2019-2020学年江西省南康中学高一上学期期中考试数学试题

2019-2020学年江西省南康中学高一上学期期中考试数学试题

南康中学2019～2020学年度第一学期高一第二次大考 数 学 试 卷 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）‎ ‎1、集合, 集合, 则集合元素的个数为（ ）‎ A．0个 B．1个 C．2个 D．0个、1个或2个 ‎2、给定映射其中则时不同的映射的个数是（ ）‎ A. 2 B. ‎3 ‎ C. 4 D. 5‎ ‎3、函数的单调增区间是（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎4、已知，则的大小关系是（ ）‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎5、已知函数的定义域为，则函数的定义域为（　　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎6、函数的值域是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎7、已知函数，（其中），则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎8、已知函数，且过点，则函数的图像必过点（ ）‎ A． B. C. D. ‎ ‎9、已知函数（其中），若的图象如图所示，‎ 则函数的图像是（ ） ‎ ‎ ‎ A B C D ‎10、函数的定义域为，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎11、已知函数，且，则（ ）‎ A． B. C. D. ‎ ‎12、已知函数，且，集合，则（ ）‎ ‎ A．对任意的，都有 B．对任意的，都有 ‎ C．存在，使得 D．存在，使得 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．） ‎ ‎13、已知 .‎ ‎14、已知函数 是偶函数，则实数的值为________.‎ ‎15、已知 是R上的增函数，则的取值范围是______. ‎16、某学校为了加强学生数学核心素养的培养，锻炼学生自主探究学习的能力，他们以教材第97页B组第3题的函数为基本素材，研究该函数的相关性质，取得部分研究成果如下：‎ ‎①同学甲发现：函数是偶函数；‎ ‎②同学乙发现：对于任意的都有；‎ ‎③同学丙发现：对于任意的，都有；‎ ‎④同学丁发现：对于函数定义域中任意的两个不同实数，总满足.‎ 其中所有正确研究成果的序号是 ．‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）‎ ‎17、（本小题满分10分）‎ ‎ 已知全集集合，，‎ ‎，‎ ‎ （1）求; ‎ ‎（2）若，求实数的取值范围.‎ ‎18、（本小题满分12分）‎ 计算：⑴ ‎ ‎ ⑵ ‎ ‎19、（本小题满分12分） ‎ 已知幂函数  在  上单调递增. ‎ ‎(1)求实数的值，并写出相应的函数 的解析式； ‎ ‎(2)对于（1）中的函数，试判断是否存在正数，使函数 ，在区间  上的最大值为5 , 若存在,求出的值 ; 若不存在,请说明理由. ‎ ‎20、（本小题满分12分）‎ 进入21世纪以来，南康区家具产业快速发展，为广大市民提供了数十万就业岗位，提高了广大市民的收入，也带动南康和周边县市的经济快速发展.同时，由于生产设备相对落后，生产过程中产生大量粉尘、废气，给人们的健康、交通安全等带来了严重影响.经研究发现，工业废气、粉尘等污染物排放是雾霾形成和持续的重要原因，治理污染刻不容缓.为此，某工厂新购置并安装了先进的废气、粉尘处理设备，使产生的废气、粉尘经过过滤后再排放，以降低对空气的污染.已知过滤过程中废气粉尘污染物的数量（单位：）与过滤时间 (单位：)间的关系为(均为非零常数，为自然对数的底数)其中为时的污染物数量.若过滤后还剩余的污染物.‎ ‎（1）求常数的值.‎ ‎（2）试计算污染物减少到至少需要多长时间（精确到.参考数据：） ‎ ‎21、（本小题满分12分）‎ 已知函数在区间上有最大值4和最小值1，设． ‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围. ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎22 、（本小题满分12分） ‎ 定义：对于函数，若在定义域内存在实数，满足，则称为“局部奇函数”．‎ ‎（1）已知二次函数，试判断是否为定义域上的“局部奇函数” ? 若是，求出所有满足 的的值；若不是，请说明理由．‎ ‎（2）若是定义在区间上的“局部奇函数”，求实数的取值范围．‎ 南康中学2019～2020学年度第一学期高一第二次大考 数学参考答案及评分标准 一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 A C B B ‎ C A A D A C C A 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13、 14、 15、 16. ②③‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）‎ ‎17.解：（1），，‎ ‎ ……3分，‎ ‎ （2）‎ ‎，……5分 ‎ 时，，满足，…7分 当只需，即……9分 综上可知……10分 ‎18、（1）17 ；…………………6分 ‎（2）12 …………………12分 ‎19、解:（１）因为幂函数在上单调递增，‎ ‎ 所以，；所以．…………………5分 ‎ （２），‎ ‎ ，开口方向向下，对称轴…………7分 又在区间上的最大值为5，‎ ‎ …………………12分 ‎ ‎ ‎21、解析：， ‎ 因为，所以在区间上是增函数，故，解得．…5分 ‎（2）由已知可得，‎ 所以可化为，‎ 化为，令，则，‎ 因，故，‎ 记，，故，‎ 所以的取值范围是． ………12分 ‎22．解析：（1）当，‎ 方程 即 ，有解 所以为“局部奇函数” ……………4分 ‎（2）法一：当时，可化为 因为的定义域为，所以方程在上有解 令，则，‎ 设，则在上为减函数，‎ 在上为增函数，‎ 所以当时，，‎ 所以，即；……… 12分 法二：当时，可化为 因为的定义域为，‎ 所以方程即在上有解 令，‎ 则关于的二次方程在上有解即可保证为“局部奇函数”‎ 设，当方程在上只有一解时，‎ 须满足或，‎ 解之得（舍去，因为此时方程在区间有两解，不符合这种情况）或；‎ 当方程在上两个不等的实根时，须满足 ，综上可知；……… 12分 ‎