2018届二轮复习直线与椭圆的综合问题(理)课件
第二课时
直线与椭圆的综合问题
考向一
椭圆与向量的综合问题
【
典例
1】
(1)(2016
·
安庆模拟
)P
为椭圆
=1
上
任意一点
,EF
为圆
N:(x-1)
2
+y
2
=4
的任意一条直径
,
则
的取值范围是
(
)
A.[0,15] B.[5,15]
C.[5,21]
D.(5,21)
(2)
已知椭圆
C: =1
的左、右焦点分别为
F
1
,F
2
,
椭
圆
C
上的点
A
满足
AF
2
⊥F
1
F
2
,
若点
P
是椭圆
C
上的动点
,
则
的最大值为
(
)
【
解题导引
】
(1)
利用
化简可知
通过
a-c≤| |≤
a+c
,
计算即得结论
.
(2)
由已知求出点
A
的坐标并设出点
P
的坐标
,
然后将
用坐标表示
,
根据点
P
坐标的范围即可求出
的最大值
.
【
规范解答
】
(1)
选
C.
因为
a-c≤| |≤
a+c
,
即
3≤| |≤5,
所以
的范围是
[5,21].
(2)
选
B.
由椭圆方程知
c= =1,
所以
F
1
(-1,0),F
2
(1,0).
因为椭圆
C
上点
A
满足
AF
2
⊥F
1
F
2
,
则可设
A(1,y
0
),
代入椭
圆方程可得
,
所以
y
0
=± .
设
P(x
1
,y
1
),
则
=(x
1
+1,y
1
), =(0,y
0
),
所以
=y
1
y
0
.
因为点
P
是椭圆
C
上的动点
,
所以
- ≤y
1
≤ ,
的最大值为
【
规律方法
】
解决椭圆中与向量有关问题的方法
(1)
设出动点坐标
,
求出已知点的坐标
.
(2)
写出与题设有关的向量
.
(3)
利用向量的有关知识解决与椭圆、直线有关的问题
.
(4)
将向量问题转化为实际问题
.
【
变式训练
】
1.(2016
·
福州模拟
)
椭圆
=1
的左、右焦点分别
为
F
1
,F
2
,P
是椭圆上任一点
,
则
的取值范围是
(
)
A.(0,4] B.(0,3]
C.[3,4)
D.[3,4]
【
解析
】
选
D.
因为椭圆
=1
的左、右焦点分别为
F
1
(-1,0),F
2
(1,0),
设
P(2cos
θ
,
sin
θ
),
θ∈
R
.
所
以
=(-1-2cos
θ
,-
sin
θ
), =(1-2cos
θ
,
-
sin
θ
),
所以
因为
θ∈R,cos
2
θ∈[0,1],4-cos
2
θ∈[3,4],
所以
的取值范围是
[3,4].
2.(2016
·
莆田模拟
)
如图
,
点
A,B
分别是椭圆
E:
=1(a>b>0)
的左、右顶点
,
圆
B:(x-2)
2
+y
2
=9
经过椭圆
E
的左焦点
F
1
.
(1)
求椭圆
E
的方程
.
(2)
过点
A
作直线
l
与
y
轴交于点
Q,
与椭圆
E
交于点
P(
异于
A).
求
的取值范围
.
【
解析
】
(1)
因为以椭圆
E
的右顶点
B
为圆心的圆
B
方程
为
:(x-2)
2
+y
2
=9,
所以圆
B
的圆心坐标的横坐标即为
a
的
值
,
所以
a=2,
在圆
B:(x-2)
2
+y
2
=9
中令
y=0,
得
F
1
(-1,0),
所以
b
2
=4-1=3,
所以椭圆
E
的方程为
=1.
(2)①
当直线
l
为
x
轴时
,
显然有
=0;
②
设直线
AP:x
=ty-2,
并与椭圆
E
的方程联立
,
消去
x
可得
:(4+3t
2
)y
2
-12ty=0,
由椭圆
E
的方程可知
:A(-2,0),
由根与系数的关系可得
:
在直线
AP:x
=ty-2
中令
x=0,
得
y
Q
= ,
所以
综上所述
,
的取值范围为
[0,2).
【
加固训练
】
1.
已知椭圆的右焦点
F(m,0),
左、右准线分别为
l
1
:x=
-m-1,
l
2
:x=m+1,
且
l
1
,
l
2
分别与直线
y=x
相交于
A,B
两点
.
(1)
若离心率为
,
求椭圆的方程
.
(2)
当
<7
时
,
求椭圆离心率的取值范围
.
【
解析
】
(1)
由已知
,
得
c=m, =m+1,
从而
a
2
=m(m+1),b
2
=m.
由
e= ,
得
b=c,
从而
m=1.
故
a= ,b=1,
故所求椭圆方程为
+y
2
=1.
(2)
易得
A(-m-1,-m-1),B(m+1,m+1),
从而
=(2m+1,m+1), =(1,m+1),
故
=2m+1+(m+1)
2
=m
2
+4m+2<7,
得
0
b>0),F
1
,F
2
分别为椭圆的左、
右焦点
,A
为椭圆的上顶点
,
直线
AF
2
交椭圆于另一点
B.
(1)
若∠
F
1
AB=90°,
求椭圆的离心率
.
(2)
若
求椭圆的方程
.
【
解析
】
(1)
若∠
F
1
AB=90°,
则△
AOF
2
为等腰直角三角
形
,
所以有
OA=OF
2
,
即
b=c.
所以
a=
c,e
=
(2)
由题知
A(0,b),F
1
(-c,0),F
2
(c,0),
其中
c= ,
设
B(x,y
).
由
得
(
c,-b
)=2(x-c,y),
解得
即
将
B
点坐标代入
=1,
得
=1,
即
=1,
解得
a
2
=3c
2
①.
又由
=(-
c,-b
)
·
得
b
2
-c
2
=1,
即有
a
2
-2c
2
=1②.
由
①②解得
c
2
=1,a
2
=3,
从而有
b
2
=2.
所以椭圆的方程为
考向二
直线与椭圆中的参数问题
【
典例
2】
(2014
·
全国卷
Ⅱ)
设
F
1
,F
2
分别是椭圆
C: =1(a
＞
b
＞
0)
的
左、右焦点
,M
是
C
上一点且
MF
2
与
x
轴垂
直
,
直线
MF
1
与
C
的另一个交点为
N.
(1)
若直线
MN
的斜率为
,
求
C
的离心率
.
(2)
若直线
MN
在
y
轴上的截距为
2,
且
|MN|=5|F
1
N|,
求
a,b
.
【
解题导引
】
(1)
由斜率条件可得到
a,b,c
的关系式
,
然
后由
b
2
=a
2
-c
2
消去
b
2
,
再
“
两边同除以
a
2
”
,
即得到关于
离心率
e
的二次方程
,
由此解出离心率
.
(2)
利用
“
MF
2
∥y
轴
”
及
“
截距为
2
”
,
可得
y
M
= =4,
然后求出
M,N
点坐标
,
代入椭圆方程即可求出
a,b
的值
.
【
规范解答
】
(1)
因为由题知
,
所以
又
a
2
=b
2
+c
2
.
联立整理得
:2e
2
+3e-2=0,
解得
e= .
所以
C
的离心率为
.
(2)
由三角形中位线知识可知
,|MF
2
|=2×2,
即
=4.
设
|F
1
N|=m,
由题可知
|MF
1
|=4m.
由两直角三角形相似
,
可得
M,N
两点横坐标分别为
c,- c.
所以
M(c,4),
代入椭圆方程
,
得
两式相减
得
:
再结合
=4,
及
a
2
=b
2
+c
2
,
可求得
:a=7,b=2
【
规律方法
】
确定直线与椭圆中有关参数的方法
1.
依据题设中的条件
,
建立与参数有关的方程
.
2.
解方程可求得参数的值
(
注意椭圆中的隐含条件
a
2
=b
2
+c
2
).
【
变式训练
】
如图
,F
1
,F
2
分别是椭圆
C:
=1(a>b>0)
的左、右焦点
,A
是
椭圆
C
的顶点
,B
是直线
AF
2
与椭圆
C
的另
一个交点
,∠F
1
AF
2
=60°.
(1)
求椭圆
C
的离心率
.
(2)
已知△
AF
1
B
的面积为
40 ,
求
a,b
的值
.
【
解析
】
(1)
∠
F
1
AF
2
=60
°
⇒
a=2c
⇒
e=
(2)
设
|BF
2
|=m,
则
|BF
1
|=2a-m,
在三角形
BF
1
F
2
中
,
|BF
1
|
2
=|BF
2
|
2
+|F
1
F
2
|
2
-2|BF
2
||F
1
F
2
|cos 120°⇒
(2a-m)
2
=m
2
+a
2
+am⇒m= a.
△AF
1
B
的面积
S=
⇒a=10,
所以
c=5,b=5 .
【
加固训练
】
1.(2016
·
呼和浩特模拟
)
已知椭圆的两焦点为
F
1
(- ,
0),F
2
( ,0),
离心率
e= .
(1)
求此椭圆的方程
.
(2)
设直线
l
:y
=
x+m
,
若
l
与此椭圆相交于
P,Q
两点
,
且
|PQ|
等于椭圆的短轴长
,
求
m
的值
.
【
解析
】
(1)
设椭圆方程为
=1(a>b>0),
则
c= ,
所以
a=2,b=1,
所求椭圆方程为
+y
2
=1.
(2)
由 消去
y,
得
5x
2
+8mx+4(m
2
-1)=0,
则
Δ>0,
得
m
2
<5(*).
设
P(x
1
,y
1
),Q(x
2
,y
2
),
则
x
1
+x
2
=
x
1
x
2
= y
1
-y
2
=x
1
-x
2
,|PQ|=
=2.
解得
m=
满足
(*),
所以
m= .
2.(2016
·
徐州模拟
)
已知椭圆
E: =1
过点
且右焦点为
F(1,0),
右顶点为
A.
过点
F
的弦为
BC.
直线
BA,
直线
CA
分别交直线
l
:x
=
m(m
>2)
于
P,Q
两点
.
(1)
求椭圆方程
.
(2)
若
FP⊥FQ,
求
m
的值
.
【
解析
】
(1)
由
=1,a
2
-b
2
=1,
解得
a
2
=4,b
2
=3,
所以椭圆方程为
=1.
(2)
当直线
BC
的斜率存在且不为
0
时
,
设
B(x
0
,y
0
),
则
BC:
y= (x-1),
与椭圆
E: =1
联立组成方程组
解得 或
所以
显然
k
AB
=
k
AP
,k
AC
=
k
AQ
,
所以
k
AP
k
AQ
=
设
Q(m,y
1
),k
FQ
=
同理
k
FP
=
k
AP
.
所以
k
FP
k
FQ
= =-1,
又
m>2,
所以
所以
m=4.
当
BC
的斜率不存在时
,BC
的方程为
x=1.
令
AC
的方程为
:
即
3x+2y-6=0,
AB
的方程为
:
即
3x-2y-6=0,
又
FQ⊥FP,
所以
k
FQ
·
k
FP
= =-1,
解上式得
m= (
舍
)
或
m=4,
综上可知
:m=4.
考向三
直线与椭圆的位置关系
【
考情快递
】
命题方向
命题视角
由直线与椭圆的位置关系研究椭圆的性质
主要考查根据直线与椭圆的位置关系
,
求离心率或其范围
由直线与椭圆的位置关系研究直线及弦的问题
以直线与椭圆的位置关系为载体
,
利用方程的思想或利用设而不求的方法确定直线方程
【
考题例析
】
命题方向
1:
由直线与椭圆的位置关系研究椭圆的性质
【
典例
3】
(2015
·
安徽高考
)
设椭圆
E
的方程为
=1(a
＞
b
＞
0),
点
O
为坐标原点
,
点
A
的坐标为
(a,0),
点
B
的坐标为
(0,b),
点
M
在线段
AB
上
,
满足
|BM|=2|MA|,
直线
OM
的斜率为
(1)
求
E
的离心率
e.
(2)
设点
C
的坐标为
(0,-b),N
为线段
AC
的中点
,
点
N
关于
直线
AB
的对称点的纵坐标为
,
求
E
的方程
.
【
解题导引
】
(1)
可先求出
M
点的坐标
,
利用直线
OM
的斜率
,
即可得出关于
a,b
的等式
,
再利用椭圆中
a,b,c
之间的关系求离心率
.
(2)
利用
(1)
的结果
,
椭圆中
a,b,c
都可利用
b
来表示
,
充分利用题设条件
,
得出关于
b
的方程
,
解方程即可求得
b
值
,
进而得出椭圆方程
.
【
解析
】
(1)
由题意可知点
M
的坐标是
又
k
OM
=
,
所以
进而得
a= b,
故
e=
(2)
直线
AB
的方程为
=1,
点
N
的坐标为
设点
N
关于直线
AB
的对称点
S
的坐标为
则
NS
的中
点
T
的坐标为 又点
T
在直线
AB
上
,
且
k
NS
·
k
AB
=-1,
从而有 ⇒
b=3,
所以
a=3 ,
故椭圆的方程为
=1.
命题方向
2:
由直线与椭圆的位置关系研究直线及弦的
问题
【
典例
4】
(2015
·
江苏高考改编
)
如图
,
在平面直角坐
标系
xOy
中
,
已知椭圆
=1(a
＞
b
＞
0)
的离心率为
,
且右焦点
F
到直线
l
:x
=
的距离为
3.
(1)
求椭圆的标准方程
.
(2)
过
F
的直线与椭圆交于
A,B
两点
,
线段
AB
的垂直平分线分别交直线
l
和
AB
于点
P,C,
若
|PC|=2|AB|,
求直线
AB
的方程
.
【
解题导引
】
(1)
求椭圆标准方程
,
只需列两个独立条
件即可
:
一是离心率为
,
二是右焦点
F
到左准线
l
的距
离为
3,
解方程组即得
.
(2)
本题关键就是根据
|PC|=2|AB|
列出关于斜率的等量
关系
.
【
规范解答
】
(1)
由题意
,
得
且
c+ =3,
解得
a= ,c=1,
则
b=1,
所以椭圆的标准方程为
+y
2
=1.
(2)
当
AB⊥x
轴时
,AB= ,
又
CP=3,
不合题意
.
当
AB
与
x
轴不垂直时
,
设直线
AB
的方程为
y=k(x-1),
A(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
),
将
AB
的方程代入椭圆方程
,
得
(1+2k
2
)x
2
-4k
2
x+2(k
2
-1)=0,
则
x
1,2
=
C
的坐标为
且
|AB|=
若
k=0,
则线段
AB
的垂直平分线为
y
轴
,
与左准线平行
,
不
合题意
.
从而
k≠0,
故直线
PC
的方程为
:
则
P
点的坐标为
从而
|PC|=
因为
|PC|=2|AB|,
所以
解得
:k=±1.
此时
AB
的方程为
y=x-1
或
y=-x+1.
【
母题变式
】
1.
若将条件
“
|PC|=2|AB|
”
改为
“
|PC|= |AB|
”
,
结果如何
?
【
解析
】
由例题可知
:|AB|=
|PC|=
又因为
|PC|= |AB|,
即
解上式得
:k=± ,
此时
AB
的方程为
y= x-
或
y=- x+
.
2.
若将条件
“
|PC|=2|AB|
”
改为
“
|PC|= |AB|
”
,
结果如何
?
【
解析
】
由例题可知
:|AB|=
|PC|=
又因为
|PC|= |AB|,
即
化简上式得
:3k
4
+1=0,
显然上式不成立
,
因此满足条件的直线
AB
不存在
.
【
技法感悟
】
1.
由直线与椭圆位置关系解决离心率问题的思路
由题中条件寻找
a,b,c
间的关系式
(
等式或不等式
),
然
后借助
a
2
=b
2
+c
2
转化为 的方程或不等式即可
.
2.
直线与椭圆相交时有关弦问题的处理方法
涉及问题
处理方法
弦长
根与系数的关系、弦长公式
(
直线与椭圆有两交点
)
中点弦或弦的中点
点差法
(
结果要检验
)
【
题组通关
】
1.(2016
·
福州模拟
)
椭圆的焦点为
F
1
,F
2
,
过
F
1
的最短弦
PQ
的长为
10,△PF
2
Q
的周长为
36,
则此椭圆的离心率为
(
)
【
解析
】
选
C.PQ
为过
F
1
垂直于
x
轴的弦
,
则
△
PF
2
Q
的周长为
36.
所以
4a=36,a=9.
由已知
=5,
即
=5.
又
a=9,
解得
c=6,
解得
即
e= .
2.(2016
·
宝鸡模拟
)
已知椭圆
x
2
+2y
2
=4,
则以
(1,1)
为中点的弦的长度为
(
)
【
解析
】
选
C.
易知该弦所在直线的斜率存在
.
由题意可设
y-1=k(x-1),
所以
y=kx+1-k.
代入椭圆方程
,
得
x
2
+2(kx+1-k)
2
=4.
所以
(2k
2
+1)x
2
+4k(1-k)x+2(1-k)
2
-4=0.
由
x
1
+x
2
= =2,
得
k=- ,x
1
x
2
= .
所以
(x
1
-x
2
)
2
=(x
1
+x
2
)
2
-4x
1
x
2
=
所以
|AB|=
3.(2016
·
郑州模拟
)
如图所示
,
内外两个椭圆的离心率
相同
,
从外层椭圆顶点向内层椭圆引切线
AC,BD,
设内层
椭圆方程为
=1(a>b>0),
若直线
AC
与
BD
的斜率之
积为
- ,
则椭圆的离心率为
(
)
【
解析
】
选
C.
设外层椭圆方程为
=1(a>b
>0,m>1),
由题意设切线
AC
的方程为
y=k
1
(x-ma),
切线
BD
的方程为
y=k
2
x+mb,
则由 消去
y,
得
因为
Δ
1
= =0,
整理
,
得
由 消去
y,
得
=0,
因为
Δ
2
=
=0,
整理
,
得
所以
因为
k
1
k
2
=- ,
所以
所以
e= .
