数学理卷·2018届广东省肇庆市高三上学期第一次统一检测（2017

数学理卷·2018届广东省肇庆市高三上学期第一次统一检测（2017

试卷类型：A 肇庆市中小学教学质量评估 ‎2018届高中毕业班第一次统一检测 理科数学 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共23小题，满分150分. 考试用时120分钟.‎ 注意事项：‎ ‎1. 答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔，将自己所在县（市、区）、姓名、试 室号、座位号填写在答题卷上对应位置．‎ ‎2. 选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑；如需改 动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能写在试卷或草稿纸上．‎ ‎3. 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域 内相应的位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再在答题区内写上新的答案；‎ 不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．‎ 参考公式：‎ 列联表随机变量. 与k对应值表：‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ k ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ 第Ⅰ卷 ‎ 一、 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎（1）若集合，集合，则 A． B． C． D． ‎ ‎（2）设为虚数单位，复数，则的共轭复数 A． B． C． D．‎ ‎（3）已知向量，若，则实数的值为 A． B．或 C．或 D．‎ ‎（4）设复数满足为虚数单位），则复数对应的点位于复平面内 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎（5）原命题：“设，若，则”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为 A．0 B．1 C．2 D．4‎ ‎（6）执行右边的程序框图，为使输出的值小于，‎ 则输入的正整数的最小值为 A．5 B．4 C．3 D．2‎ ‎（7）变量满足约束条件，则 的最小值等于 A．　　B． C． D． ‎ ‎（8）如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各5名工人某日的产量数据（单位：件）.若这两组数据的中位数相等，且平均值也相等，则和的值分别为 A. 3，5 B. 5，5 C. 3，7 D. 5，7‎ ‎（9）为了研究某班学生的脚长（单位：厘米）和身高 ‎（单位：厘米）的关系，从该班随机抽取名学生，‎ 根据测量数据的散点图可以看出与之间有线性 相关关系，设其回归直线方程为．已知，，．该班某学生的脚长为24，据此估计其身高为 A. B. C. D.‎ ‎（10）从区间随机抽取2n个数,，…，，，，…，，构成n个数对，，…，，其中两数的平方和小于1的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率的近似值为 A. B. C. D.‎ ‎（11）四棱柱的所有棱长均为，且，则的长为 A． B． C． D．‎ ‎（12）下列命题中正确的是 A．有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱 B．将圆心角为，面积为的扇形作为圆锥的侧面，则圆锥的表面积为 C．若空间中个不同的点两两距离都相等，则正整数的值至多等于4‎ D．过两条异面直线外的一点，有且只有一个平面与这两条异面直线都平行 第II卷 本卷包括必考题和选考题两部分. 第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22题~第23题为选考题，考生根据要求作答.‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.‎ ‎（13）若随机变量ξ～N(2，1)，且P(ξ>3)＝0.1587，则P(ξ≥1)＝ ▲ .‎ ‎（14）的展开式中的系数是 ▲ .（用数字作答）.‎ ‎（15）由一个长方体和两个圆柱体构成 的几何体的三视图如右图，则该几 何体的体积为 ▲ .‎ ‎（16）A，B两种规格的产品需要在甲、乙两台机器上各自加工一道工序才能成为成品．已知A产品需要在甲机器上加工3小时，在乙机器上加工1小时；B产品需要在甲机器上加工1小时，在乙机器上加工3小时．在一个工作日内，甲机器至多只能使用11小时，乙机器至多只能使用9小时．A产品每件利润300元，B产品每件利润400元，则这两台机器在一个工作日内创造的最大利润是 ▲ 元．‎ 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.‎ ‎（17）（本小题满分12分）‎ 某公司为了解用户对其产品的满意度，从A，B两地区分别随机调查了40个用户，根据用户对产品的满意度评分，得到A地区用户满意度评分的频率分布直方图和B地区用户满意度评分的频数分布表.‎ A地区用户满意度评分的频率分布直方图 ‎40‎ ‎50‎ ‎60‎ ‎70‎ ‎80‎ ‎90‎ 满意度评分 O ‎100‎ ‎0.005‎ ‎0.015‎ ‎0.025‎ ‎0.035‎ 频率/组距 ‎0.010‎ ‎0.020‎ ‎0.030‎ ‎0.040‎ B地区用户满意度评分的频数分布表 满意度评分分组 频 数 ‎2‎ ‎8‎ ‎14‎ ‎10‎ ‎6‎ ‎（Ⅰ）求A地区用户满意度评分的众数和中位数；‎ ‎（Ⅱ）填写下列的列联表，并根据列联表判断是否有的把握认为用户满意度与地区有关？‎ 满意度评分的用户数 满意度评分的用户数 A地区 B地区 ‎（18）（本小题满分12分）‎ 如图，在四棱锥，，，是的中点.‎ ‎（Ⅰ）证明：；‎ ‎（Ⅱ）证明：平面平.‎ ‎（19）（本小题满分12分）‎ 某公司进行抽奖活动，某抽奖箱里有2张印有“中奖”的卡片和3张印有“谢谢惠顾”的卡片.现场员工小王进行抽奖，每次随机抽取一张卡片，抽取后不放回，假如小王一定要将2张印有“中奖”的卡片全部抽完才停止.‎ ‎（Ⅰ）求小王恰好抽奖3次停止的概率；‎ ‎（Ⅱ）若抽奖一次需要费用100元，设X表示小王停止抽奖前所需要的费用（单位：元），求X的分布列和均值（数学期望）.‎ ‎（20）（本小题满分12分）‎ 如图，在四棱锥中，是边长为的菱形，且，， .‎ ‎（Ⅰ）证明：；‎ ‎（Ⅱ）求二面角的大小. ‎ ‎（21）（本小题满分12分）‎ 如图，在三棱锥中，，，于点，，，为线段上的一点.‎ ‎（Ⅰ）证明：；‎ ‎（Ⅱ）若直线与平面所成角的 正弦值为，求三棱锥的体积. ‎ 请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分. 作答时，‎ 请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.‎ ‎（22）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 ‎ 已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与轴非负半轴重合，直线的参数方程为：为参数，)，曲线的极坐标方程为：.‎ ‎（Ⅰ）写出曲线的直角坐标方程;‎ ‎（Ⅱ）设直线与曲线相交于两点, 若，求直线的斜率.‎ ‎（23）（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲 设函数.‎ ‎（Ⅰ）求不等式的解集；‎ ‎（Ⅱ）当时，恒成立，求的取值范围.‎ 肇庆市中小学教学质量评估 ‎2018届高中毕业班第一次统一检测题 理科数学参考答案及评分标准 一、选择题 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 A D C A C D A A C C D C 二、填空题 ‎13． 14． 15． 16． ‎ 三、解答题 ‎ （17）（本小题满分12分）‎ 解：（Ⅰ） 满意度评分的众数= （2分）‎ 因为，所以满意度评分的中位数在之间，设中位数为，则，得 （5分）‎ ‎（Ⅱ）‎ 满意度评分的用户数 满意度评分的用户数 A地区 ‎24‎ ‎16‎ B地区 ‎10‎ ‎30‎ ‎ （9分）‎ ‎， （11分）‎ 所以有的把握认为用户满意度与地区有关. （12分）‎ ‎（18）（本小题满分12分）‎ ‎（Ⅰ）证明：如图，取的中点，连接. （1分）‎ 在中，是中位线，所以， （2分）‎ 又，所以， （3分）‎ 所以四边形是平行四边形，所以. （4分）‎ 又，所以. （6分）‎ ‎（Ⅱ）因为，所以， （8分）‎ 又因为，，都在内，‎ 所以. （10分）‎ 又，所以面. （12分）‎ ‎（19）（本小题满分12分） ‎ 解：（Ⅰ）设“小王恰好抽奖3次停止”为事件，则 ‎. （4分）‎ ‎（2）可取200，300，400，500 （5分）‎ ‎，， （7分）‎ ‎，. （9分）‎ 的分布列如下表 X ‎200‎ ‎300‎ ‎400‎ ‎500‎ P ‎ （12分）‎ ‎（20）（本小题满分12分）‎ ‎（Ⅰ）证明：如图，取的中点，连接. （1分）‎ 因为，所以. （2分）‎ 在菱形中，，‎ 所以是等边三角形，所以. （3分）‎ 又因为，所以. （5分）‎ 因为，所以. （6分）‎ ‎（Ⅱ）因为和是等边三角形，经计算，. （7分）‎ 由（Ⅰ）知，是二面角的平面角， （8分）‎ ‎， （11分）‎ 所以二面角的余弦值为. （12分）‎ ‎（21）（本小题满分12分）‎ 解：（Ⅰ）在中，，‎ ‎，‎ 由，得 ‎，即. （1分）‎ 又因为，，‎ 所以，所以 （3分）‎ 由，同理可得，又，所以. （4分）‎ ‎（Ⅱ）如图，建立空间直角坐标系，则，，，，，. （5分）‎ 设是面的一个法向量，‎ 则即，方程组的一组解为，即 （7分）‎ 设则，‎ 即=，‎ ‎ （8分）‎ 依题意有，得或（舍去） （10分）‎ 则有，即三棱锥的高为， （11分）‎ ‎. （12分）‎ ‎（22）（本小题满分10分）‎ 解：（Ⅰ）， （1分）‎ 由,得. （3分）‎ 所以曲线的直角坐标方程为. （4分）‎ ‎（Ⅱ）把 代入，整理得 （5分）‎ 设其两根分别为 ，则 （6分）‎ ‎ （7分）‎ 得，， （9分）‎ 所以直线的斜率为. （10分）‎ ‎（23）（本小题满分10分） ‎ 解：（Ⅰ）当时， ∴，∴； （1分）‎ 当时，∴； （2分）‎ 当时，∴，∴ （3分）‎ 综上所述，，即不等式的解集为. （4分）‎ ‎（Ⅱ）当时，， （5分）‎ ‎ ，即，即. （6分）‎ 也就是 ，在恒成立， （7分） ‎ 当时，取得最小值， （8分）‎ 由，得，即m的取值范围是. （10分）‎