2017-2018学年江西省高安中学高二下学期期末考试数学（理）试题（解析版）

2017-2018学年江西省高安中学高二下学期期末考试数学（理）试题（解析版）

‎2017-2018学年江西省高安中学高二下学期期末考试数学（理）试题 一、单选题 ‎1．设是虚数单位，则复数的虚部等于（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】分析：对所给的复数分子、分母同乘以，利用进行化简，整理出实部和虚部即可．‎ 详解：∵‎ ‎∴复数的虚部为 故选D.‎ 点睛：本题考查两个复数代数形式的乘除法，虚数单位的幂运算性质，两个复数相除时，一般需要分子和分母同时除以分母的共轭复数，再进行化简求值．‎ ‎2．设集合，则下列结论正确的是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】分析：先根据解分式不等式得集合N，再根据数轴判断集合M,N之间包含关系，以及根据交集定义求交集.‎ 详解：因为，所以,‎ 因此，，选B.‎ 点睛：集合的基本运算的关注点 ‎(1)看元素组成．集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提． (2)有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了，易于解决．‎ ‎ (3)注意数形结合思想的应用，常用的数形结合形式有数轴、坐标系和Venn图．‎ ‎3．已知命题，，那么命题为（ ）‎ A. ， B. ，‎ C. ， D. ，‎ ‎【答案】C ‎【解析】特称命题的否定为全称命题，则为，，故选C．‎ ‎4．设平面向量，则与垂直的向量可以是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】分析：先由平面向量的加法运算和数乘运算得到，再利用数量积为0进行判定．‎ 详解：由题意，得，‎ 因为，，‎ ‎，，‎ 故选D．‎ 点睛：本题考查平面向量的坐标运算、平面向量垂直的判定等知识，意在考查学生的逻辑思维能力和基本计算能力．‎ ‎5．已知等差数列的前项和为，，且，则（ ）‎ A. 6 B. 7 C. 8 D. 9‎ ‎【答案】D ‎【解析】分析：设等差数列的公差为d，由且，可得，，解出即可得出.‎ 详解：设等差数列的公差为d，由且，‎ ‎ ，，‎ 解得，‎ 则.‎ 故选：D.‎ 点睛：(1)等差数列的通项公式及前n项和公式，共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想来解决问题．‎ ‎(2)数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换作用，而a1和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法．‎ ‎6．公元263年左右，我国数学家刘徽发现，当圆内正多边形的边数 无限增多时，正多边形的面积可无限逼近圆的面积，由此创立了割圆术，利用割圆术刘徽得到了圆周率精确到小数点后面两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”.如图是利用刘徽的割圆术设计的程序框图，则输出的值为( )‎ 参考数据：‎ A. 12 B. 24 C. 48 D. 9‎ ‎【答案】C ‎【解析】分析：列出循环过程中S与n的数值，满足判断框的条件即可结束循环.‎ 详解：模拟执行程序，可得：‎ ‎，‎ 不满足条件，，‎ 不满足条件，，‎ 不满足条件，，‎ 满足条件，退出循环，输出n的值为48.‎ 故选：C.‎ 点睛：本题考查循环框图的应用，考查了计算能力，注意判断框的条件的应用，属于基础题.‎ ‎7．定义在上的函数为偶函数，记，，则（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】分析：根据f（x）为偶函数便可求出m=0，从而f（x）=，这样便知道f（x）在[0，+∞）上单调递减，根据f（x）为偶函数，便可将自变量的值变到区间[0，+∞）上：，，，然后再比较自变量的值，根据f（x）在[0，+∞）上的单调性即可比较出a，b，c的大小．‎ 详解：∵f（x）为偶函数，∴f（﹣x）=f（x）.‎ ‎∴，∴|﹣x﹣m|=|x﹣m|，‎ ‎∴（﹣x﹣m）2=（x﹣m）2，‎ ‎∴mx=0， ∴m=0.‎ ‎∴f（x）=‎ ‎∴f（x）在[0，+∞）上单调递减，并且 , ,c=f（0）,‎ ‎∵0＜log21.5＜1‎ ‎∴,故答案为：C 点睛：（1）本题主要考查函数的奇偶性和单调性，考查对数函数的性质，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和分析推理能力. (2)解答本题的关键是分析出函数f（x）=的单调性，此处利用了复合函数的单调性，当x>0时，是增函数，是减函数，是增函数，所以函数是上的减函数.‎ ‎8．已知，，则是的（ ）‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】分析：先化简和，再判断和的充要性.‎ 详解：因为，所以a>0,且a>b.‎ 设f(x)=x|x|=,所以函数f(x)是R上的增函数，‎ 因为，所以a>b.‎ 所以即研究a>0,且a>b是a>b的充要条件.‎ 因为a>0,且a>b是a>b的充分不必要条件.‎ 所以是的充分非必要条件.‎ 故答案为：A 点睛：（1）本题主要考查充要条件的判断，意在考查学生对该基础知识的掌握能力和转化能力. (2)解答本题的关键是化简和，转化为研究a>0,且a>b是a>b的充要条件.‎ ‎9．已知双曲线C的中心在原点，焦点在轴上，若双曲线C的一条渐近线与直线平行，则双曲线C的离心率为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】分析：根据双曲线的一条渐近线与直线平行，利用斜率相等列出的关系式，即可求解双曲线的离心率.‎ 详解：双曲线的中心在原点，焦点在轴上，‎ 若双曲线的一条渐近线与直线平行，‎ 可得，即，‎ 可得，离心率，故选A.‎ 点睛：本题主要考查双曲线的定义及离心率，属于难题. 离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出，从而求出;②构造的齐次式，求出;③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解.‎ ‎10．若函数的图象上存在关于直线对称的点，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】分析：设若函数的图象上存在关于直线对称的点，则函数与函数的图象有交点，即有解，利用导数法，可得实数a的取值范围.‎ 详解：由的反函数为，‎ 函数与的图象上存在关于直线对称的点，‎ 则函数与函数的图象有交点，即有解，‎ 即，‎ 令，‎ 则，‎ 当时，，在上单调递增，‎ 当时，可得求得的最小值为1.‎ 实数的取值范围是，‎ 故选：D.‎ 点睛：本题考查的知识点是函数图象的交点与方程根的关系，利用导数求函数的最值，难度中档.‎ ‎11．对33000分解质因数得，则的正偶数因数的个数是（ ）‎ A. 48 B. 72 C. 64 D. 96‎ ‎【答案】A ‎【解析】分析：分的因数由若干个、若干个、若干个、若干个相乘得到，利用分步计数乘法原理可得所有因数个数，减去不含的因数个数即可得结果.‎ 详解：的因数由若干个（共有四种情况），‎ 若干个（共有两种情况），‎ 若干个（共有四种情况），‎ 若干个（共有两种情况），‎ 由分步计数乘法原理可得的因数共有，‎ 不含的共有，‎ 正偶数因数的个数有个，‎ 即的正偶数因数的个数是，故选A.‎ 点睛：本题主要考查分步计数原理合的应用，属于中档题.有关排列组合的综合问题，往往是两个原理及排列组合问题交叉应用才能解决问题，解答这类问题理解题意很关键，一定多读题才能挖掘出隐含条件.解题过程中要首先分清“是分类还是分步”、“是排列还是组合”，在应用分类计数加法原理讨论时，既不能重复交叉讨论又不能遗漏，这样才能提高准确率.‎ ‎12．若曲线：与曲线：（其中无理数…）存在公切线，则整数的最值情况为（ ）‎ A. 最大值为2，没有最小值 B. 最小值为2，没有最大值 C. 既没有最大值也没有最小值 D. 最小值为1，最大值为2‎ ‎【答案】C ‎【解析】分析：先根据公切线求出，再研究函数的最值得解.‎ 详解：当a≠0时，显然不满足题意.‎ 由得，由得.‎ 因为曲线：与曲线：（其中无理数…）存在公切线，‎ 设公切线与曲线切于点，与曲线切于点，‎ 则 将代入得，‎ 由得，‎ 设 当x＜2时，，f(x)单调递减，‎ 当x＞2时，，f(x)单调递增.‎ 或a<0.‎ 故答案为：C 点睛：（1）本题主要考查导数的几何意义，考查利用导数求函数的最值，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和分析推理能力. (2)解答本题的关键是求出，再研究函数的最值得解.‎ 二、填空题 ‎13．右图是一个边长为4的正方形二维码，为了测算图中黑色部分的面积，在正方形区域内随机投掷400个点，其中落入黑色部分的有225个点，据此可估计黑色部分的面积为_____________.‎ ‎【答案】9. ‎ ‎【解析】分析：计算正方形二维码的面积，利用面积比等于对应的点数比求得黑色部分的面积.‎ 详解：边长为4的正方形二维码面积为，设图中黑色部分的面积为S，‎ 则，解得.‎ 据此估计黑色部分的面积为9.‎ 故答案为：9.‎ 点睛：本题考查了用模拟实验的方法估计概率的应用计算问题，是基础题.‎ ‎14．若满足约束条件，则函数的最小值为__________．‎ ‎【答案】5.‎ ‎【解析】分析：作出约束条件所表示的平面区域，结合图象，得到目标函数经过点时，目标函数取得最小值，即可求解．‎ 详解：作出约束条件所表示的平面区域，‎ 如图所示，目标函数，则，‎ 由图象可知当取可行域内点时，目标函数取得最小值，‎ 由，解得，‎ 此时函数的最小值为．‎ 点睛：本题主要考查简单线性规划．解决此类问题的关键是正确画出不等式组表示的可行域，将目标函数赋予几何意义；求目标函数的最值的一般步骤为：一画二移三求．其关键是准确作出可行域，理解目标函数的意义．常见的目标函数有：（1）截距型：形如 .求这类目标函数的最值常将函数 转化为直线的斜截式： ，通过求直线的截距的最值间接求出的最值；（2）距离型：形如 ‎ ；（3）斜率型：形如．‎ ‎15．设函数，则满足的的取值范是____________．‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】分析：画出函数的图象，利用函数的单调性列出不等式转化求解即可.‎ 详解：函数的图象如图：‎ 满足，‎ 可得或，‎ 解得.‎ 故答案为：.‎ 点睛：本题考查分段函数的应用，函数的单调性以及不等式的解法，考查计算能力.‎ ‎16．已知抛物线的焦点为，点，在抛物线上，且，过弦的中点作准线的垂线，垂足为，则的最小值为__________．‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】分析：过P、Q分别作准线的垂线PA、QB，垂足分别是A、B，设，‎ ‎，可得，由余弦定理得：，进而根据基本不等式，求得的取值范围，从而得到本题答案.‎ 详解：如图：‎ 过P、Q分别作准线的垂线PA、QB，垂足分别是A、B，‎ 设，，‎ 由抛物线定义，得，‎ 在梯形中，，‎ ‎ ，‎ 由余弦定理得：‎ ‎，‎ 则的最小值为.‎ 故答案为：.‎ 点睛：本题考查抛物线的定义、简单几何性质，基本不等式求最值，余弦定理的应用等知识，属于中档题.‎ 三、解答题 ‎17．已知正项等比数列满足，前三项和．‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）若数列满足，的前项和为，求．‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】分析：（1）根据等比数列的性质，可将转化为，再根据数列各项为正数，可得的值，然后根据前三项和，可求得公比，从而可得数列的通项公式；（2）由（1）可得数列的通项公式，从而可得数列的通项公式，再根据数列的特性，利用裂项相消法即可求得.‎ 详解：（1）∵‎ ‎∴‎ ‎∵‎ ‎∴‎ ‎∵，且 ‎∴‎ ‎∴‎ ‎（2）∵‎ ‎∴‎ ‎∴．‎ 点睛：本题主要考查递推公式求通项的应用，以及裂项相消法求数列的和，属于中档题. 裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：（1）；（2） ； （3）；（4）‎ ‎；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误.‎ ‎18．已知中，三个内角，，所对的边分别为，，，满足.‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）若，的面积为，求，的值.‎ ‎【答案】(1) ‎ ‎(2) .‎ ‎【解析】分析：（1）直接利用三角函数关系式的恒等变换和正弦定理求出A的值；‎ ‎（2）利用余弦定理和三角形面积公式的应用求出结果.‎ 详解：（1）由题意可得：‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎， ‎ ‎（2），，‎ ‎， .‎ 点睛：本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦定理和余弦定理的应用，三角形面积公式的应用.‎ ‎19．某名校从2008年到2017年考入清华、北大的人数可以通过以下表格反映出来.（为了方便计算，将2008年编号为1，2009年编号为2，以此类推……）‎ 年份 人数 ‎（1）根据最近5年的数据，利用最小二乘法求出与之间的线性回归方程，并用以预测2018年该校考入清华、北大的人数；（结果要求四舍五入至个位）‎ ‎（2）从这10年的数据中随机抽取2年，记其中考入清华、北大的人数不少于的有年， ‎ 求的分布数列和数学期望.‎ 参考公式：.‎ ‎【答案】(1) 2018年该校考入清华北大的人数约为15人.‎ ‎(2)分布列见解析；.‎ ‎【解析】分析：（1）求出，，从而求出和，即可得到与之间的线性回归方程，从而可得答案；‎ ‎（2）x的取值分别为0,1,2，求出相对应的概率即可得到答案.‎ 详解：（1）‎ ‎ ，‎ ‎，故当时，，‎ 所以，2018年该校考入清华北大的人数约为15人. ‎ ‎（2）随机变量x的取值分别为0,1,2，‎ ‎，，‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎. ‎ 点睛：求回归方程，关键在于正确求出系数， ，由于， 的计算量大，计算时应仔细谨慎，分层进行，避免因计算而产生错误．(注意线性回归方程中一次项系数为，常数项为，这与一次函数的习惯表示不同．)‎ ‎20．已知椭圆的上、下焦点分别为，上焦点到直线的距离为3，椭圆的离心率.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）椭圆，设过点斜率存在且不为0的直线交椭圆于两点，试问轴上是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由.‎ ‎【答案】(1) ‎ ‎(2) 存在点使得.‎ ‎【解析】分析：（1）根据已知列方程组，解方程组即得椭圆的方程. (2)先假设存在，再化简已知得到，所以存在.‎ 详解：（1）由已知椭圆方程为，设椭圆的焦点，‎ 由到直线的距离为3，得，‎ 又椭圆的离心率，所以，又，‎ 求得，.‎ 椭圆方程为.‎ ‎（2）存在.理由如下：由（1）得椭圆，设直线的方程为，联立，消去并整理得.‎ ‎ .‎ 设，，则，.‎ 假设存在点满足条件，由于，所以平分.‎ 易知直线与直线的倾斜角互补，∴. ‎ 即，即.（）‎ 将，代入（）并整理得，‎ ‎∴，整理得，即，‎ ‎∴当时，无论取何值均成立. ∴存在点使得.‎ 点睛：（1）本题主要考查椭圆的方程，考查直线和椭圆的位置关系，意在考查学生对 这些基础知识的掌握能力及分析推理计算能力. (2)解答本题的关键是对的转化，由它画图可得平分，所以直线与直线的倾斜角互补，所以. ‎ ‎21．知函数，，与在交点处的切线相互垂直.‎ ‎(1)求的解析式；‎ ‎(2)已知,若函数有两个零点,求的取值范围 .‎ ‎【答案】(1) 。‎ ‎(2) 或。‎ ‎【解析】分析：（1）分别求出与在交点处切线的斜率，从而得到答案；‎ ‎（2）对求导，分类讨论即可.‎ 详解：(1) ，，‎ 又，，与在交点处的切线相互垂直，‎ ‎,.又在上, ，‎ 故. ‎ ‎(2)由题知 ‎ ‎ .‎ ‎①,即时,令,得;‎ 令,得或，‎ 在区间上单调递增,在区间上单调递减,在区间上单调递增,故存在使 ‎ .又，，，‎ 在区间上有一个零点,在区间上有一个零点,‎ 在区间上有一个零点,共个零点,不符合题意,舍去.‎ ‎②时,令,得，令,得或，‎ 在区间上单调递增,在区间上单调递减,在区间上单调递增，‎ 又,,有两个零点,符合题意.‎ ‎③,即时,令,得,‎ 令,得或，‎ 在区间上单调递增,在区间上单调递减,在区间上单调递增，‎ ‎，在区间上存在一个零点,‎ 若要有两个零点,必有,解得.‎ ‎④,即时,令,得，令,得或，‎ 在区间上单调递增,在区间上单调递减,在区间上单调递增，‎ ‎,在区间上存在一个零点，‎ 又 ‎ ‎ ，‎ ‎∴在区间∴上不存在零点,即只有一个零点,不符合题意.‎ 综上所述, 或. ‎ 点睛：函数零点或函数图象交点问题的求解，一般利用导数研究函数的单调性、极值等性质，并借助函数图象，根据零点或图象的交点情况，建立含参数的方程(或不等式)组求解，实现形与数的和谐统一．‎ ‎22．（题文）选修4—4：坐标系与参数方程 已知直线的参数方程是(t是参数)．以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴，且取相同的长度单位建立极坐标系，圆C的极坐标方程为.‎ ‎（1）求直线的普通方程与圆C的直角坐标方程；‎ 设圆C与直线交于A、B两点，若P点的直角坐标为(1，0)，求的值．‎ ‎【答案】(1) ；。‎ ‎(2) .‎ ‎【解析】试题分析：（1）将参数方程两式相加消去参数普通方程得到直线的普通方程,将扱坐标方程展开两边同乘,根据极坐标与直角坐标的对应关系得到直角坐标方程；（2）将直线的参数方程代入曲线的直角坐标方程,利用根与系数的关系和参数的几何意义求出距离.‎ 试题解析：（1）直线消去参数，得，‎ 即直线的普通方程为．‎ 由，得，‎ ‎∴，‎ ‎∴圆的直角坐标方程为．‎ ‎（2）点在直线上，且在圆内，‎ 把代入，‎ 得，‎ 设两个实根为，，则、两点所对应的参数为，，‎ 则，，‎ ‎∴ ．‎ ‎【考点】1、简单曲线的极坐标方程；2、直线的参数方程.‎ ‎23．选修4-5：不等式选讲 ‎ 已知函数 ‎（1）若的解集为，求实数的值；‎ ‎（2）若，若存在，使得不等式成立，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】(1) .‎ ‎(2) .‎ ‎【解析】分析：（1）利用绝对值不等式的解集，列出方程求解即可；‎ ‎（2）利用，若存在，使得不等式成立，化简函数的解析式，通过函数的最小值以及函数的单调性，列出不等式，求解即可.‎ 详解：（1）显然，当时，解集为，，无解；‎ 当时，解集为，，，‎ 综上所述. ‎ ‎(2)当时，令 由此可知在上单调递减，在上单调递增，当时，取到最小值-2，由题意知，，. ‎ 点睛：本题考查函数的最值的应用，绝对值不等式的解法，考查转化思想以及计算能力.‎