2019-2020学年河南省郑州市高二上期期末数学（理）试题（解析版）

2019-2020学年河南省郑州市高二上期期末数学（理）试题（解析版）

‎2019-2020学年河南省郑州市高二上期期末数学（理）试题 一、单选题 ‎1．已知集合，，则（）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】首先求出集合、，再根据交集的定义计算可得.‎ ‎【详解】‎ 解：‎ 故选：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查一元二次不等式的解法，交集的运算，属于基础题.‎ ‎2．命题“，”的否定是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据全称命题的否定为特称命题解答.‎ ‎【详解】‎ 解：，为全称命题，故其否定为，‎ 故选：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查含有一个量词的命题的否定，属于基础题.‎ ‎3．已知实数满足，且，那么下列选项中一定成立的是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】先根据，且，得出的符号，再结合，利用不等式的基本性质即可得到结果．‎ ‎【详解】‎ 解：，且，‎ 即，故正确；‎ ‎，， ‎ 又，‎ ‎，即，故错误；‎ 可正、可负、可为零，‎ 的关系无法确定，故错误；‎ ‎，，‎ ‎，故错误；‎ 故选：．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查不等关系与不等式应用、不等式的基本性质、实数的性质等基础知识，考查运算求解能力．属于基础题．‎ ‎4．已知是两个命题，若是假命题，那么（ ）‎ A．p是真命题且q是假命题 B．是真命题且q是真命题 C．p是假命题且q是真命题 D．p是假命题且q是假命题 ‎【答案】A ‎【解析】利用复合命题的真假判断即可．‎ ‎【详解】‎ 解：设，是两个命题，若是假命题，‎ 可知与都是假命题，‎ 则是真命题且是假命题．‎ 故选：．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查命题的真假的判断与应用，属于基础题．‎ ‎5．设变量满足约束条件则目标函数的最大值为（ ）‎ A．7 B．8 C．10 D．12‎ ‎【答案】D ‎【解析】确定不等式表示的平面区域，明确目标函数的几何意义，即可求得最大值．‎ ‎【详解】‎ 解：不等式表示的平面区域如图所示：‎ 目标函数，即，则直线过点时，纵截距最大，‎ 此时，由，可得，‎ 目标函数的最大值为 故选：．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查线性规划知识，考查数形结合的数学思想，考查学生的计算能力，属于中档题．‎ ‎6．已知椭圆的标准方程为，并且焦距为4，则实数m的值为（ ）‎ A．或 B．或 C．或 D．或 ‎【答案】B ‎【解析】分焦点在轴和轴两种情况讨论，计算可得.‎ ‎【详解】‎ 解：椭圆的标准方程为，并且焦距为4，‎ 则，‎ 当焦点在轴，则，，‎ ‎，解得 当焦点在轴，则，，‎ ‎，解得 故选：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查椭圆的标准方程，关键要对焦点所在轴分类讨论，属于基础题.‎ ‎7．在中，，则的面积等于（ ）‎ A． B．2 C． D．3‎ ‎【答案】C ‎【解析】由余弦定理计算出边，再由面积公式计算可得.‎ ‎【详解】‎ 解：‎ 即解得，‎ 故选：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查余弦定理解三角形以及面积公式的应用，属于基础题.‎ ‎8．已知数列中，前项和为，且点在直线上，则=（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】试题分析：点在一次函数上的图象上，，数列为等差数列，其中首项为，公差为，，数列的前项和，，．故选D．‎ ‎【考点】1、等差数列；2、数列求和．‎ ‎9．两处有甲、乙两艘船，乙船在甲船的正东方向，若乙船从B处出发沿北偏西45°方向行驶20海里到达C处，此时甲船与乙船相距50海里随后甲船从A处出发，沿正北方向行驶海里到达D处，此时甲、乙两船相距（ ）海里 A． B．45 C．50 D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】依题意画出草图，在中，由正弦定理可得，由诱导公式可得的值，再在中，由余弦定理计算可得的值.‎ ‎【详解】‎ 解：依题意可画图象如图 则，，,‎ 在中，由正弦定理可得 即，‎ 在中，由余弦定理可得 即 解得 故选：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查解三角形的实际应用，利用正弦定理、余弦定理计算距离，属于基础题.‎ ‎10．如图四边形中，，，现将沿折起，当二面角的大小为时，直线与所成角的余弦值是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】取中点，连结，，以为原点，为轴，为轴，过点作平面的垂线为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线与所成角的余弦值．‎ ‎【详解】‎ 解：取中点，连结，，‎ ‎．，，，且，，‎ 是二面角的平面角，‎ 因为二面角的平面角为，‎ 以为原点，为轴，为轴，‎ 过点作平面的垂线为轴，建立空间直角坐标系，‎ 则，，，，0，，，1，，，‎ ‎，，‎ 设、的夹角为，‎ 则，‎ 故选：．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查异面直线所成角的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．‎ ‎11．已知抛物线，过点的直线交该抛物线于两点O为坐标原点，F为抛物线的焦点若，则的面积为（ ）‎ A．5 B．6 C．7 D．8‎ ‎【答案】B ‎【解析】设，、，，算出抛物线的焦点坐标，从而可设直线的方程为，与抛物线方程联解消去可得，利用根与系数的关系算出．根据利用抛物线的抛物线的定义算出，可得，进而算出，最后利用三角形的面积公式加以计算，即可得到的面积．‎ ‎【详解】‎ 解：根据题意，抛物线的焦点为．‎ 设直线的斜率为，可得直线的方程为，‎ 由消去，得，‎ 设，、，，由根与系数的关系可得．‎ 根据抛物线的定义，得，解得，‎ 代入抛物线方程得：，解得，‎ 当时，由得；当时，由得，‎ ‎，即两点纵坐标差的绝对值等于．‎ 因此的面积为：‎ ‎．‎ 故选：．‎ ‎【点睛】‎ 本题给出抛物线经过焦点的弦，在已知长的情况下求的面积．着重考查了抛物线定义与标准方程、直线与圆锥曲线位置关系等知识，属于中档题．‎ ‎12．在棱长为3的正方体中，E是的中点，P是底面所在平面内一动点，设，与底面所成的角分别为（均不为0），若，则三棱锥体积的最小值是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】通过建系如图，利用，结合平面向量数量积的运算计算即得结论．‎ ‎【详解】‎ 解：建系如图，正方体的边长为3，则，0，，，0，，‎ 设，，，，则，，，，，，‎ ‎，，0，， ‎ ‎，即，‎ 代入数据，得：，‎ 整理得：，‎ 变形，得：，‎ 即动点的轨迹为圆的一部分，‎ 过点作，交于点，则为三棱锥的高 点到直线的距离的最大值是2．‎ 则．‎ 故选：．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查平面与圆柱面的截线，建立空间直角坐标系是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．‎ 二、填空题 ‎13．是等差数列，…的第_____项.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】求出首项，公差，从而，由此能求出结果．‎ ‎【详解】‎ 解：等差数列，，中，‎ 首项，公差，‎ ‎，‎ ‎，．‎ 故是等差数列，，的第100项．‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查等差数列的某一项的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．‎ ‎14．设，则的最大值为_____.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】已知，，，直接利用基本不等式转化求解的最大值即可．‎ ‎【详解】‎ ‎，，，即，‎ 两边平方整理得，‎ 当且仅当，时取最大值；‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查基本不等式的应用，考查转化思想以及计算能力，注意基本不等式成立的条件．‎ ‎15．已知四棱锥底面是边长为1的正方形，底面，‎ ‎，M是的中点，P是上的动点若面，则_____.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出面时的坐标，即可求出的值．‎ ‎【详解】‎ 解：以为原点，为轴，为轴，为轴，‎ 建立空间直角坐标系，‎ 由题意知， ， ， ‎ 设 则，，‎ 设平面的法向量，‎ 则，‎ 取，得，‎ 面 即解得 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查线面平行求其他量，属于中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．‎ ‎16．已知双曲线的左、右点分别为，过的直线与C的两条渐近线分别交于两点，若，则C的离心率为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题意画出图形，结合已知可得，写出的方程，与联立求得点坐标，与联立求得点坐标，再由，得到，即可求得离心率．‎ ‎【详解】‎ 解：由题意画出图形，‎ 因为双曲线 所以渐近线为，‎ 过的直线与C的两条渐近线分别交于两点， ‎ 则 及，则 ‎，‎ 联立，解得，，‎ 联立，解得，，‎ 即 故答案为：．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查直线与双曲线，求双曲线的离心率，属于中档题.‎ 三、解答题 ‎17．已知命题题.若p是q的充分条件，求实数a的取值范围.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】设命题对应的集合为，命题对应的集合为，由是，由，得，即是使，对分类讨论可得.‎ ‎【详解】‎ 解:由，得，‎ 设命题对应的集合为 设命题对应的集合为，是 由，得，‎ 若时，，‎ ‎，则显然成立； ‎ 若时，，则，‎ 综上：.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查根据充分条件求参数的取值范围，不等式的解法，属于基础题.‎ ‎18．如图，在三棱锥中平面平面，.‎ ‎（Ⅰ）证明：；‎ ‎（Ⅱ）若点E为中点，，，求平面与平面所成锐二面角的余弦值.‎ ‎【答案】（Ⅰ）证明见解析，（Ⅱ）‎ ‎【解析】（1）过B作于点D，则平面，可得，又，则平面，即可得证.‎ ‎（2）以为坐标原点，过作垂直的直线为轴，为轴正向，为轴建立如图所以空间直角坐标系，分别求出平面、平面的法向量，利用空间向量法求出二面角的余弦值.‎ ‎【详解】‎ 证明：（1）过B作于点D，‎ 平面平面，且平面平面，‎ 故平面.‎ 又平面，‎ ‎∴.‎ 又，，平面，平面 所以平面.‎ ‎∴‎ ‎（2）由（1）有平面，故以为坐标原点，过作垂直的直线为轴，为轴正向，为轴建立如图所以空间直角坐标系 则，，，， ‎ 故，，‎ 设平面的法向量则，‎ 令有，故， ‎ 同理可得平面的法向量，‎ 则，又平面与平面所成角为锐角，‎ 所以平面与平面所成角的余弦值为 ‎【点睛】‎ 本题考查线线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．‎ ‎19．《郑州市城市生活垃圾分类管理办法》已经政府常务会议审议通过，自2019年12月1日起施行.垃圾分类是对垃圾收集处置传统方式的改革，是对垃圾进行有效处置的一种科学管理方法.所谓垃圾其实都是资源，当你放错了位置时它才是垃圾.某企业在市科研部门的支持下进行研究，把厨余垃圾加工处理为一种可销售的产品.已知该企业每周的加工处理量最少为75吨，最多为100吨.周加工处理成本y（元）与周加工处理量x（吨）之间的函数关系可近似地表示为，且每加工处理一吨厨余垃圾得到的产品售价为16元.‎ ‎（Ⅰ）该企业每周加工处理量为多少吨时，才能使每吨产品的平均加工处理成本最低？‎ ‎（Ⅱ）该企业每周能否获利？如果获利，求出利润的最大值；如果不获利，则需要市政府至少补贴多少元才能使该企业不亏损？‎ ‎【答案】（Ⅰ），（Ⅱ）故该企业不获利，需要市政府每周至少补贴1125元，才能不亏损．‎ ‎【解析】（Ⅰ）由题意，周加工处理成本y（元）与周加工处理量x（吨）之间的函数关系可近似的表示为：，两边同时除以，然后利用基本不等式从而求出最值；‎ ‎（2）设该单位每月获利为，则，把值代入进行化简，然后运用配方法进行求解.‎ ‎【详解】‎ 解：（Ⅰ）由题意可知，‎ 每吨平均加工成本为：‎ ‎ ‎ 当且仅当即时，才能使每吨的平均加工成本最低． ‎ ‎（Ⅱ）设该单位每月获利为，则 时，‎ 故该企业不获利，需要市政府每周至少补贴1125元，才能不亏损．‎ ‎【点睛】‎ 此题是一道实际应用题，考查了函数的最值和基本不等式，及运用配方法求函数的最值，属于基础题．‎ ‎20．在三角形中，角所对的边分别为已知.‎ ‎（Ⅰ）求角C的大小；‎ ‎（Ⅱ）若且，求的取值范围.‎ ‎【答案】（Ⅰ），（Ⅱ）‎ ‎【解析】（1）利用正弦定理将角化边，再利用余弦定理求出角；‎ ‎（2）由正弦定理可得，将转化为关于的三角函数，利用三角函数的性质求出取值范围.‎ ‎【详解】‎ 解：（1）‎ 由正弦定理，，即 ‎ 由余弦定理，，‎ 又 ‎ ‎（2）因为且，由正弦定理得，‎ ‎，‎ ‎ ‎ ‎【点睛】‎ 本题考查正弦定理解三角形，三角恒等变换以及正弦函数的性质，属于中档题.‎ ‎21．已知椭圆C的焦点在x轴上，左、右焦点分别为，焦距等于8，并且经过点.‎ ‎（Ⅰ）求椭圆C的方程；‎ ‎（Ⅱ）设椭圆C的左、右顶点分别为，点M在椭圆上，且异于椭圆的顶点，点Q为直线与y轴的交点，若，求直线的方程.‎ ‎【答案】（Ⅰ），（Ⅱ）‎ ‎【解析】（Ⅰ）根据焦距求出两点坐标，利用两点间的距离公式求出，的值，即可求出椭圆的标准方程；‎ ‎（Ⅱ）设直线的方程为：，联立直线与椭圆方程，即可求出的坐标，由则求出的值即可.‎ ‎【详解】‎ 解：（Ⅰ）由题意知，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎∴椭圆的方程为：‎ ‎（Ⅱ）设直线的方程为：，‎ ‎∴点 联立直线与椭圆C的方程，得 消去，得， ‎ ‎∴，，‎ ‎∴，‎ ‎∵，‎ ‎∴，∴，‎ 解得 ‎∴直线的方程为：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查求椭圆的标准方程，直线与椭圆的综合应用，属于中档题.‎ ‎22．设数列满足，其中.‎ ‎（Ⅰ）证明：是等比数列；‎ ‎（Ⅱ）令，设数列的前n项和为，求使成立的最大自然数n的值.‎ ‎【答案】（Ⅰ）证明见解析（Ⅱ）‎ ‎【解析】（Ⅰ）由递推公式凑出与的关系，即可得证 ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，即可得到的通项公式，再用错位相减法求和，证明其单调性，可得得解.‎ ‎【详解】‎ 解：（Ⅰ）‎ ‎ ‎ 是首项为，公比为的等比数列 ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，‎ 即，‎ ‎①‎ ‎②，‎ ‎①减②得 ‎.‎ ‎，‎ 单调递增.‎ ‎，‎ ‎.‎ 故使成立的最大自然数.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查利用递推公式证明函数是等比数列，以及错位相减法求和，属于中档题.‎