高考数学离散型随机变量的期望与方差解答题(供参考)

高考数学离散型随机变量的期望与方差解答题(供参考)

高考数学离散型随机变量的期望与方差解答题 考点预测和题型解析 在高考中，离散型随机变量的期望与方差试题的出题背景大多数源于课本 上，有时也依赖于历年的高考真题、资料中的典型题例为背景，涉及主要问题有： 产品检验问题、射击、投篮问题选题、选课，做题，考试问题、试验，游戏，竞 赛，研究性问题、旅游，交通问题、摸球球问题、取卡片，数字和入座问题、信 息，投资，路线等问题。属于基础题或中档题的层面。高考中一定要尽量拿满分。  考题预测 离散型随机变量的期望与方差涉及到的试题背景有：产品检验问题、射击、 投篮问题选题、选课，做题，考试问题、试验，游戏，竞赛，研究性问题、旅游， 交通问题、摸球球问题、取卡片，数字和入座问题、信息，投资，路线等问题。 从近几年高考试题看，离散型随机变量的期望与方差问题还综合函数、方程、数 列、不等式、导数、线性规划等知识主要考查能力。  复习建议 1．学习概率与统计的关键是弄清分布列,期望和方差在统计中的作用. 离散型随机变量的分布列的作用是： （1）可以了解随机变量的所有可能取值； （2）可以了解随机变量的所有取值的概率； （3）可以计算随机变量在某一范围内取值的概率。 2．离散型随机变量的分布列从整体上全面描述了随机变量的统计规律。 3．离散型随机变量的数学期望刻画的是离散型随机变量所取的平均值，是描 述随机变量集中趋势的一个特征数。 4．离散型随机变量的方差表示了离散型随机变量所取的值相对于期望的集中 与分散程度。  知识点回顾 1．离散型随机变量的期望： （1）若离散型随机变量 的概率分布为  1x 2x --- nx --- P 1p 2p --- np --- 则称   nn pxpxpxE 2211 为 的数学期望（平均值、均值） 简称为期望。 ① 期望反映了离散型随机变量的平均水平。 ② E 是一个实数，由 的分布列唯一确定。 ③ 随机变量 是可变的，可取不同值。 ④ E 是不变的，它描述 取值的平均状态。 （2）期望的性质： ① CCE )( 为常数）C( ② baEbaE   )( 为常数）ba,( ③ 若 ),(~ pnB ，则 npE  （二项分布） ④ 若 ),(~ pkg ，则 pE 1 （几何分布） 2．离散型随机变量的方差 （1）离散型随机变量的方差：设离散型随机变量  可能取的值为 ,,,,, 21  nxxx 且这些值的概率分别为  ,,,,, 321 npppp 则称  2 2 21 2 1 )()( pExpExD  …  nn pEx 2)(  …；为  的方差。 ① 反映随机变量取值的稳定与波动。 ② 反映随机变量取值的集中与离散的程度。 ③ D 是一个实数，由 的分布列唯一确定。 ④ D 越小， 取值越集中， D 越大， 取值越分散。 ⑤ D 的算术平均数 D 叫做随机变量 的标准差， 记作 。 注：在实际中经常用期望来比较两个类似事件的水平，当水平相近时，再 用方差比较两个类似事件的稳定程度。 （2）方差的性质： ① 0)( CD 为常数）C( ②  DabaD 2)(  为常数）ba,( ③ 若 ),(~ pnB ，则 npqD  pq  1其中 （二项分布） ④ 若 ),(~ pkg ，则 2p qD  pq  1其中 （几何分布） ⑤ 22 )(  EED   考点预测 根据离散型随机变量的试题背景进行考题类型预测： 考点 1：产品检验问题 【例 1】已知：甲盒子内有 3 个正品元件和 4 个次品元件，乙盒子内有 5 个正品元件和 4 个 次品元件，现从两个盒子内各取出 2 个元件，试求 （Ⅰ）取得的 4 个元件均为正品的概率； （Ⅱ）取得正品元件个数 的数学期望. 【分析及解】（I）从甲盒中取两个正品的概率为 P（A）= 7 1 2 7 2 3  C C 从乙盒中取两个正品的概率为 P（B）= 18 5 2 9 2 5  C C ……4 分 ∵A 与 B 是独立事件 ∴P（A·B）=P（A）·P（B）= 126 5 （II） 的分布列为  0 1 2 3 4 P 126 6 126 32 126 53 126 30 126 5 63 124 126 54126 303126 532126 321126 60 E ……12 分 【例 2】 某车间在三天内，每天生产 10 件某产品，其中第一天，第二天分别生产出了 1 件、 2 件次品，而质检部每天要从生产的 10 件产品中随意抽取 4 件进行检查，若发现有次品， 则当天的产品不能通过. （I）求第一天通过检查的概率； （II）求前两天全部通过检查的概率； （III）若厂内对车间生产的产品采用记分制：两天全不通过检查得 0 分，通过 1 天、2 天分别得 1 分、2 分.求该车间在这两天内得分的数学期望. 【分析及解】（I）∵随意抽取 4 件产品检查是随机事件，而第一天有 9 件正品， ∴第一天通过检查的概率为 5 3 4 10 4 9 1  C CP （II）同（I），第二天通过检查的概率为 .3 1 4 10 4 8 2  C CP 因第一天，第二天是否通过检查相互独立。 所以，两天全部通过检查的概率为： .5 1 3 1 5 3 21  PPP （II）记得分为ξ，则ξ的值分别为 0，1，2， .15 4 3 2 5 2)0(  P .15 8 5 2 3 1 3 2 5 3)1( P .5 1 3 1 5 3)2( P 因此， .15 14 5 1215 8115 40 E 考点 2：比赛问题 【例 3】A、B 两队进行篮球决赛，共五局比赛，先胜三局者夺冠，且比赛结束。根据以往 成绩，每场中 A 队胜的概率为 3 2 ，设各场比赛的胜负相互独立. （1）求 A 队夺冠的概率； （2）设随机变量ξ表示比赛结束时的场数，求 Eξ. 【分析及解】（1）A 队连胜 3 场的概率为 3 1 )3 2(P ， 打 4 场胜 3 场的概率为 332 32 )3 2(3 2 3 1)3 2(  CP ， 打 5 场胜 3 场的概率为 .)3 2(3 2)3 1()3 2( 4232 43  CP 又以上事件是互斥的， ∴A 队获胜的概率为 P=P1+P2+P3= 81 64 （2） 3 1)3 1()3 2()3( 33 P ，（A 队连胜 3 场或 B 队连胜 3 场）， 27 10)3 1(3 2)3 2()4( 31 3 3  CP  ； 27 8)3 2()3 1()5( 222 4  CP  ； .27 107 27 8527 1043 13  E . 【例 4】两个排球队进行比赛采用五局三胜的规则，即先胜三局的队获胜，比赛到此也就结 束，假设按原定队员组合，较强队每局取胜的概率为 0.6，若前四局出现 2 比 2 的平局 情况，较强队就换人重新组合队员，则其在决赛局中获胜的概率为 0.7，设比赛结束时 的局数为 . （Ⅰ）求 的概率分布； （Ⅱ）求 E . 【分析及解】（Ⅰ） =3，4，5. ,2800.04.06.0)3( 33 P ,3744.04.04.06.06.06.0)4( 21 3 22 3  CCP  ,3456.03.04.06.04.06.0)5( 222 4 222 4  CCP   的概率分布为 1  3 4 5 P 0.2800 0.3744 0.3456 （Ⅱ）E =3×0.2800+4×0.3744+5×0.3456=4.0656. 考点 3：射击，投篮问题 【例 5】甲、乙两人各射击 1 次，击中目标的概率分别是 3 2 和 4 3 ，假设两人射击是否击中标， 相互之间没有影响. 每人各次射击是否击中目标，相互之间没有影响. （1）甲射击 4 次，至少有一次未击中目标的概率； （2）求两人各射击 4 次，甲恰好击中目标 2 次且乙恰好击中目标 3 次的概率； （3）假设某人连续 2 次未击中目标，则中止其射击，问：乙恰好射击 5 次后，被中止射 击的概率是多少？ 【分析及解】（1）甲至少一次未击中目标的概率 P1 是 81 65)3 1()3 2(1)0(1)4()3()2()1( 04 444441  PPPPPP （2）甲射击 4 次恰击中 2 次概率为 27 8)3 1()3 2( 222 42  CP 乙射击 4 次恰击中 3 次概率为 64 27 4 1)4 3( 33 43  CP 由乘法公式得 8 1 64 27 27 8 32  PPP （3）乙恰好 5 次停止射击，则最后两次未击中，前三次或都击中或第一与第二次恰有一 次击中，第三次必击中，故所求概率为： 1024 45)4 1()4 3()4 1()4 3( 321 2 23  CP 【例 6】甲、乙两人玩投篮游戏，规则如下：两人轮流投篮，每人至多投 2 次，甲先投，若 有人投中即停止投篮，结束游戏，已知甲每次投中的概率为 4 1 ，乙每次投中的概率为 .3 1 求： （1）乙投篮次数不超过 1 次的概率； （2）记甲、乙两人投篮次数和为ξ，求ξ的分布列和数学期望. 【分析及解】记“甲投篮投中”为事件 A，“乙投篮投中”为事件 B。 解法一“乙投篮次数不超过 1 次”包括三种情况：一种是甲第 1 次投篮投中，另一种是 甲第 1 次投篮未投中而乙第 1 次投篮投中，再一种是甲、乙第 1 次投篮均未投中而甲第 2 次投篮投中， 所求的概率是 P = P（A+ )ABABA  = )()()( ABAPBAPAP  )()()()()()( APBPAPBPAPAP  1 .8 5 4 1 3 2 4 3 3 1 4 3 4 1  答：乙投篮次数不超过 1 次的概率为 8 5 解法二：“乙投篮次数不超过 1 次”的对立事件是“乙投篮 2 次”，所以，所求的概率是 )(1 ABAPP  = )()()(1 APBPAP  8 5 4 3 3 2 4 31  答：乙投篮次数不超过 1 次的概率为 8 5 （2）甲、乙投篮总次数ξ的取值 1，2，3，4， 8 1 4 1 3 2 4 3)()()()()3( 4 1 3 1 4 3)()()()2( 4 1)()1(    APBPAPABAPP BPAPBAPP APP    8 3 4 3 3 2 4 3)()()()()4(  APBPAPABAPP  甲、乙投篮次数总和ξ的分布列为 ξ 1 2 3 4 P 4 1 4 1 8 1 8 3 甲、乙投篮总次数ξ的数学期望为 8 21 8 348 134 124 11 E 答：甲、乙投篮次数总和ξ的数学期望为 .8 21 考点 4：选题，选课，做题，考试问题 【例 7】甲乙两人独立解某一道数学题，已知该题被甲独立解出的概率为 0.6，被甲或乙解 出的概率为 0.92。求： （1）求该题被乙独立解出的概率。 （2）求解出该题的人数ξ的数学期望和方差。 【分析及解】（1）记甲、乙分别解出此题的事件记为 A、B. 设甲独立解出此题的概率为 P1，乙独立解出此题的概率为 P2. 则 P（A）=P1=0.6，P（B）=P2 P（A+B）=1－P（ BA ） =1－(1－P1)(1－P2)=P1+P2－P1+P2=0.92 ∴0.6+P2－0.6P2=0.92 则 0.4P2=0.32 即 P2=0.8. （2）P（ξ=0）=P（ A ）·P（ B ）=0.4×0.2=0.08 P(ξ=1)=P(A)P( B )+P( A )P(B)=0.6×0.2+0.4×0.8=0.44 P(ξ=2)=P(A)·P(B)=0.6×0.8=0.48 ξ的概率分布为： ξ 0 1 2 P 0.08 0.44 0.48 Eξ=0×0.08+1×0.44+2×0.48=0.44+0.96=1.4Dξ=(0－1.4)2·0.08+(1－1.4)2·0.44+(2－ 1.4)2·0.48 =0.1568+0.0704+0.1728=0.4 ∴解出该题的人数ξ的数学期望为 1.4，方差为 0.4。 【例 8】某大学开设甲、乙、丙三门选修课，学生是否选修哪门课互不影响. 已知某学生只 选修甲的概率为 0.08，只选修甲和乙的概率是 0.12，至少选修一门的概率是 0.88， 用 表示该学生选修的课程门数和没有选修的课程门数的乘积. （Ⅰ）记“函数 xxxf  2)( 为 R 上的偶函数”为事件 A，求事件 A 的概率； （Ⅱ）求 的分布列和数学期望. 【分析及解】设该学生选修甲、乙、丙的概率分别为 x、y、z 依题意得             5.0 6.0 4.0 ,88.0)1)(1)(1(1 ,12.0)1( ,08.0)1)(1( z y x zyx zxy zyx 解得 （I） 若函数 xxxf  2)( 为 R 上的偶函数，则 =0 当 =0 时，表示该学生选修三门功课或三门功课都没选 )1)(1)(1()0()( zyxxyzPAP   =0.4×0.5×0.6+（1－0.4）（1－0.5）（1－0.6）=0.24 ∴事件 A 的概率为 0.24 （II）依题意知 =0.2 则 的分布列为  0 2 P 0.24 0.76 ∴ 的数学期望为 E =0×0.24+2×0.76=1.52 考点 5：试验，游戏，竞赛，研究性问题 【例 9】某家具城进行促销活动，促销方案是：顾客每消费满 1000 元，便可以获得奖券一 张，每张奖券中奖的概率为 5 1 ，若中奖，则家具城返还顾客现金 1000 元，某顾客购买 一张价格为 3400 元的餐桌，得到 3 张奖券，设该顾客购买餐桌的实际支出为ξ元. （I）求ξ的所有可能取值； （II）求ξ的分布列； （III）求ξ的期望 Eξ. 【分析及解】解法一（I）ξ的所有可能取值为 3400，2400，1400，400 （II） 125 48)5 4)(5 1()2400(125 64)5 4()3400( 21 3 3  CPP  125 1)5 1()400(125 12)5 4()5 1()1400( 33 5 22 3  CPCP  ξ的分布列为 ξ 3400 2400 1400 400 P 125 64 125 48 125 12 125 1 （III） .2800125 1400125 121400125 482400125 643400 E 解法二 设该顾客中奖奖券η张，则 )5 1,3(~10003400 B  （II） 125 64)5 4()0()3400( 3   PP 125 1)5 1()3()400( 125 12)5 4()5 1()2()1400( 125 48)5 4)(5 1()1()2400( 33 3 22 3 21 3    CPP CPP CPP    （III） 28005 31000340010003400   EE ,6 1)2 11(3 1)6(  P ,6 1 2 1 3 1)9(  P 所以η的数学期望 Eη=0×P（η=0）+6×P（η=3）+9×（η=9）=2.5 由于按先 A 后 B 或先 B 后 A 的次序答题，获得奖金期望值的大小相等，故获得奖金期 望值的大小与答题顺序无关. 【例 10】某小组有 7 个同学，其中 4 个同学从来没有参加过天文研究性学习活动，3 个同学曾经参加过天文研究性学习活动. （1）现从该小组中随机选 2 个同学参加天文研究性学习活动，求恰好选到 1 个曾经参加 过天文研究性学习活动的同学的概率； （2）若从该小组随机选 2 个同学参加天文研究性学习活动，则活动结束后，该小组没有 参加过天文研究性学习活动的同学个数 是一个随机变量，求随机变量 的分布列 及数学期望 E . 【分析及解】（Ⅰ）记“恰好选到 12 个曾经参加过数学研究性学习活动的同学”为事件 A， 则其概率为 .7 4)( 2 7 1 3 1 4  C CCAP （Ⅱ）随机变量 =2，3，4 P（ =2）= .7 2 2 7 2 4  C C P（ =3）= .7 4 2 7 1 3 1 4  C CC P（ =4）= .7 1 2 7 2 3  C C ∴随机变量 的分布列为  2 3 4 P 7 2 7 4 7 1 ∴E =2× 7 2 +3× 7 4 +4× 7 1 = 7 20 考点 6：旅游，交通问题 【例 11】春节期间，小王用私家车送 4 位朋友到三个旅游景点去游玩，每位朋友在每 一个景点下车的概率均为 3 1 ，用 表示 4 位朋友在第三个景点下车的人数，求： （Ⅰ）随机变量 的分布列； （Ⅱ）随机变量 的期望. 【分析及解】解法一：（I） 的所有可能值为 0，1，2，3，4， 由等可能性事件的概率公式得 ,81 8 3 2)3(,27 8 3 2)2( ,81 32 3 2)1(,81 16)3 2()0( 4 3 4 4 22 4 4 31 44   CPCP CPP   81 1)3 1()4( 4 P 从而 的分布列为  0 1 2 3 4 P 81 16 81 32 27 8 81 8 81 1 （II）由（I）得 的期望为 .3 4 81 1481 8327 8281 32181 160 E 解法二：（I）考察一位朋友是否在第三个景点下车为一次试验，这是 4 次独立重复试验. .4,3,2,1,0,)3 2()3 1()( ),3 1,4(~ 4 4   kCkP B kkk  即有故 解法三：（II）由对称性与等可能性，在三个景点任意一个景点下车的人数同分布，故 期望值相等。 .3 4,43   EE 从而即 【例 12】 旅游公司为 3 个旅游团提供 4 条旅游线路，每个旅游团任选其中一条. （1）求 3 个旅游团选择 3 条不同的线路的概率 （2）求恰有 2 条线路没有被选择的概率. （3）求选择甲线路旅游团数的期望. 【分析及解】（1）3 个旅游团选择 3 条不同线路的概率为：P1= 8 3 43 3 4 A （2）恰有两条线路没有被选择的概率为：P2= 16 9 43 2 2 2 3 2 4  ACC （3）设选择甲线路旅游团数为ξ，则ξ=0，1，2，3 P（ξ=0）= 64 27 4 3 3 3  P（ξ=1）= 64 27 4 3 3 21 3 C P（ξ=2）= 64 9 4 3 3 1 3 C P（ξ=3）= 64 1 43 3 3 C ∴ξ的分布列为 ∴期望 Eξ=0× 64 27 +1× 64 27 +2× 64 9 +3× 64 1 = 4 3 考点 7：摸球问题 【例 13】甲盒有标号分别为 1、2、3 的 3 个红球；乙盒有标号分别为 1、2…、n（n≥2）的 n 个黑球，从甲、乙两盒中各抽取一个小球，抽取的标号恰好分别为 1 和 n 的概率为 .12 1 （1）求 n 的值； （2）现从甲、乙两盒各随机抽取 1 个小球，抽得红球的得分为其标号数；抽得黑球，若 标号数为奇数，则得分为 1，若标号数为偶数，则得分为零，设被抽取的 2 个小球 得分之和为 ，求 的数学期望 E . 【分析及解】（1）由 12 11 3 1  n 得 n=4 （2） 甲盒 乙盒  是被抽取的 2 个小球得分之和 则有 P（ =1）= 6 1 4 2 3 1  P（ =2）= 6 2 4 2 3 1 4 2 3 1  P（ =3）= 6 2 4 2 3 1 4 2 3 1  P（ =4）= 6 1 4 2 3 1  概率分布表： ∴E = 2 5 6 15 6 4641 6 146 236 226 11  【例 14】一个口袋中装有大小相同的 2 个白球和 4 个黑球。 （1）采取放回抽样方式，从中摸出两个球，求两球恰好颜色不同的概率； （2）采取不放回抽样方式，从中摸出两个球，求摸得白球的个数的期望和方差. ξ 0 1 2 3 P 64 27 64 27 64 9 64 1 1 1 2 3 1 2 3 4  1 2 3 4 P 6 1 6 2 6 2 6 1 【分析及解】解法一 “有放回摸两次，颜色不同”指“先白再黑”或“先黑再白”，记“有 放回摸球两次，两球恰好颜色不同”为事件 A， ∵“两球恰好颜色不同”共 2×4+4×2=16 种可能， 9 4 66 16)(  AP 解法二 “有放回摸取”可看作独立重复实验 ∵每次摸出一球得白球的概率为 3 1 6 2 P ∴“有放回摸两次，颜色不同”的概率为 9 4)1()1( 1 22  pCP （2）设摸得白球的个数为 ，依题意得 45 16 15 1)3 22(15 8)3 21(5 2)3 20(,3 2 15 1215 812 10 15 1 5 1 6 2)2(;15 8 5 4 6 2 5 2 6 4)1(,5 2 5 3 6 4)0( 222     DE PPP 考点 8：摸卡片，数字问题 【例 15】在一个盒子里放有 6 张卡片，上面标有数字 1，2，3，4，5，6，现在从盒子 里每次任意取出一张卡片，取两片. （I）若每次取出后不再放回，求取到的两张卡片上数字之积大于 12 的概率； （II）在每次取出后再放回和每次取出后不再放回这两种取法中，得到的两张卡片上的 最大数字的期望值是否相等？请说明理由. 【分析及解】（I）取到的两张卡片上数字之积大于 12 的事件为 3，4，5，6 四个数中取出两 个，且应除去 3，4 两个数字。 故所求事件概率 3 11 2 6 2 4  C CP . （II）若每次取出后不再放回，则得到的两张卡片上的数字中最大数字随机变量ξ，ξ =2，3，4，5，6. .3 14 15 5615 4515 3415 2315 12 .15 5)6(,15 4)5( ,15 3)4(,15 2)3(,15 11)2( 2 6 1 5 2 6 1 4 2 6 1 3 2 6 1 2 2 6       E C CP C CP C CP C CP C P 若每次取出后再放回，则得到的两张卡片上的数字中最大数字是随机变量，η， η=1，2，3，4，5，6. .36 161 36 11636 9536 7436 5336 3236 11 36 11)6( ,36 9)5(,36 7)4(,36 5)3(,36 3)2(,36 1)1(       E P PPPPP ∴在每次取出后再放回和每次取出后不再取回这两种取法中，得到的两张卡上的数 字中最大数字的期望值不相等. 【例 16】袋中装着标有数字 1，2，3，4，5 的小球各 2 个，从袋中任取 3 个小球，每个小 球被取出的可能性都相等，用 表示取出的 3 个小球上的最大数字，求： （Ⅰ）取出的 3 个小球上的数字互不相同的概率； （Ⅱ）随机变量 的概率分布和数学期望； 【分析及解】(Ⅰ)“一次取出的 3 个小球上的数字互不相同”的事件记为 A， 则 PA．= 3 1 1 1 5 2 2 2 3 10 2 3 C C C C C  . （Ⅱ）由题意得， 有可能的取值为：2，3，4，5. 30 1)2( 3 10 2 2 1 2 1 2 2 2  C CCCCP  ， 15 2)3( 3 10 2 2 1 4 1 2 2 4  C CCCCP  10 3)4( 3 10 2 2 1 6 1 2 2 6  C CCCCP  ， 15 8)5( 3 10 2 2 1 8 1 2 2 8  C CCCCP  所以随机变量 的概率分布为  2 3 4 5 P 1 30 2 15 3 10 8 15 因此 的数学期望为 .3 13 15 8510 3415 2330 12 E 考点 9：入座问题 【例 17】编号 1，2，3 的三位学生随意入坐编号为 1，2，3 的三个座位，每位学生坐一 个座位，设与座位编号相同的学生的个数是 . （1）求随机变量 的概率分布； （2）求随机变量 的数学期望和方差. 2 【分析及解】（Ⅰ） ;6 11)3(;0)2(;2 1)1(;3 12)0( 3 3 3 3 1 3 3 3  APPA CPAP  ∴概率分布列为： （Ⅱ） 16 132 11 E ……（9 分） .16 1)13(0)21(2 1)11(3 1)01( 2222 D 注：可以不列出“P（ 0)2  ”. 【例 18】有编号为 1，2，3，……n 的 n 个学生，入座编号为 1，2，3，……n 的 n 个座位， 每个学生规定坐一个座位，设学生所坐的座位号与该生的编号不同的学生人数为 ，已知  =2 时，共有 6 种做法， （1）求 n 的值； （2）求随机变量 的概率分布列和数学期望. 【分析及解】（Ⅰ）当 2 时，有 2 nC 种坐法， 62  nC ，即 62 )1( nn ， 0122  nn ， 4n 或 3n （舍去）． 4n ． （Ⅱ）  的可能取值是 4,3,2,0 ， 又   24 110 4 4  A P  ，   4 1 24 612 4 4 2 4  A CP  ，   3 1 24 823 4 4 3 4  A CP  ，   8 3 24 94 P ，  的概率分布列为： … 则 38 343 134 1224 10 E ．  0 2 3 4 P 24 1 4 1 3 1 8 3  0 1 2 3 P 3 1 2 1 0 6 1 2 考点 10：信息问题 【例 19】如图，A、B 两点由 5 条连线并联，它们在单位时间内能通过的最大信息量依 次为 2，3，4，3，2，现记从中任取三条线且在单位时间内都通过的最大信息总量为 . （Ⅰ）写出最大信息总量 的分布列； （Ⅱ）求最大信息总量 的数学期望. 【分析及解】（1）由已知， 的取值为 7，8，9，10. ,5 1)7( 3 5 1 2 2 2  C CCP  ,10 3)8( 3 5 1 2 2 2 1 1 2 2  C CCCCP  ,5 2)9( 3 5 1 1 1 2 1 2  C CCCP  .10 1)10( 3 5 1 1 2 2  C CCP   的概率分布列为   8 9 10 P P 10 3 5 2 10 1 （2） .4.85 421010 195 2810 375 1)( E 【例 20】如图，A、B 两点之间有 6 条网线并联，它们能通过的最大信息量分别为 1，1，2， 2，3，4.现从中任取三条网线且使每条网线通过最大的信息量. （I）设选取的三条网线由 A 到 B 可通过的信息总量为 x，当 x≥6 时，则保证信息畅通. 求线路信息畅通的概率； （II）求选取的三条网线可通过信息总量的数学期望. 【分析及解】（I） 4 11)6(,6321411 3 6 1 2 1 2  C CCxP 4 3 10 1 20 3 4 1 4 1)6( 10 1 20 2)9(,9432 20 3)8(,8422431 4 1 20 5)7(,7322421     xP xP xP xP    （II） )8(20 3)5(,5221311,10 1)4(,4211 分 xPxP  ∴线路通过信息量的数学期望 5.610 1920 384 174 1620 3510 14  答：（I）线路信息畅通的概率是 4 3 . （II）线路通过信息量的数学期望是 6.5. 考点 11：路线问题 【例 21】如图所示，质点 P 在正方形 ABCD 的四个顶点上按逆时针方向前进. 现在投掷一 个质地均匀、每个面上标有一个数字的正方体玩具，它的六个面上分别写有两个 1、两个 2、 两个 3 一共六个数字. 质点 P 从 A 点出发，规则如下：当正方体上底面出现的数字是 1，质 点 P 前进一步（如由 A 到 B）；当正方体上底面出现的数字是 2，质点 P 前两步（如由 A 到 C），当正方体上底面出现的数字是 3，质点 P 前进三步（如由 A 到 D）. 在质点 P 转一圈之 前连续投掷，若超过一圈，则投掷终止. （I）求点 P 恰好返回到 A 点的概率； （II）在点 P 转一圈恰能返回到 A 点的所有结果中，用随机变量ξ表示点 P 恰能返回到 A 点的投掷次数，求ξ的数学期望. 【分析及解】（I）投掷一次正方体玩具，上底面每个数字的出现都是等可能的，其概率为 3 1 6 2 1 P 因为只投掷一次不可能返回到 A 点； 若投掷两次点 P 就恰好能返回到 A 点，则上底面出现的两个数字应依次为： CD A B （1，3）、（3，1）、（2，2）三种结果，其概率为 3 13)3 1( 2 2 P 若投掷三次点 P 恰能返回到 A 点，则上底面出现的三个数字应依次为： （1，1，2）、（1，2，1）、（2，1，1）三种结果，其概率为 9 13)3 1( 3 3 P 若投掷四次点 P 恰能返回到 A 点，则上底面出现的四个数字应依次为：（1，1，1，1） 其概率为 81 1)3 1( 4 4 P 所以，点 P 恰好返回到 A 点的概率为 81 37 81 1 9 1 3 1 432  PPPP （II）在点 P 转一圈恰能返回到 A 点的所有结果共有以上问题中的 7 种， 因为， 7 1)4(,7 3)3(,7 3)2(   PPP 所以，Eξ=2· 7 3 +3· 7 3 +4· 7 1 = 7 16 【例 22】把圆周分成四等份，A 是其中一个分点，动点 P 在四个分点上按逆时针方向 前进。现在投掷一个质地均匀的正四面体，它的四个面上分别写有 1、2、3、4 四个数 字。P 从 A 点出发，按照正四面体底面上数字前进几个分点，转一周之前连续投掷. （1）求点 P 恰好返回 A 点的概率； （2）在点 P 转一周恰能返回 A 点的所有结果中，用随即变量 表示点 P 能返回 A 点的 投掷次数，求 的分数列和期望. 【分析及解】（1）投掷一次正四面体，底面上每个数字的出现都是等可能的，概率为 1 4 ， 则：①若投掷一次能返回 A 点，则底面数字应为 4，此时概率为 1 1 4P  ； ②若投掷两次能返回 A 点，则底面数字一次为（1，3），（3，1），（2，2）三种结果， 其概率为 2 2 1 3×34 16P      ； ③若投三次，则底面数字一次为（1，1，2），（1，2，1），（2，1，1）三种结果， 其概率为 3 2 1 3×34 64P      ； ④若投四次，则底面数字为（1，1，1，1），其概率为 4 2 1 1 4 256P      ； （以上每一种情况 1 分，共 4 分） 则能返回 A 点的概率为： 1 2 3 4 125 256P P P P P     （2） 的分布列为： 所 以 期 望 1 3 3 11 2 3 48 8 8 8E         1 6 9 4 2.58      1 2 3 4 P 1 8 3 8 3 8 1 8