高中数学讲义微专题42 利用函数性质与图像比较大小

高中数学讲义微专题42 利用函数性质与图像比较大小

- 1 - 微专题 42 利用函数性质与图像比较大小 一、基础知识： （一）利用函数单调性比较大小 1、函数单调性的作用： 在 单调递增，则 (在单调区间内，单调性是自变量大小关系与函数 值大小关系的桥梁） 2、导数运算法则： （1） （2） 3、常见描述单调性的形式 （1）导数形式： 单调递增； 单调递减 （2）定义形式： 或 ：表示函数值的差与 对应自变量的差同号，则说明函数单调递增，若异号则说明函数单调递减 4、技巧与方法： （1）此类问题往往条件比较零散，不易寻找入手点。所以处理这类问题要将条件与结论结合 着分析。在草稿纸上列出条件能够提供什么，也列出要得出结论需要什么。两者对接通常可 以确定入手点 （2）在构造函数时要根据条件的特点进行猜想，例如出现轮流求导便猜有可能是具备乘除关 系的函数。在构造时多进行试验与项的调整 （3）在比较大小时，通常可利用函数性质（对称性，周期性）将自变量放入至同一单调区间 中进行比较 （二）数形结合比较大小 1、对称性与单调性：若已知单调性与对称性，则可通过作出草图观察得到诸如“距轴越近， 函数值越……”的结论，从而只需比较自变量与坐标轴的距离，即可得到函数值的大小关系  f x  ,a b      1 2 1 2 1 2, , ,x x a b x x f x f x                 ' ' 'f x g x f x g x f x g x                ' ' ' 2 f x f x g x f x g x g x g x          ' 0f x f x     ' 0f x f x     1 2 1 2 0f x f x x x        1 2 1 2 0x x f x f x     - 2 - （1）若 关于 轴对称，且 单调 增，则图像可能以下三种情况，可发现一个共同 点：自变量距离轴越近，其函数值越小 （2）若 关于 轴对称，且 单调 减，则图像可能以下三种情况，可发现一个共同 点：自变量距离轴越近，其函数值越大 2、函数的交点：如果所比较的自变量是一些方程的解，则可将方程的根视为两个函数的交点。 抓住共同的函数作为突破口，将其余函数的图像作在同一坐标系下，观察交点的位置即可判 断出自变量的大小 三、例题精析： 例 1：对于 上可导的任意函数 ，若满足 ，则必有（ ） A. B. C. D. 思路：由 可按各项符号判断出 与 异号，即 时， , 时， 在 单调递减，在 上单调递增 ，进而 答案：C 小炼有话说：相乘因式与零比较大小时，可分别判断每一个因式的符号，再判断整个式子的 符号。这样做可以简化表达式的运算。  f x x a  ,a   f x x a  ,a  R  f x  ' 2 0x f x        1 3 2 2f f f       1 3 2 2f f f       1 3 2 2f f f       1 3 2 2f f f   ' 2 0x f x    2 x  'f x 2x   ' 0f x  2x   ' 0f x   f x  ,2  2,+    min 2f x f         1 2 , 3 2f f f f        1 3 2 2f f f  - 3 - 例 2： 已知定义域为 的奇函数 的导函数为 ，当 时， ， 若 ，则下列关于 的大小关系正确的是（ ） A. B. C. D. 思路：观察所给不等式，左侧呈现轮流求导的特点，所比较大小的 的结构均为 的形式，故与不等式找到联系。当 时， ，即 ，令 ，由此可得 在 上单调递增。 为奇函数， 可判定出 为偶函数，关于 轴对称。 ，作图观察距 离 轴近的函数值小， 与 可作差比较大小： 进而可得： 答案：D 例 3 ： 函 数 在 定 义 域 内 可 导 ， 若 ， 且 当 时 ， ，设 ，则 的大小关系是（ ） A. B. C. D. 思路：由 可判断出 关于 轴对称，再 由 ，可得 时， ，所以 在 单调递增，由轴对称的特点可知： 在 单调递减。作出草图可得：距离 越近的点，函数值越 大。所以只需比较自变量距离 的远近即可判断出 答案：B 例 4：已知 是周期为 的偶函数，且在区间 上是增函数，则 的大小关系是（ ） A. B. R  f x  'f x 0x     ' 0f xf x x     1 1 , 2 2 , ln 2 ln 22 2a f b f c f        , ,a b c b a c  a c b  c b a  b c a  , ,a b c  xf x 0x     ' '0 ( ) ( ) 0f xf x xf x f xx       ' 0xf x    ( )g x xf x  g x  0,  f x  g x y    1 , 2 , ln 22a g b g c g       y ln 2 1 2  1 1 1 4ln 2 2ln 2 1 ln 02 2 2 e     b c a  ( )f x R ( ) (2 )f x f x   ,1x    '1 ( ) 0x f x  1(0), , (3)2a f b f c f      , ,a b c a b c  b a c  b c a  c a b  ( ) (2 )f x f x   f x 1x    '1 ( ) 0x f x  1x   ' 0f x   f x  ,1  f x  1, 1x  1x  b a c   f x 2  0,1      5.5 , 1 , 0f f f       5.5 0 1f f f         1 5.5 0f f f    - 4 - C. D. 思路： 的周期为 ，所以可利用周期性将自变量放置同一个 周期内： ，而由 偶函数及 单调递增， 作图可知在区间 中，距离 轴近的函数值小，所以有 答案：C 小炼有话说：周期性的一大应用就是可在已知区间中找到与所给自变量相同函数值的点。从 而代替原来的自变量。 例 5 ： 已 知 函 数 为 偶 函 数 ， 当 时 ， 函 数 ， 设 ， ，则 的大小关系为（ ） A. B. C. D. 思路：本题依然是利用对称性与单调性比较函数值大小，先分析 的性质，由 为偶函数可得： ，从而 关于 轴对 称，当 ，可计算 ，所以 在 单调递减，结合对称性可得距离对称轴 越近，函数值 越大，所以 答案：D 小炼有话说：本题的关键在于确定入手点是用函数的对称性单调性比较大小，从而对 的处理才会想到选出单调性而不是将自变量代入解析式。所以说题目中有的 条件可以有多种用途，要根据所求及其他条件来选择一个比较正确的方向。 例 6 ： 已 知 函 数 是 定 义 在 上 的 偶 函 数 ， 且 在 区 间 上 是 增 函 数 ， 令      0 5.5 1f f f         1 0 5.5f f f     f x 2    5.5 0.5f f   f x  0,1  1,1 y        0 0.5 5.5 1f f f f      1f x   1,x     sinf x x x  1 2a f         3 , 0b f c f  , ,a b c a b c  c a b  b c a  b a c   f x  1f x     1 1f x f x     f x 1x   1,x    ' cos 1 0f x x    f x  1, 1x     13 02f f f        sinf x x x  ( )f x R  0, - 5 - ， ，则 大小关系为________ 思路：由 为偶函数且在 单调递增可得距离 轴越近，函数值越小。所以需比较 自变量与 轴距离： ，则需比 较 的大小，因为 ，所以 ，所以 答案： 小炼有话说：本题实质上是一道三角函数大小关系和函数性质比较大小的综合题，只需分解 成这两步分别处理即可。在比较三角函数时，本题有这样两个亮点：一是“求同存异”发现 涉及的角存在互补关系，进而利用诱导公式和绝对值运算将角统一，以便于比较；二是 利用好“桥梁”，比较的关键之处在与 这个角的选择，这个角是两条分界线，一条是正切值 与 1 大小的分界线，而正余弦不大于 1，所以 的正切值最大；另一条是正余弦大小的分界 线， 时， ；而 时， 。 例 7：已知函数 ，且 ，则 的大小关系是（ ） A. B. C. D. 思 路 ： 本 题 具 备 同 构 特 点 ， 但 导 数 难于分析 单调性，故无法 比较 的大小。换一个角度，可发现 的图像可作，且 具备几何 2sin 7a f      5 5cos , tan7 7b f c f            , ,a b c  f x  0, y , ,a b c y 5 2 2 5 2 2cos = cos =cos , tan = tan =tan7 7 7 7 7 7       2 2 2sin ,cos ,tan7 7 7    2 7 4   2 2 2tan 1 sin cos7 7 7      c a b  c a b  , ,a b c 4  2 7  0, 4      sin cos  ,4 2       sin cos   2log 1y x  0a b c        , ,f a f b f c a b c      f a f b f c a b c       f c f b f a c b a       f b f a f c b a c       f a f c f b a c b     2log 1f x xy x x      2 ' 2 log 11 ln2 x xxy x    f x      , ,f a f b f c a b c  f x  f x x - 6 - 含义，即 ，即 与原点连线的斜率。所以作出 的图像，可观 察 到 图 像 上 的 点 横 坐 标 越 大 ，与 原 点 连 线 的 斜 率 越 小 ，所 以 由 可 得 ： 答案：B 例 8 ： 已 知 函 数 在 上 可 导 ， 其 导 函 数 为 ， 若 满 足 ： ，则下列判断一定正确的是 （ ） A． B． C． D． 思路：联系选项分析条件 ：当 时， ， 即 令 在 单调递增，而 选项中 均不在单增区间中，考虑利用 进行转换。首先要读 懂 说的是 与 的关系，而 与 刚好在 的两侧， 所以达到一个将 左侧的点转到右侧的作用。在 中令 可得： ，可代入 B,C 选项进行比较，C 正确。而 A,D 两个选项也可以代入 进行验证。 答案：C 小炼有话说：由于 ，所以在求导时此项不发生变化，有可能在化简时隐藏起来。所 以对于形如 等轮流求导的式子可猜想隐含 项，进而结 合选项进行变形 例 9：定义在 上的函数 ， 为它的导函数，且恒有 成立， 则（ ） A. B.     0 0 f x f x x x     ,x f x  f x 0a b c        f c f b f a c b a   f x R  'f x  f x      '1 0,x f x f x         2 22 xf x f x e      1 0f f    2 0f ef    33 0f e f    34 0f e f      '1 0x f x f x     1x     ' 0f x f x     ' 2 0 x x x e f x e f x e     ' 0x f x e          x f xF x e  F x  1,    1 , 0f f     2 22 xf x f x e       2 22 xf x f x e    2f x  f x 2 x x 1x  1x      2 22 xf x f x e   2x       2 2 20 2 ff f e e    'x xe e      ' '( ) 0, 0f x f x f x f x    xe 0, 2       f x '( )f x   '( ) tanf x f x x  3 24 3f f            1 2 sin16f f      - 7 - C. D. 思路：尽管发现 存在轮流求导很难直接发现乘除关系。看选项不难发现 规律： 等，不等号两侧均为 的形式，其导函数为 于 是 考 虑 构 造 条 件 中 的 不 等 式 ： 即 , 在 上单调递增，根据单调性 即可判断四个选项是否正确 答案：D 例 10：设 均为实数，且 ，则 的大小关系为（ ） A. B. C. D. 思路：本题单从指对数方面，不便于比较 大小。进一 步可发现 均可视为两个函数的交点，且每一个等式 的左侧为同一个函数 ，而右侧也都可作图，所以考 虑在同一个坐标系下作图，并观察交点的位置，进而判断出 的大小 答案：A 2 6 4f f           3 6 3f f             '( ) tanf x f x x  4 3 4 3 4 33 24 3 2 3 2 3 sin sin4 32 2 f f f f f f f f                                                                1 61 2 sin16 sin1 sin 6 fff f                sin f xy x     ' ' 2 ( )sin cos ( ) sin sin f x f x x xf x x x          'sin'( ) tan ( )cos xf x f x x f x f xx       'sin cos 0f x xf x     ' 2 ( )sin cos ( ) 0 sin f x x xf x x     ' 0sin f x x        sin f xy x 0, 2      1 2 3, ,x x x   1 2 3 2 1 3 2 2 3 1 1 1log 1 , log , log3 3 3 x x x x x x                   1 2 3, ,x x x 1 3 2x x x  3 2 1x x x  3 1 2x x x  2 1 3x x x  1 2 3, ,x x x 1 2 3, ,x x x 1 3 x y      1 2 3, ,x x x - 8 - 三、历年好题精选 1、（2016，内江四模）设函数 在 R 上存在导数 ，在 上 ， 且 ，有 ，则以下大小关系一定正确的是（ ） A. B. C. D. 2 、（ 2015 ， 福 建 ） 若 定 义 在 上 的 函 数 满 足 ， 其 导 函 数 满 足 ，则下列结论中一定错误的是（ ） A. B. C. D. 3、（2015，陕西文） 设 ，若 ，则下列关 系式中正确的是（ ） A. B. C. D. 4 、（ 2015 ， 天 津 ） 已 知 定 义 在 上 的 函 数 为 偶 函 数 ， 记 ，则 的大小关系为（ ） A. B. C. D. 5、（2014，山东）已知实数 满足 ，则下列关系式恒成立的是（ ） A. B. C. D. 6、已知 的导函数是 ，记 ，则（ ） A. B. C. D. 7 、定义在 上的可导函数 ，当 时， 恒成立， )(xf )(xf  )0( ， xxf 2sin)(  Rx  xxfxf 2sin2)()(  5 4 6 3f f            4f f      5 4 6 3f f              4f f       R  f x  0 1f    'f x  ' 1f x k  1 1f k k      1 1 1f k k       1 1 1 1f k k       1 1 1 kf k k         ln ,0f x x a b        1, ,2 2 a bp f ab q f r f a f b          q r p  q r p  p r q  p r q  R    2 1x mf x m R        0.5 2log 3 , log 5 , 2a f b f c f m   , ,a b c a b c  a c b  c a b  c b a  ,x y  0 1x ya a a   2 2 1 1 1 1x y     2 2ln 1 ln 1x y   sin sinx y 3 3x y    log 1af x x a   'f x      ' , 1A f a B f a f a     ', 1C f a  A B C  A C B  B A C  C B A  R  f x  1,x        ' 'f x f x xf x  - 9 - ，则 的大小关系为（ ） A． B． C． D． 8、（2014 陕西省五校联考 10）已知 为 R 上的可导函数，且 均有 ，则有（ ） A． B． C． D． 习题答案： 1、答案：C        12 , 3 , 2 1 22a f b f c f    , ,a b c c a b  b c a  a c b  c b a  ( )f x ,x R   '( )f x f x 2013 2013( 2013) (0), (2013) (0)e f f f e f   2013 2013( 2013) (0), (2013) (0)e f f f e f   2013 2013( 2013) (0), (2013) (0)e f f f e f   2013 2013( 2013) (0), (2013) (0)e f f f e f   - 10 - 解析：由 可得： 设 ，则 在 单调递减 ，可得 关于 中心对称 在 上单调递减且 分别比较四个选项，可知在 C 选项中： 再由 可知 2、答案：C 解析：构造函数 ，则 ，即 在 上为增函数， 因 为 ， 所 以 ， ， 所 以 可 得 ： ，C 错误。其它选项则无法判断对错 3、答案：C 解 析 ： ， 所 以 ，由 可得 ，从而 4、答案：C 解析：通过数形结合可知 为偶函数时 ，即 ，作图可知 距离 轴越近的点，其函数值越小。考虑 ，所以 5、答案：D xxf 2sin)(      ' ' 1sin 2 0 cos2 02f x x f x x            1 cos22g x f x x   g x  0,         2cos2 2sin cos2 1g x g x f x f x x x x             1g x g x     g x 10, 2       g x R     1 cos22f x g x x  5 5 1 5 5 1cos6 6 2 3 6 4f g g                                4 4 1 8 4 1cos3 3 2 3 3 4f g g                                4 5 3 6g g             )3 4()6 5(  ff    g x f x kx     ' ' 0g x f x k    g x R 1k  1 01k   1 10 11 1 1 kg g fk k k                 1 1 1 1f k k         1 1ln , ln , ln ln ln2 2 2 2 a b a bp f ab ab q f r a b ab           p r 0b a  2 a bab  p r q    2 1x mf x   0m    2 1xf x   y 0.5 2 20 log 3 log 3 log 5    c a b  - 11 - 解析：由 可得： ，观察到四个选项不等号两侧式子同构，所以构造 函数，利用单调性即可判断不等式是否成立： 在 单增，在 单 减，所以不恒成立。同理 ， 均不单调，所以不等式不能恒成立。 为增函数，所以由 可得 6、答案：A 解析： 可视为 两点连线斜率，而 分别为 曲线在 处的切线斜率，数形结合可得： 7、答案：A 解析：题目条件为 ，具备轮流求导特点，可猜测所研究的函数为 ，从 中也印证这一点： ， ， ， 进而分析 ， 为在 单调递增，所以 即 8、答案：A 解析：对四个选项进行变形可发现所比较的两项结构均呈现 的形式，而条件 ，体现轮流求导的特点。验证： ，刚好和条件找到联系。 单调递减 ，  0 1x ya a a   x y   2 1 1Af x x   ,0  0,    2ln 1Bf x x   Cf x   3 Df x x x y 3 3x y           11 1 f a f aB f a f a a a        1,x a x a   ,A C  f x , 1x a x a   A B C       '1 0x f x f x       1 f xF x x  , ,a b c    2 2 1 2 1 f fa     3 3 1 fb    2 2 1 f c    F x           ' ' 2 1 0 1 x f x f xF x x      F x  1,      2 2 3F F F  c a b    x f xy e      ' '( ) 0f x f x f x f x             ' ' ' 2 x x x x x f x e f x e f x f x f x e e e          ' 0x f x e        x f xy e     2013 0 2013 0f f e e       2013 2013 0 2013 0 (2013) (0)f f f e fe e  