高考文科数学复习：夯基提能作业本 (55)

高考文科数学复习：夯基提能作业本 (55)

第二节　直线的交点与距离公式 A 组　基础题组 1.已知点 A(-1,0),B(cos α,sin α),且|AB|= 3,则直线 AB 的方程为(　　) A.y= 3x+ 3或 y=- 3x- 3 B.y= 3 3 x+ 3 3 或 y=- 3 3 x- 3 3 C.y=x+1 或 y=-x-1 D.y= 2x+ 2或 y=- 2x- 2 2.如果平面直角坐标系内的两点 A(a-1,a+1),B(a,a)关于直线 l 对称,那么直线 l 的方程为(　　) A.x-y+1=0 B.x+y+1=0 C.x-y-1=0 D.x+y-1=0 3.直线 2x-y+3=0 关于直线 x-y+2=0 对称的直线方程是(　　) A.x-2y+3=0 B.x-2y-3=0 C.x+2y+1=0 D.x+2y-1=0 4.若两平行直线 l1:x-2y+m=0(m>0)与 l2:x+ny-3=0 之间的距离是 5,则 m+n=(　　) A.0 B.1 C.-1 D.2 5.直线 l 过两直线 7x+5y-24=0 和 x-y=0 的交点,且点(5,1)到直线 l 的距离为 10,则直线 l 的方程是(　　) A.3x+y+4=0 B.3x-y+4=0 C.3x-y-4=0 D.x-3y-4=0 6.已知点 A(-3,-4),B(6,3)到直线 l:ax+y+1=0 的距离相等,则实数 a 的值为　　　　　　. 7.经过两直线 l1:x-2y+4=0 和 l2:x+y-2=0 的交点 P,且与直线 l3:3x-4y+5=0 垂直的直线 l 的方程 为　　　　　　. 8.若直线 l 与两直线 y=1,x-y-7=0 分别交于 M,N 两点,且 MN 的中点是 P(1,-1),则直线 l 的斜率 是　　　　. 9.已知△ABC 的一个顶点为 A(5,1),AB 边上的中线 CM 所在直线的方程为 2x-y-5=0,AC 边上的高 BH 所在 直线的方程为 x-2y-5=0,求直线 BC 的方程. 10.已知光线从点 A(-4,-2)射出,到直线 y=x 上的 B 点后被直线 y=x 反射到 y 轴上的 C 点,又被 y 轴反射,这 时反射光线恰好过点 D(-1,6),求 BC 所在的直线方程. B 组　提升题组 11.若动点 P1(x1,y1),P2(x2,y2)分别在直线 l1:x-y-5=0,l2:x-y-15=0 上移动,则 P1P2 的中点 P 到原点的距离的最 小值是(　　) A.5 2 2 B.5 2 C.15 2 2 D.15 2 12.已知 A,B 两点分别在两条互相垂直的直线 2x-y=0 和 x+ay=0 上,且 AB 线段的中点为 P(0,10 푎 ),则线段 AB 的长为(　　) A.11B.10 C.9 D.8 13.设 A,B 是 x 轴上的两点,点 P 的横坐标为 3,且|PA|=|PB|,若直线 PA 的方程为 x-y+1=0,则直线 PB 的方程 是(　　) A.x+y-5=0 B.2x-y-1=0 C.x-2y+4=0 D.x+y-7=0 14.已知直线 l 过点 P(3,4),且点 A(-2,2),B(4,-2)到直线 l 的距离相等,则直线 l 的方程为(　　) A.2x+3y-18=0 B.2x-y-2=0 C.3x-2y+18=0 或 x+2y+2=0 D.2x+3y-18=0 或 2x-y-2=0 15.如图,已知 A(-2,0),B(2,0),C(0,2),E(-1,0),F(1,0),一束光线从 F 点出发射到 BC 上的 D 点,经 BC 反射后,再 经 AC 反射,落到线段 AE 上(不含端点),则直线 FD 的斜率的取值范围为　　　　. 16.正方形的中心为点 C(-1,0),一条边所在的直线方程是 x+3y-5=0,求其他三边所在直线的方程. 答案全解全析 A 组　基础题组 1.B　因为|AB|= (푐표푠α + 1)2 + 푠푖푛2α= 2 + 2푐표푠α= 3,所以 cos α=1 2,sin α=± 3 2 ,所以 kAB=± 3 3 ,故直线 AB 的 方程为 y=± 3 3 (x+1),即 y= 3 3 x+ 3 3 或 y=- 3 3 x- 3 3 ,选 B. 2.A　因为直线 AB 的斜率为 a + 1 - a a - 1 - a =-1,所以直线 l 的斜率为 1,设直线 l 的方程为 y=x+b,由题意知直线 l 过 点(2a - 1 2 ,2a + 1 2 ),所以 2a + 1 2 =2a - 1 2 +b,即 b=1,所以直线 l 的方程为 y=x+1,即 x-y+1=0.故选 A. 3.A　设所求直线上任意一点 P(x,y),P 关于 x-y+2=0 的对称点为 P'(x0,y0), 由{x + x0 2 - y + y0 2 + 2 = 0, x - x0 = -(y - y0), 得{x0 = y - 2, y0 = x + 2, 由点 P'(x0,y0)在直线 2x-y+3=0 上, ∴2(y-2)-(x+2)+3=0, 即 x-2y+3=0. 4.A　∵两平行直线 l1:x-2y+m=0(m>0)与 l2:x+ny-3=0 之间的距离为 5, ∴{n = -2, |m + 3| 5 = 5,∴n=-2,m=2(负值舍去). ∴m+n=0. 5.C　由{7x + 5y - 24 = 0, x - y = 0 得交点坐标为(2,2), 当直线 l 的斜率不存在时,易知不满足题意. ∴直线 l 的斜率存在. 设直线 l 的方程为 y-2=k(x-2), 即 kx-y+2-2k=0, ∵点(5,1)到直线 l 的距离为 10, ∴|5k - 1 + 2 - 2k| k2 + ( - 1)2 = 10,解得 k=3. ∴直线 l 的方程为 3x-y-4=0. 6. 答案　-1 3或-7 9 解析　由题意及点到直线的距离公式得 | - 3a - 4 + 1| a2 + 1 =|6a + 3 + 1| a2 + 1 ,解得 a=-1 3或-7 9. 7. 答案　4x+3y-6=0 解析　解法一:由方程组{x - 2y + 4 = 0, x + y - 2 = 0, 得{x = 0, y = 2,即 P(0,2). ∵l⊥l3,∴直线 l 的斜率 k=-4 3, ∴直线 l 的方程为 y-2=-4 3x, 即 4x+3y-6=0. 解法二:∵直线 l 过直线 l1 和 l2 的交点, ∴可设直线 l 的方程为 x-2y+4+λ(x+y-2)=0, 即(1+λ)x+(λ-2)y+4-2λ=0. ∵l 与 l3 垂直, ∴3(1+λ)+(-4)(λ-2)=0,∴λ=11, ∴直线 l 的方程为 12x+9y-18=0,即 4x+3y-6=0. 8. 答案　-2 3 解析　由题意,可设直线 l 的方程为 y=k(x-1)-1(易知直线 l 的斜率存在),分别与 y=1,x-y-7=0 联立可解得 M (2 k + 1,1),N(k - 6 k - 1, -6k + 1 k - 1 ). 又因为 MN 的中点是 P(1,-1), 所以利用中点坐标公式可得 k=-2 3. 9. 解析　依题意知 kAC=-2,又 A(5,1), ∴lAC:2x+y-11=0, 由{2x + y - 11 = 0, 2x - y - 5 = 0 可解得 C(4,3). 设 B(x0,y0),则 AB 的中点 M 的坐标为(x0 + 5 2 , y0 + 1 2 ), 代入 2x-y-5=0,得 2x0-y0-1=0, 由{2x0 - y0 - 1 = 0, x0 - 2y0 - 5 = 0 可解得{x0 = -1, y0 = -3, 故 B(-1,-3), ∴kBC=6 5, ∴直线 BC 的方程为 y-3=6 5(x-4), 即 6x-5y-9=0. 10. 解析　作出草图,如图,设 A 关于直线 y=x 的对称点为 A',D 关于 y 轴的对称点为 D',则易得 A'(-2,-4),D'(1,6).由反射角等于入射角易得 A'D'所在直线经过点 B 与 C.故 BC 所在的直线方程为 y - 6 -4 - 6 = x - 1 -2 - 1,即 10x-3y+8=0. B 组　提升题组 11.B　由题意得 P1P2 的中点 P 的轨迹方程是 x-y-10=0,则原点到直线 x-y-10=0 的距离为 d=10 2=5 2. 12.B　依题意,a=2,P(0,5),设 A(x,2x),B(-2y,y),故{x - 2y = 0, 2x + y = 10,解得{x = 4, y = 2,则 A(4,8),B(-4,2),∴|AB|= (4 + 4)2 + (8 - 2)2=10. 13.D　由|PA|=|PB|知点 P 在 AB 的垂直平分线上,由点 P 的横坐标为 3,且 PA 的方程为 x-y+1=0,得 P(3,4). 直线 PA,PB 关于直线 x=3 对称,直线 PA 上的点(0,1)关于直线 x=3 的对称点(6,1)在直线 PB 上,∴直线 PB 的方程为 x+y-7=0. 14.D　依题意知,直线 l 的斜率存在, 故设所求直线方程为 y-4=k(x-3), 即 kx-y+4-3k=0, 由已知,得 | - 2k - 2 + 4 - 3k| 1 + k2 =|4k + 2 + 4 - 3k| 1 + k2 , ∴k=2 或 k=-2 3. ∴直线 l 的方程为 2x-y-2=0 或 2x+3y-18=0. 15. 答案　(4,+∞) 解析　从特殊位置考虑.如图,∵点 A(-2,0)关于直线 BC:x+y=2 的对称点为 A1(2,4),∴kA1F=4,又点 E(-1,0)关 于直线 AC:y=x+2 的对称点为 E1(-2,1),点 E1(-2,1)关于直线 BC:x+y=2 的对称点为 E2(1,4),此时直线 E2F 的 斜率不存在,∴kFD>kA1F,即 kFD∈(4,+∞). 16. 解析　点 C 到直线 x+3y-5=0 的距离 d1=| - 1 - 5| 1 + 9 =3 10 5 . 设与直线 x+3y-5=0 平行的边所在直线的方程是 x+3y+m=0(m≠-5), 则点 C 到直线 x+3y+m=0 的距离 d2=| - 1 + m| 1 + 9 =3 10 5 , 解得 m=-5(舍去)或 m=7, 所以与直线 x+3y-5=0 平行的边所在直线的方程是 x+3y+7=0. 设与 x+3y-5=0 垂直的边所在直线的方程是 3x-y+n=0, 则点 C 到直线 3x-y+n=0 的距离 d3=| - 3 + n| 1 + 9 =3 10 5 , 解得 n=-3 或 n=9, 所以与直线 x+3y-5=0 垂直的两边所在直线的方程分别是 3x-y-3=0 和 3x-y+9=0.