2017-2018学年山西省临汾第一中学校高二下学期期末考试数学（文）试题（解析版）

2017-2018学年山西省临汾第一中学校高二下学期期末考试数学（文）试题（解析版）

山西省临汾第一中学校2017-2018学年高二下学期期末考试数学（文）试题 一、单选题 ‎1．已知全集，，，则集合（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】试题分析：因为A∪B={x|x≤0或x≥1}，所以，故选D.‎ ‎【考点】集合的运算.‎ ‎2．复数的虚部为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的共轭复数，整理出复数的代数形式的标准形式即可.‎ ‎【详解】‎ ‎.‎ 的虚部是.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】‎ 复数四则运算的解答策略 复数的加法、减法、乘法运算可以类比多项式的运算，除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把i的幂写成最简形式．‎ ‎3．对具有线性相关关系的变量,测得一组数据如下表：‎ ‎2‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎8‎ ‎20‎ ‎40‎ ‎60‎ ‎70‎ ‎80‎ 根据上表,利用最小二乘法得它们的回归直线方程为,则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】分析：先求样本中心，代入方程求解即可。‎ 详解：，，代入方程，解得 点睛：回归直线方程必过样本中心。‎ ‎4．若，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对式子分子分母同时除以得，从而利用两角和的正切公式即可得到答案.‎ ‎【详解】‎ ‎，则.‎ ‎.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了二倍角的正切公式，以及同角三角函数间的基本关系，其中利用三角函数的恒等变形把已知式子化为关于的式子是解本题的关键.‎ ‎5．下列命题中正确的是（ ）‎ A. 若“”为真命题则“”为真命题；‎ B. 已知,命题“若,则”为假命题.‎ C. 为直线, 为两个不同的平面,若,则.‎ D. 命题“”的否定是“”‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对选项逐一分析即可.‎ ‎【详解】‎ 对A，若“”为真命题，则、至少有一个是真命题，但“”不一定是真命题，故A错误；‎ 对B，已知,命题“若,则”是真命题，故B错误；‎ 对C，为直线, 为两个不同的平面,若,则或，故C错误；‎ 对D，根据全称命题的否是是特称命题，则命题“”的否定是“”，故D正确.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了命题的真假判断与应用，考查了复合命题的真假判断，以及全称命题的否定，考查了直线与平面的位置关系，属于基础题.‎ ‎6．已知，则的值为 ( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】D ‎【解析】略 ‎7．设为正实数，且满足，下列说法正确的是（ ）‎ A. 的最大值为 B. 的最小值为2‎ C. 的最小值为4 D. 的最大值为 ‎【答案】B ‎【解析】，‎ ‎，得，‎ 故选B。‎ 点睛：本题考查基本不等式的应用。求的最值，是基本不等式中的“1”的应用的题型，则；求的最值，是基本不等式的公式直接应用，得。‎ ‎8．如图的折线图是某公司2017年1月至12月份的收入与支出数据，若从7月至12月这6个月中任意选2个月的数据进行分析，则这2个月中至少有一个月利润（利润=收入-支出）不低于40万的概率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】分析：根据折线图得到从6个月中任选2个月的所有可能结果有15种可能，其中满足题意的共12种，利用古典概型公式可得结果.‎ 详解：由图可知，7月，8月，11月的利润不低于40万元，从6个月中任选2个月的所有可能结果有 共15种，其中至少有1‎ 个月的利润不低于40万元的结果有 共12种，故所求概率为.‎ 故选：D 点睛：有关古典概型的概率问题，关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数：1．基本事件总数较少时，用列举法把所有基本事件一一列出时，要做到不重复、不遗漏，可借助“树状图”列举；2．注意区分排列与组合，以及计数原理的正确使用．‎ ‎9．执行上面的程序框图，若输出的值为-2，则①中应填（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】分析：根据程序框图，写出运行结果，根据程序输出的结果是S=-2，可得判断框内应填入的条件 详解：由题知，该程序框图的功能是计算，‎ 当时，；当时，，跳出循环，故①中应填 ‎.‎ 故选：B 点睛：本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.‎ ‎10．用反证法证明某命题时,对结论:“自然数中至多有一个是偶数”的正确假设为（ ）‎ A. 自然数中至少有一个偶数；‎ B. 自然数中至少有两个偶数；‎ C. 自然数都是奇数；‎ D. 自然数都是偶数；‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 用反证法证明数学命题时，应先假设命题的反面成立，求出要证的命题的否定，即为所求.‎ ‎【详解】‎ 用反证法证明数学命题时，应先假设要证得命题的反面成立，即要证的命题的否定成立，‎ 而“自然数中至多有一个是偶数”的否定为：“自然数中至少有两个偶数”.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】‎ ‎(1)当一个命题的结论是以“至多”“至少”“唯一”或以否定形式出现时，可用反证法来证，反证法关键是在正确的推理下得出矛盾，矛盾可以是与已知条件矛盾，与假设矛盾，与定义、公理、定理矛盾，与事实矛盾等．‎ ‎(2)用反证法证明不等式要把握三点：①必须否定结论；②必须从否定结论进行推理；③推导出的矛盾必须是明显的．‎ ‎11．已知函数的图象向右平移个单位,所得的部分函数图象如图所示,则的值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 函数向右平移个单位得，再由图象求出和即可.‎ ‎【详解】‎ 将函数向右平移个单位长度，‎ 可得，‎ 根据所得的部分图象，‎ 有，即，‎ ‎.‎ ‎ ，‎ 又过点，‎ ‎，解得.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查函数的图象变换规律，由函数的部分图象求解析式，由周期求出，由五点法作图求出，要善于抓住特数量和特殊点.‎ ‎12．对于函数,下列说法正确的有（ ）‎ ‎①在处取得极大值； ②有两个不同的零点；‎ ‎③ ④‎ A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 的定义域为，求出函数的导数，可得的增区间是，减区间是，根据函数的单调性，求出有极大值，时，；时，，画出函数的图象即可判断.‎ ‎【详解】‎ ‎，‎ 令，得，‎ 当时，；‎ 当时，，‎ 的增区间是，减区间是，‎ 时，有极大值，‎ 时，；时，，‎ 函数的图象如图：‎ 根据图象可得，‎ 而，‎ 综上所述：①③正确，②错误.‎ ‎，即，‎ ‎，‎ 故④错误.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】‎ 函数零点或函数图象交点问题的求解，一般利用导数研究函数的单调性、极值等性质，并借助函数图象，根据零点或图象的交点情况求解，实现形与数的和谐统一．解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用.‎ 二、填空题 ‎13．在等差数列中，若，则_________________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】试题分析：因为在等差数列中，所以，则.‎ ‎【考点】等差数列的基本性质，正切函数值的计算.‎ ‎14．已知向量,.若向量与垂直,则__________．‎ ‎【答案】7‎ ‎【解析】利用平面向量的加法公式可得：，‎ 由平面向量垂直的充要条件可得：，‎ 解方程可得：.‎ ‎15．锐角中, 分别为内角的对边,已知，，，则的面积为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由已知条件可得，，再由正弦定理可得，从而根据三角形内角和定理即可求得，从而利用公式即可得到答案.‎ ‎【详解】‎ ‎，‎ 由得，‎ 又 为锐角三角形，‎ ‎，‎ 又，即，‎ 解得，‎ ‎.‎ 由正弦定理可得，解得，‎ 又，‎ ‎，‎ ‎.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】‎ 三角形面积公式的应用原则：‎ ‎(1)对于面积公式S＝absin C＝acsin B＝bcsin A，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式．‎ ‎(2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化．‎ ‎16．函数,则使得成立的的取值范围__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据函数的奇偶性和单调性之间的关系，将不等式转化即可得到结论.‎ ‎【详解】‎ ‎，‎ 为偶函数，‎ 且当时，，‎ 则有，即在上单调递增，‎ 等价为，‎ 即，‎ 平方得，解得.‎ 所求的取值范围是.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查函数奇偶性和单调性的应用，综合考查函数性质的综合应用，运用偶函数的性质是解题的关键.‎ 三、解答题 ‎17．已知 均为锐角，且，．‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）求的值．‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】试题分析：（1）因为均为锐角，而，可得，由同角三角函数基本关系式得；（2）凑角可得，由两角差的余弦公式展开，根据已知求得，代入即可得到 试题解析：（1）均为锐角， ，，‎ ‎，又，‎ ‎，，‎ 又 ，‎ ‎，‎ ‎；‎ 由（1）可得 ，‎ ‎ ，，‎ ‎，‎ ‎【考点】1. 同角三角函数基本关系；2. 两角差的余弦公式 ‎18．已知向量，，函数.‎ ‎(1)求函数的单调递增区间；‎ ‎(2)将函数的图象先向左平移个单位,然后纵坐标不变,横坐标缩短为原来的倍,得到函数的图象,当时,求函数的最值及相应的值.‎ ‎【答案】(1) ；(2) 当, .‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据两向量的坐标，求得函数的解析式，利用正弦函数的单调性即可求得函数的单调递增区间；‎ ‎（2）利用三角函数的图象变换可得的表达式，从而求得在区间上的最值及相应的值.‎ ‎【详解】‎ ‎，‎ 当，即，‎ 函数的单调递增区间为.‎ ‎（2）将函数的图象先向左平移个单位,可得 ‎，然后纵坐标不变,横坐标缩短为原来的倍,得到函数,‎ 又，‎ ‎，‎ 当，即时，；‎ 当，即时，.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数的图象变换，以向量的坐标运算为载体考查三角函数的化简求值，考查正弦函数的性质，属于中档题.‎ ‎19．某蛋糕店每天做若干个生日蛋糕,每个制作成本为50元,当天以每个100元售出,若当天白天售不出,则当晚以30元/个价格作普通蛋糕低价售出,可以全部售完.‎ ‎(1)若蛋糕店每天做20个生日蛋糕,求当天的利润(单位:元)关于当天生日蛋糕的需求量(单位：个, )的函数关系；‎ ‎(2)蛋糕店记录了100天生日蛋糕的日需求量(单位：个)整理得下表：‎ 日需求 ‎17‎ ‎18‎ ‎19‎ ‎20‎ ‎21‎ ‎22‎ ‎23‎ 频数(天)‎ ‎10‎ ‎20‎ ‎20‎ ‎14‎ ‎13‎ ‎13‎ ‎10‎ ‎(i)假设蛋糕店在这100天内每天制作20个生日蛋糕,求这100天的日利润(单位：元)的平均数；‎ ‎(ii)若蛋糕店一天制作20个生日蛋糕,以100天记录的各需求量的频率作为概率,求当天利润不少于900元的概率.‎ ‎【答案】(1) （）；(2) （i） ，（ii）.‎ ‎【解析】试题分析：‎ 试题解析：‎ 解：（1）当日需求量时，利润；‎ 当日需求量时，利润；‎ ‎∴利润关于当天需求量的函数解析式（）‎ ‎（2）（i）这100天的日利润的平均数为；‎ ‎（ii）当天的利润不少于900元，当且仅当日需求量不少于19个，故当天的利润不少于900元的概率为．‎ ‎20．设椭圆的左焦点为，离心率为，过点且与轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为 ‎(1)求椭圆方程；‎ ‎(2)过点的直线与椭圆交于不同的两点，当面积最大时，求 ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】试题分析：（1）由离心率和点.用待定系数法求出椭圆的方程.（2）利用点到直线的距离公式求出高及弦长公式求出弦长.分式形式的最值的求法要记牢.本题是对椭圆的基础知识的测试.‎ 试题解析：(1)由题意可得，，又，解得，‎ 所以椭圆方程为 ‎(2)根据题意可知，直线的斜率存在，故设直线的方程为，设，由方程组消去得关于的方程 由直线与椭圆相交于两点，则有，即 得： 由根与系数的关系得 故 又因为原点到直线的距离，故的面积 令则，所以当且仅当时等号成立，‎ 即时，.‎ ‎【考点】1.待定系数法求椭圆方程.2.点到直线的距离.3.弦长公式.4.最值的求法.‎ ‎21．设函数.‎ ‎(1)当时,求的单调区间；‎ ‎(2)若当时, 恒成立,求的取值范围.‎ ‎【答案】(1)增区间为,减区间为；(2).‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）先确定函数的定义域，然后求出函数的导函数，在函数的定义域内解不等式和，即可求出函数的单调区间；‎ ‎（2）,令 ，求其导数,下面就的值分类讨论，利用导数工具研究函数的单调性和最值，即可得的取值范围.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）当时，,‎ ‎ ,‎ 令，得或；令，得,‎ 的单调递增区间为,‎ ‎ 的单调递减区间为. ‎ ‎（2）,‎ 令，‎ ‎,‎ 当时，在上为增函数.‎ 而从而当时，，即恒成立.‎ 若当时，令，得,‎ 当时，在上是减函数，‎ 而从而当时，，即,‎ 综上可得的取值范围为.‎ ‎【点睛】‎ ‎(1) “恒成立”、“存在性”问题一定要正确理解问题实质，深刻挖掘条件内含，进行等价转化．(2)构造函数是求范围问题中的一种常用方法，解题过程中尽量采用分离常数的方法，转化为求函数的值域问题．‎ ‎22．[选修4-4：坐标系与参数方程]‎ 在平面直角坐标系中，已知直线： （为参数），以坐标原点为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.‎ ‎（1）求曲线的直角坐标方程；‎ ‎（2）设点的极坐标为，直线与曲线的交点为， ，求的值.‎ ‎【答案】(1) (2) ‎ ‎【解析】试题分析：（Ⅰ）直接由直线的参数方程消去参数t得到直线的普通方程；把等式两边同时乘以ρ，代入x=ρcosθ，ρ2=x2+y2得答案；‎ ‎（Ⅱ）把直线的参数方程代入圆的普通方程，利用直线参数方程中参数t的几何意义求得的值．‎ 试题解析：‎ ‎（1）把展开得，‎ 两边同乘得①.‎ 将， ， 代入①即得曲线的直角坐标方程为②.‎ ‎（2）将代入②式，得，‎ 易知点的直角坐标为.‎ 设这个方程的两个实数根分别为， ，则由参数的几何意义即得.‎ ‎23．选修4-5:不等式选讲 已知函数.‎ ‎(1)解不等式；‎ ‎(2)若函数,若对于任意的,都存在,‎ 使得成立,求实数的取值范围.‎ ‎【答案】(1) ；(2) .‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用分类讨论法去掉绝对值，从而求得不等式的解集；‎ ‎（2）利用绝对值不等式化简，求出函数的最小值，问题转化为，求出不等式的解集即可.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）依题意，得 由，得或或 解得.‎ 即不等式的解集为.‎ ‎（2）由（1）知，，‎ ‎ ，‎ 则，‎ 解得，‎ 即实数的取值范围为.‎ ‎【点睛】‎ 求解与绝对值不等式有关的最值问题的方法 求解含参数的不等式存在性问题需要过两关：‎ 第一关是转化关，先把存在性问题转化为求最值问题；不等式的解集为R是指不等式的恒成立问题，而不等式的解集为∅的对立面也是不等式的恒成立问题，此两类问题都可转化为最值问题，即f(x)f(x)max，f(x)>a恒成立⇔a

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