提供了“形”的直观性．归纳起来，图象的应用常见的命题探究角度有：1、确定方程根的个数；2、求参数的取值范围；3、求不等式的解集；4、研究函数性质．‎ ‎12.已知函数,设,,其中表示p,q中的较大值,表示中的较小值记的最小值为,的最大值为,则（ ）‎ A. B. C. D. 16‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 解法一：在同一坐标系中画出与的图象,由图象及的定义知的最小值是,的最大值为,进而可得答案．‎ 解法二：先作差得到分别解出,,画出图形,利用新定义即可得出,进而得出A,B即可．‎ ‎【详解】解：解法一：,‎ 即,‎ 即,‎ 解得或．‎ 与的图象如图．‎ 由图象及的定义知的最小值是,‎ 最大值为,‎ ‎．‎ 解法二：令 ‎①由,解得,此时；‎ ‎②由,解得,或,此时；‎ ‎③由,解得,此时．‎ 综上可知：当时,则,‎ ‎,‎ 当时,,；‎ 当时,则,‎ ‎,‎ 故A,,‎ ‎．‎ 故选：C ‎【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质、函数最值的应用等,同时考查了数形结合的思想,属于中档题.本题的函数解析式较长,又有新定义函数,题目信息量很大,易错点是考生不会根据已知的两个函数均为二次函数,并且二次项系数为和的特点,通过作图,求出交点,数形结合,可以使问题简化.‎ 二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）‎ ‎13.若，则的值域是__________．（请用区间表示）‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】‎ ‎ ，函数在上为增函数，而，‎ ‎，函数的值域为.‎ ‎14.已知,则______．‎ ‎【答案】,．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将原函数用配方法配方,再将整个换元即可.‎ ‎【详解】解：‎ ‎.‎ 则,．‎ 故答案为：,．‎ ‎【点睛】本题考查函数的解析式的求法,常用直接法、配方法、换元法、待定系数法,需要注意定义域的的取值.‎ ‎15.已知函数分别是定义在上的偶函数和奇函数，且它们在上的图象如图所示，则不等式在上的解集是________. ‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 不等式的解集，与f（x）g(x)0且g（x）0的解集相同，观察图象选择函数值同号的部分，再由f（x）是偶函数，g（x）是奇函数，得到f（x）g（x）是奇函数，从而求得对称区间上的部分解集，最后两部分取并集即可.‎ ‎【详解】将不等式转化为f（x）g(x)0且g（x）0，‎ 如图所示：满足不等式的解集为：（1,2]‎ ‎∵y=f（x）是偶函数，y=g（x）是奇函数∴f（x）g（x）是奇函数,‎ 故在y轴左侧，满足不等式的解集为(-3,-2](-1,0) ‎ 故不等式在上的解集是(-3,-2](-1,0)（1,2]‎ ‎【点睛】本题考查了函数的奇偶性在解不等式中的应用，考查了数形结合，转化，分类讨论等思想方法，根据函数奇偶性的性质以及数形结合是解决本题的关键.‎ ‎16.设是定义在上的奇函数，且当时，，若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是___________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据奇函数的定义求出函数的解析式，可得，可将对任意的均成立转化为对任意的恒成立，即可求解.‎ ‎【详解】由题意得：当时，，所以是上的增函数且为奇函数，的解析式为.‎ 由题意得成立，从而原不等式等价于对任意的均成立，即对任意的恒成立 ‎∴对恒成立 ‎∴.‎ ‎【点睛】本题主要考查利用奇函数求解析式方法.解答本题的关键是利用转化思想，将对任意的均成立转化为对任意的恒成立.‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）‎ ‎17.计算：‎ ‎（1）． ‎ ‎（2）．‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)进行分数指数幂的运算即可；‎ ‎(2)进行对数的运算即可．‎ ‎【详解】解：原式；‎ 原式．‎ ‎【点睛】考查分数指数幂和对数的运算.需要牢记运算法则.‎ ‎18.已知全集，集合，，．‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）若，求实数的值．‎ ‎【答案】（1） 或 或；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用一元二次不等式的解法化简集合 或 ，利用指数函数的性质化简，然后进行并集的运算即可；（2）利用补集的定义求出，再根据 列方程求解即可．‎ ‎【详解】（1） 或 ， ；‎ ‎∴或 或 ；‎ ‎（2）；‎ ‎∵；‎ ‎∴；‎ ‎∴．‎ ‎【点睛】本题主要考查了不等式，求集合的交集、并集与补集的混合运算，属于容易题，这类题型尽管比较容易，但是在解题过程中也要注意三点：一要看清楚是求“”还是求“”；二是在求补集与交集时要考虑端点是否可以取到（这是一个易错点）；三是在化简集合的过程中要结合不等式的性质与解法.‎ ‎19.已知函数．‎ ‎（1）求，的值；‎ ‎（2）求证：是定值；‎ ‎（3）求的值．‎ ‎【答案】（1）2，2；（2）见证明；（3）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用函数的解析式，通过，分别求解，的值；（2）利用函数的解析式化简，即可证明是定值；（3）利用（2）的结论分组，即可求解的值．‎ ‎【详解】（1）函数．‎ 时，，．‎ ‎（2）因为，‎ 所以．‎ ‎（3）‎ ‎．‎ ‎【点睛】本题主要考查函数的解析式以及函数值的求法，考查转化思想以及计算能力，属于中档题．化是数学解题的灵魂，合理的转化不仅仅使问题得到了解决，还可以使解决问题的难度大大降低，本题将多项和问题转化为两项和问题是解题的关键.‎ ‎20.小张在淘宝网上开一家商店，他以10元每条的价格购进某品牌积压围巾2000条．定价前，小张先搜索了淘宝网上的其它网店，发现：商店以30元每条的价格销售，平均每日销售量为10条；商店以25元每条的价格销售，平均每日销售量为20条．假定这种围巾的销售量（条）是售价（元）的一次函数，且各个商店间的售价、销售量等方面不会互相影响．‎ ‎（1）试写出围巾销售每日的毛利润（元）关于售价（元）的函数关系式（不必写出定义域），并帮助小张定价，使得每日的毛利润最高（每日的毛利润为每日卖出商品的进货价与销售价之间的差价）；‎ ‎（2）考虑到这批围巾的管理、仓储等费用为200元/天（只要围巾没有售完，均须支付200元/天，管理、仓储等费用与围巾数量无关），试问小张应该如何定价，使这批围巾的总利润最高（总利润=总毛利润-总管理、仓储等费用）？‎ ‎【答案】（1）；定价为22元或23元（2）25元 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据题意先求出销售量与售价之间的关系式，再利用毛利润为每日卖出商品的进货价与销售价之间的差价，确定毛利润（元）关于售价（元）的函数关系式，利用二次函数求最值的方法可求；（2）根据总利润=总毛利润-总管理、仓储等费用，构建函数关系，利用基本不等式可求最值．‎ ‎【详解】设，∴，解得，b=70，∴．‎ ‎（1）， ‎ ‎∵，∴围巾定价为22元或23元时，每日的利润最高． ‎ ‎（2）设售价x（元）时总利润为z（元），‎ ‎∴ ，‎ ‎ 元，‎ 当时，即时，取得等号，‎ ‎∴小张的这批围巾定价为25元时，这批围巾的总利润最高.‎ ‎【点睛】本题以实际问题为载体，考查二次函数模型的构建，考查配方法求最值及基本不等式求最值，关键是函数式的构建．与实际应用相结合的题型也是高考命题的动向，这类问题的特点是通过现实生活的事例考查书本知识，解决这类问题的关键是耐心读题、仔细理解题，只有吃透题意，才能将实际问题转化为数学模型进行解答.‎ ‎21.已知是定义在上的奇函数,且,若a,,时,有成立．‎ ‎(1)判断在上的单调性,并用定义证明；‎ ‎(2)解不等式：；‎ ‎(3)若对所有的,以及所有的恒成立,求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（1）在上单调递增，证明见解析（2）或或 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)利用函数单调性的定义,结合函数奇偶性和条件进行证明即可 ‎(2)利用函数奇偶性和单调性的性质进行转化求解 ‎(3)结合不等式恒成立,利用参数分离法进行求解即可 ‎【详解】解：(1)任取,且,‎ 则,为奇函数,‎ ‎,‎ 由已知得,,‎ ‎,即,‎ 在上单调递增．‎ ‎(2),在上单调递增,‎ 在上,．‎ 问题转化为,‎ 即,对恒成立．‎ 下面来求的取值范围．‎ 设．‎ ‎①若,则,对恒成立．‎ ‎②若,则为a的一次函数,若,对恒成立,必须,且,‎ 或．‎ 的取值范围是或或．‎ ‎【点睛】本题主要考查函数奇偶性和单调性的证明和应用,以及不等式恒成立问题的应用,利用参数分离法以及定义法是解决本题的关键．‎ ‎22.已知二次函数的图象过点（1，4），且函数是偶函数．‎ ‎（1）求的解析式；‎ ‎（2）若，求最大的，使得存在，只要，就有．‎ ‎【答案】（1）（2）最大值9‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由函数是偶函数可知的对称轴方程为，代入可求，然后结合函数的图象过点可求；（2）先求，要使时恒成立，则1，是方程的两个根时最大，结合二次方程的根可得结果．‎ ‎【详解】（1）因为函数是偶函数，‎ 所以二次函数的对称轴方程为，‎ 故．又因为二次函数图象过点（1，4），‎ 所以，故．‎ 因此的解析式为．‎ ‎（2）∵‎ 要使时恒成立，‎ ‎ 1，m是方程的两个根时最大，‎ 令可得，或，‎ 当时，与矛盾，‎ 当时，，，‎ ‎∴m的最大值为9．‎ ‎【点睛】本题主要考查了二次函数的图象、性质与解析式，以及二次不等式的求解，解题的关键是三个二次关系的相互转化．二次函数与一元二次方程及一元二次不等式三者的综合应用问题是高频考点，一定要熟练掌握.‎