2018-2019学年安徽省宣城市高二下学期期末考试数学（文）试题（解析版）

2018-2019学年安徽省宣城市高二下学期期末考试数学（文）试题（解析版）

‎2018-2019学年安徽省宣城市高二下学期期末考试数学（文）试题 一、单选题 ‎1．设，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】先求出集合A，B，然后进行交集的运算即可．‎ ‎【详解】‎ A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|0＜3﹣2x＜1}；‎ ‎∴．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查描述法、区间表示集合的定义，考查了对数函数的定义域及单调性，以及交集的运算，属于基础题．‎ ‎2．设为虚数单位，复数满足，则（ ）‎ A．1 B． C． D．2‎ ‎【答案】B ‎【解析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算，再由复数模的计算公式求解．‎ ‎【详解】‎ 由z（1﹣i）＝2i，得z，‎ ‎∴|z|．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．‎ ‎3．等比数列的前项和为，已知成等差数列，则的公比为（ ）‎ A． B． C． D．3‎ ‎【答案】A ‎【解析】设等比数列{an}的公比为q，由S1，2S2，3S3成等差数列，可得S1+3S3＝2×2S2，化简即可得出．‎ ‎【详解】‎ 设等比数列{an}的公比为q，∵S1，2S2，3S3成等差数列，∴S1+3S3＝2×2S2，‎ ‎∴a1+3（a1+a2+a3）＝4（a1+a2），化为：3a3＝a2，解得q．‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎4．右边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入分别为14,18，则输出的（ ）‎ A．0 B．2 C．4 D．14‎ ‎【答案】B ‎【解析】由a=14，b=18，a＜b，‎ 则b变为18﹣14=4，‎ 由a＞b，则a变为14﹣4=10，‎ 由a＞b，则a变为10﹣4=6，‎ 由a＞b，则a变为6﹣4=2，‎ 由a＜b，则b变为4﹣2=2，‎ 由a=b=2，‎ 则输出的a=2．‎ 故选：B．‎ ‎5．函数的大致图象为（　　）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】判断函数的奇偶性和对称性，利用的符号进行排除即可．‎ ‎【详解】‎ ‎，‎ 函数是奇函数，图象关于原点对称，排除 ‎，排除，故选：．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数的图象的判断与应用，考查函数的零点以及特殊值的计算，是中档题；已知函数解析式，选择其正确图象是高考中的高频考点，主要采用的是排除法，最常见的排出方式有根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等性质，同时还有在特殊点处所对应的函数值或其符号，其中包括等.‎ ‎6．已知变量满足约束条件，则目标函数=的最大值为（ ）‎ A．6 B．7 C．8 D．9‎ ‎【答案】C ‎【解析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．‎ ‎【详解】‎ 由约束条件作出可行域如图，‎ 联立，解得A（1，4），‎ 化目标函数z＝x+2y﹣1为y，‎ 由图可知，当直线y过A时，z有最大值为8．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查简单的线性规划，考查了目标函数的几何意义，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．‎ ‎7．将函数的图象向左平移个单位长度后，所得图象的一个对称中心为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】利用函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律，再结合余弦函数的图象的对称性，得出结论．‎ ‎【详解】‎ 将函数y＝sin（2x）的图象向左平移个单位长度后，可得函数y＝sin（2x ‎）＝cos2x的图象．‎ 令2x＝kπ，求得x，k∈Z．‎ 令k＝0，可得x，故所得图象的一个对称中心为（，0），‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律，余弦函数的图象的对称性，属于基础题．‎ ‎8．如图是某手机商城2018年华为、苹果、三星三种品牌的手机各季度销量的百分比堆积图（如：第三季度华为销量约占50%，苹果销量约占20%，三星销量约占30%）．根据该图，以下结论中一定正确的是（　　）‎ A.华为的全年销量最大 B.苹果第二季度的销量大于第三季度的销量 C.华为销量最大的是第四季度 D.三星销量最小的是第四季度 ‎【答案】A ‎【解析】根据图象即可看出，华为在每个季度的销量都最大，从而得出华为的全年销量最大，从而得出正确；由于不知每个季度的销量多少，从而苹果、华为和三星在哪个季度的销量大或小是没法判断的，从而得出选项，，都错误．‎ ‎【详解】‎ 根据图象可看出，华为在每个季度的销量都最大，所以华为的全年销量最大；‎ 每个季度的销量不知道，根据每个季度的百分比是不能比较苹果在第二季度和第三季度销量多少的，同样不能判断华为在哪个季度销量最大，三星在哪个季度销量最小；，，都错误，故选．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查对销量百分比堆积图的理解。‎ ‎9．双曲线（）的两个焦点为，若为其上一点，且 ，则双曲线离心率的取值范围为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】利用三角形的两边和大于第三边，及两边差小于第三边，但要注意前者可以取到等号成立，因为可以三点一线，列得关于a与c的不等式，解得离心率的范围．‎ ‎【详解】‎ 设|PF1|＝x，|PF2|＝y，则有，‎ 解得x＝4a，y＝2a，‎ ‎∵在△PF1F2中，x+y＞2c，即4a+2a＞2c，4a﹣2a＜2c，‎ ‎∴，‎ 又因为当三点一线时，4a+2a＝2c，‎ 综合得离心率的范围是（1，3]，‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了双曲线的简单性质，考查了关于离心率范围的确定，考查了三角形三边关系的应用，属于基础题．‎ ‎10．如图，长度为1的正方形网格纸中的实线图形是一个多面体的三视图，则该多面体表面积为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】由三视图还原几何体，可知该几何体为四棱锥，底面是矩形，AD＝4，AB＝2，四棱锥的高为2．再由矩形及三角形面积公式求解．‎ ‎【详解】‎ 由三视图还原原几何体如图，‎ 该几何体为四棱锥，底面是矩形，AD＝4，AB＝2，四棱锥的高为2．‎ 则其表面积为S．‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查由三视图求面积、体积，关键是由三视图还原原几何体，是中档题．‎ ‎11．设，则（　　）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】由，即可比较.‎ ‎【详解】‎ 解：，‎ 故，‎ 故选：．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了指数函数，对数函数的性质，寻找中间量是解题的关键，属于基础题．‎ ‎12．斐波那契螺旋线，也称“黄金螺旋线”，是根据斐波那契数列（1，1，2，3，5，8…）画出来的螺旋曲线，由中世纪意大利数学家列奥纳多•斐波那契最先提出．如图，矩形是以斐波那契数为边长的正方形拼接而成的，在每个正方形中作一个圆心角为90°的圆弧，这些圆弧所连成的弧线就是斐波那契螺旋线的一部分．在矩形内任取一点，该点取自阴影部分的概率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】利用圆的面积公式及几何概型中的面积型直接得解．‎ ‎【详解】‎ 由已知可得：矩形ABCD的面积为（3+5）×（2+3+8）＝104，‎ 又阴影部分的面积为π（12+12+22+32+52+82）＝26π，‎ 即点取自阴影部分的概率为，‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了圆的面积公式及几何概型中的面积型，属于中档题．‎ 二、填空题 ‎13．已知平面向量，若，则______．‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】根据即可得出2（x+1）﹣3x＝0，解出x即可．‎ ‎【详解】‎ ‎∵；‎ ‎∴2（x+1）﹣3x＝0；‎ 解得x＝2．‎ 故答案为：2．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查向量共线的坐标的表示，属于基础题．‎ ‎14．若，则=_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由，而，代入计算即可得到答案。‎ ‎【详解】‎ ‎，则.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了三角函数的恒等变换，及三角函数诱导公式的运用，考查了学生的计算求解能力，属于基础题。‎ ‎15．网上购鞋常常看到下面表格 脚长与鞋号对应表 脚长：（mm）‎ ‎220‎ ‎225‎ ‎230‎ ‎235‎ ‎240‎ ‎245‎ ‎250‎ ‎255‎ ‎260‎ ‎265‎ 鞋码：‎ ‎34‎ ‎35‎ ‎36‎ ‎37‎ ‎38‎ ‎39‎ ‎40‎ ‎41‎ ‎42‎ ‎43‎ 试用含有脚长：的式子表示鞋码：的计算公式为：______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题意，脚的长度与鞋号是一次函数关系，由此即可求解．‎ ‎【详解】‎ 由题意，脚的长度与鞋号是一次函数关系，‎ 满足an﹣220＝5（bn﹣34），解析式为bn＝0.2an﹣10，‎ 故答案为：bn＝0.2an﹣10．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数解析式的求解方法，考查计算能力，是基础题．‎ ‎16．在中，，则面积的最大值为______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】设AC＝x，根据面积公式得S△ABCAC•BC•sinC，然后将面积公式转化为S△ABC，再由三角形三边关系求出x的范围，再由二次函数的性质求得最大值．‎ ‎【详解】‎ 设AC＝x，则ABx，根据面积公式得S△ABCAC•BC•sinC＝x•sinC＝x．‎ 由余弦定理可得 cosC，‎ ‎∴S△ABC＝x 由三角形三边关系，有，∴，‎ 故当x＝2时，S△ABC取得最大值，‎ 故答案为．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了余弦定理和面积公式在解三角形中的应用，考查了利用二次函数的性质求解最值问题，注意函数的定义域等问题，属中档题．‎ 三、解答题 ‎17．设数列的前项和为．已知，．‎ ‎（1）若，证明：数列是等差数列；‎ ‎（2）求数列的前项和．‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）‎ ‎【解析】（1）由题意可得，再由等差数列的定义即可得证；‎ ‎（2）求得，即，再由数列的分组求和，结合等差数列和等比数列的求和公式，化简可得所求和．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）因为，所以可化为 ‎，‎ 又，所以是首项为2，公差为2的等差数列。‎ ‎（2）由（1），知，所以，‎ 所以 ‎.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查等差数列的定义、通项公式、等差（等比）数列的前项和公式，以及数列的分组求和法的应用。‎ ‎18．在中，角，，所对的边分别为，，，已知．‎ ‎（1）求角；‎ ‎（2）若，，求的面积．‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】（1），根据余弦定理可得，，的关系式，再利用余项定理求出，从而得到的值；‎ ‎（2）根据第一问结论，用余弦定理求出，再利用三角形的面积公式求出面积．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）在中，由已知及余弦定理得，‎ 整理得所以 因为，所以.‎ ‎（注：也可以用正弦定理）‎ ‎（2）在中，由余弦定理得，因为 所以，解得，‎ 所以 ‎【点睛】‎ 本题主要考查了（正）余弦定理的应用和三角形的面积公式，意在考查学生的计算能力和转化思想。‎ ‎19．如图，矩形中，，以为折痕把折起，使点到达点的位置．‎ ‎（1）若，求三棱锥体积的最大值；‎ ‎（2）若，证明：平面平面；‎ ‎【答案】(1) ； (2)证明见解析 ‎【解析】（1）过P作PO⊥BD于O，求出PO，当PO⊥平面ABD时，三棱锥P﹣ABD体积最大，由此能求出三棱锥P﹣ABD体积的最大值．‎ ‎（2）推导出PD⊥PB，PA⊥PB，从而PB⊥平面PAD，推导出AD⊥平面PAB，由此能证明平面PAB⊥平面ABD．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）过P作PO⊥BD于O，则PO•BD＝PB•PD，‎ 解得PO，‎ 当PO⊥平面ABD时，三棱锥P﹣ABD体积最大，‎ ‎∴三棱锥P﹣ABD体积的最大值为：‎ VP﹣ABD．‎ ‎（2）在△PBD中，PD⊥PB，‎ 又PA⊥PB，PA∩PB＝P，‎ PA，PD⊂平面PAD，‎ ‎∴PB⊥平面PAD，‎ ‎∵PB⊥AD，又AB⊥AD，AB∩PB＝B，‎ ‎∴AD⊥平面PAB，‎ 又AD⊂平面ABD，∴平面PAB⊥平面ABD．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查三棱锥的体积的最大值的求法，考查面面垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力及逻辑推理能力，是中档题．‎ ‎20．为比较注射两种药物产生的皮肤疱疹的面积，选200只家兔作试验，将这200只家兔随机地分成两组，每组100只，其中一组注射药物，另一组注射药物．表1和表2所示的分别是注射药物和药物后皮肤疱疹面积的频数分布（疱疹面积单位： ）‎ 表1‎ 疱疹面积 频数 ‎30‎ ‎40‎ ‎20‎ ‎10‎ 表2‎ 疱疹面积 频数 ‎10‎ ‎25‎ ‎20‎ ‎30‎ ‎15‎ ‎（1）完成图20-3和图20-4所示的分别注射药物后皮肤疱疹面积的频率分布直方图，并求注射药物后疱疹面积的中位数 ‎（2）完成下表所示的列联表，并回答能否有99.9%的把握认为注射药物后的疱疹面积与注射药物的疱疹面积有差异．（的值精确到0.01）‎ 疱疹面积小于 疱疹面积不小于 合计 注射药物A ‎______‎ ‎______‎ 注射药物B ‎______‎ ‎______‎ 合计 附：．‎ P（）‎ ‎0.100‎ ‎0.050‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.001‎ k ‎2.706‎ ‎3.811‎ ‎5.021‎ ‎6.635‎ ‎10.828‎ ‎【答案】(1) 频率分布直方图见解析；中位数为67.5；(2) 列联表见解析；有99.9%的把握认为注射药物后的疱疹面积与注射药物的疱疹面积有差异.‎ ‎【解析】（1）根据题意填写频率分布直方图，利用图形计算中位数的值；‎ ‎（2）根据题意填写列联表，计算K2，对照临界值得出结论．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）如图 注射药物后疱疹面积的中位数为：‎ ‎（2）‎ 疱疹面积小于 疱疹面积不小于 合计 注射药物A ‎100‎ 注射药物B ‎100‎ 合计 ‎105‎ ‎95‎ ‎200‎ 由于，所以我们有99.9%的把握认为注射药物后的疱疹面积与注射药物的疱疹面积有差异.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了频率分布直方图的应用问题，考查了列联表与独立性检验的应用问题，考查了运算能力及数据处理能力，是基础题．‎ ‎21．在平面直角坐标系中，已知椭圆（）的焦距为，且过点．‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）斜率大于0且过椭圆右焦点的直线与椭圆交于两点，若，求直线的方程．‎ ‎【答案】(1) ．(2) ‎ ‎【解析】（1）由题意可得c，2a＝PF1+PF2，由a，b，c的关系可得b＝1，进而得到椭圆方程；‎ ‎（2）设直线l的方程为：x＝my，（m＞0），代入椭圆方程得得关于m的二次方程，‎ 由韦达定理及3得m即可．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由题意得：c，焦点F1（，0），F2（，0），‎ ‎2a＝PF1+PF24，‎ ‎∴a＝2，b，‎ 故椭圆C的方程为．‎ ‎（2）设直线l的方程为：x＝my，（m＞0），代入椭圆方程得（m2+4）y2+21＝0，‎ 设 M（x1，y1）、N （x2，y2），‎ ‎△＝16（m2+1）＞0恒成立，由韦达定理可得y1+y2，①‎ 又3得y1＝﹣3y2，…②‎ 由①②可得m．‎ 故直线l的方程为：y ‎【点睛】‎ 本题考查了椭圆的标准方程，考查了直线与椭圆的位置关系，解决本题的关键在于灵活利用韦达定理进行化简计算，属于中档题．‎ ‎22．设函数，曲线在点，（1））处的切线与轴垂直．‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）若存在，使得，求的取值范围．‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】（1）求得的导数，利用导数的几何意义可得切线的斜率，解方程可得；‎ ‎（2）依据的导数，讨论的范围，结合单调性可得最小值，解不等式即可得到所求范围．‎ ‎【详解】‎ ‎（1），由题设知，解得.‎ ‎（2）解：的定义域为，由（1）知，，‎ ‎（i）若，则 故当，使得的充要条件为，‎ 即，解得 ‎（ii）若，则，‎ 故当时，；当时，；‎ 所以在单调递减，在单调递增，‎ 所以，存在，使得的充要条件为 ‎，所以不合题意 ‎（iii）若，则时，在上单调递减，但是 ‎，∴‎ 综上所述，的取值范围是 ‎【点睛】‎ 本题主要考查导数的运用：利用导数的几何意义求切线的斜率，研究单调性和极值，意在考查学生分类讨论思想、方程思想的运用能力以及数学运算能力。‎