2017-2018学年山东省寿光市第一中学高二12月月考数学（理）试题（解析版）

2017-2018学年山东省寿光市第一中学高二12月月考数学（理）试题（解析版）

山东省寿光市第一中学2017-2018学年高二12月月考数学（理）试题 一、单选题 ‎1．下列条件中使与， ， 一定共面的是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题意可知，A选项=，若为非零向量，OM只需与面ABC平面也可以满足，所以A错。 B错，可以构造一个平行六面体，使得体对角线是OM，同时作基底，所以也不共面。D选项错，同理-，也可以构造一个平行六面体。C选项，-，当为非零向量时，此为平面向量基本定理，且三个向量共了起点，所以必共面。若，出现了零向量，即四个点退化为三个点，必共面。选C.‎ ‎2．设点， ，若的周长为，则动点的轨迹方程是（ ）‎ A. （） B. （） C. （） D. （）‎ ‎【答案】A ‎【解析】设A（x,y）,由题意可得AB+AC=10=2a>BC,所以点A在以B,C为焦点，长半轴为5的椭圆上，且三点不共线，即点A不在x轴, 。a=5,c=4,b=3,选A.‎ ‎3．已知向量， ，若，则与的值可以是（ ）‎ A. ， B. ， C. ， D. ， ‎ ‎【答案】A ‎【解析】因为，所以或，选A.‎ ‎4．数列的首项为， 为等差数列，且（），若 ‎， ，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题意可设等差数列的首项为，公差为，所以所以，所以，即=2n-8,‎ ‎=,所以,选B.‎ ‎5．若抛物线的准线的方程是，则实数的值是（ ）‎ A. B. C. 8 D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】方程表示的是抛物线, ， ， 抛物线的准线方程是，解得，故选A.‎ ‎6．已知椭圆和双曲线有相同的焦点是它们的一个交点，则的形状是 （ ）‎ A．锐角三角形 B．直角三角形 ‎ C．钝角三角形 D．随的变化而变化 ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：令,所以,所以．由椭圆的定义可知,由双曲线的定义可知,由双曲线的对称性不妨设．由可得,．所以,所以是直角三角形．故B正确．‎ 考点：1椭圆的定义,简单几何性质;2双曲线的定义,简单几何性质．‎ ‎7．在中，能使成立的充分必要条件是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】成立的充要条件为，由于在三角形中，所以 。充分必要条件为上区间的真子集，所以选C.‎ ‎8．已知向量， ， ，若，则与的夹角为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题意可得， ，且，所以，‎ ‎ ，所以，选C.‎ ‎【点睛】本题考查向量的数量积坐标运算与运用向量求夹角，但本题更重要的是要发现的平行关系，就可以简化运算，否则要设坐标，待定系数运算求坐标，运算复杂了。‎ ‎9．下列四个结论中正确的个数为（ ）‎ ‎① 命题“若，则”的逆命题是“若或，则”；‎ ‎②已知： ， ， ：若，则，则为真命题；‎ ‎③命题“， ”的否定是“， ”；‎ ‎④“”是“”的必要不充分条件.‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】①错，逆命题不需要否定。②错，因为假，m=0时不等式不成立。③对，④错“”是“”的充分不必要条件.选B.‎ ‎【点睛】‎ 四种命题分别是原命题,逆命题,否命题以及逆否命题,它们之间的关系是,若原命题为“若p则q”,则逆命题为“若q则p”,否命题为“若则”,逆否命题为“若则”.‎ ‎10．设双曲线（， ）的渐近线与抛物线相切，则该双曲线的离心率等于（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】由题意可知双曲线的渐近线一条方程为，与抛物线方程组成方程组消y得， ，即，所以，选D.‎ ‎【点睛】‎ 双曲线（， ）的渐近线方程为。‎ 直线与抛物线交点问题，直线与抛物线方程组方程组，‎ 当直线与抛物线对称轴平行时，直线与抛物线相交，只有一个交点。‎ 当直线与抛物线对称轴不平行时，当时，直线与抛物线相交，有两个交点。‎ 当时，直线与抛物线相切，只有一个交点。‎ 当时，直线与抛物线相离，没有交点。‎ ‎11．已知椭圆（），为椭圆上一动点， ， 分别为椭圆的左、右焦点，则线段的中点满足的曲线是（ ）‎ A. 椭圆 B. 圆 C. 双曲线的一支 D. 线段 ‎【答案】A ‎【解析】设，则， ，则 ，有，代入得： ，线段的中点的轨迹是椭圆.选A.‎ ‎12．若关于的不等式的解集中，恰有个整数，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】原不等式可等价为，不等式恰有个整数，当时， ，当时， ，即，选D。‎ ‎【点睛】‎ 解一元二次不等的步骤为，先化标准式，即不等式右边为0，左边最高次系数为正。第二步找到不等式所对应方程的根，一般进行因式分解或判断判别式后用求根公式。第三步是结合不等式所对应函数图像写出不等式解集。如果有参数要对参数进行分类讨论。‎ ‎13．已知双曲线的左、右焦点分别为、，抛物线 的顶点在原点，它的准线与双曲线的左准线重合，若双曲线与抛物线的交点满足，则双曲线的离心率为 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】考点：双曲线的简单性质．‎ 分析：先设出抛物线方程，进而根据题意可得p与a和c的关系，把抛物线方程与双曲线方程联立，把x=c，p="2"，代入整理可得答案．‎ 解：设抛物线方程为y2=2px，依题意可知=‎ ‎∴p=2，‎ 抛物线方程与双曲线方程联立得-=1，把x=c，p=2，代入整理得e4-2e2-3=0‎ 解得e2=3或-1（舍去）‎ ‎∴e=‎ 故选B。‎ 二、填空题 ‎14．双曲线的焦距为___________．‎ ‎【答案】8‎ ‎【解析】试题分析：，解得，所以焦距，故填：8.‎ 考点：双曲线的几何性质 ‎15．已知： ， ： ，若是的充分条件，则实数的取值范围是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据题意可得： ，因为是的充分条件，所以的解集的子集。‎ 设f(x) , ,所以，填 ‎【点睛】‎ 假设A是条件，B是结论；由A可以推出B，由B不可以推出A，则A是B的充分不必要条件(‎ ‎)；若由A不可以推出B，由B可以推出A，则A是B的必要不充分条件()；‎ ‎16．已知正四棱锥如图所示，在向量， ， ， ，不能作为底面的法向量的是__________．‎ ‎【答案】①‎ ‎【解析】由题意可知=， =， =， =，所以填①。‎ 三、解答题 ‎17．已知p: ,q：‎ ‎（1）若a=，且为真，求实数x的取值范围;‎ ‎（2）若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）先解出p，q下的不等式，从而得到p：，q：a≤x≤a+1，所以时，p：．由p∧q为真知p，q都为真，所以求p，q下x取值范围的交集即得实数x的取值范围；（2）由p是q的充分不必要条件便可得到，解该不等式组即得实数a的取值范围 试题解析：（1）∵为真 ‎∴p真q真 ‎ P真：则设A={x|}=，‎ q真：B={x|}=‎ ‎∵，∴B= ‎ ‎∴‎ ‎∴实数x的取值范围为: ‎ ‎（2）由（1）知设A={x|，B=‎ ‎∵p是q的充分不必要条件，‎ ‎∴A是B的真子集 ‎ ‎∴或解得，‎ ‎∴实数a的取值范围为：．‎ 考点：1．复合命题的真假；2．必要条件、充分条件与充要条件的判断 ‎18．的内角， ， 的对边分别为， ， ，已知.‎ ‎（1）求;‎ ‎（2）若， 的面积为，求的周长.‎ ‎【答案】（1） （2） ‎ ‎【解析】试题分析：（1）由正弦定理统一角，可解得。（2）由（1）和，及角C的余弦定理与S= ,可解得=5。‎ 试题解析：（1）由已知及正弦定理得: ‎ 即，故 可得，所以 ‎（2）由已知， ，又，所以 由已知及余弦定理得 故，从而 所以的周长为 ‎【点睛】‎ 解三角形时常利用正弦定理或余弦定理处理条件中含有边或角的等式,常考虑对其实施“边化角”或“角化边.”。 在解决三角形的问题中，面积公式最常用，因为公式中既有边又有角，容易和正弦定理、余弦定理联系起来。‎ ‎19．如图，在直三棱柱中-A BC中，ABAC， AB=AC=2，=4，点D是BC的中点．‎ ‎（1）求异面直线与所成角的余弦值；‎ ‎（2）求平面与所成二面角的正弦值．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】试题分析：根据条件建立空间直角坐标系，（1）求异面直线所成的角，转化为求,(2)先求两个平面的法向量，然后用法向量的夹角的余弦值计算，然后再转化为正弦值．‎ 试题解析：（1）以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，‎ 则，，，，，，‎ ‎∴，，‎ ‎∵，‎ ‎∴异面直线与所成角的余弦值为．‎ ‎（2）设平面的法向量为，因为，，‎ ‎∴，即，取，得，，∴，‎ 取平面的一个法向量为，设平面与平面所成的二面角的大小为，‎ 由，得，‎ 故平面与平面所成二面角的正弦值．‎ 考点：1．空间向量；2．异面直线所成角；3．二面角的计算．‎ ‎20．已知的一个顶点为抛物线的顶点， ， 两点都在抛物线上，且.‎ ‎（1）求证：直线必过一定点；‎ ‎（2）求证： 面积的最小值.‎ ‎【答案】（1）详见解析（2）当时， 的面积取得最小值为 ‎【解析】试题分析：（1）由于，所以设所在的直线的方程为（），则直线的方程为.分别与抛物线方程组方程组解得A,B点坐标。由AB直线方程可写出定点，要注意直线AB斜率不存在时情况。（2）由（1）知直线AB过定点（2，0），所以可设直线的方程为.与抛物线组方程组。由韦达定理与面积公式，可求得面积最小值。‎ 试题解析：（1）设所在的直线的方程为（），则直线的方程为.‎ 由，解得或，即点的坐标为 同理可求得点的坐标为 ‎∴当，即时，直线的方程为 化简并整理，得 当时，恒有 当，即时，直线的方程为，过点.‎ 故直线过定点.‎ ‎（2）由于直线过定点，记为点，所以可设直线的方程为.‎ 由，消去并整理得，‎ ‎∴， ‎ 于是 ‎ ‎∴当时， 的面积取得最小值为 ‎【点睛】‎ 在解析几何中解决三角形面积问题时，选择合适的公式是重要的，本题是把一个三角形拆分成两个三角形的面积和，即，因为OP为定值。‎ ‎21．在四棱锥中，底面为正方形， 底面， 为棱的中点．‎ ‎（1）证明： ；‎ ‎（2）求直线与平面所成角的正弦值；‎ ‎（3）若为中点，棱上是否存在一点，使得，若存在，求出的值，若不存在，说明理由．‎ ‎【答案】（1）详见解析；（2）；（3）‎ ‎【解析】试题分析：（1）根据条件可证明平面，再根据线面垂直的性质即可求解；（2）建立空间直角坐标系后求得平面的一个法向量后即可求解；（3）设，利用空间向量建立关于的方程即可求解．‎ 试题解析：（1）因为底面， 所以，因为，所以平面，由于平面，所以有；（2）依题意，以点为原点建立空间直角坐标系（如图）， 不妨设，可得， ‎ ‎， ， ，由为棱的中点，得， ， 向量，，设为平面的法向量，则，即，不妨令，可得为平面的一个法向量．所以所以，直线与平面所成角的正弦值为；（3）向量， ， ．由点在棱上，设，故，由，得， 因此，解得，所以．‎ 考点：立体几何综合．‎ ‎22．已知抛物线的焦点为，点与关于坐标原点对称，直线垂直于轴，垂足为，与抛物线交于不同的两点， ，且.‎ ‎（1）求点的横坐标.‎ ‎（2）若以， 为焦点的椭圆过点 ‎（ⅰ）求椭圆的标准方程；‎ ‎（ⅱ）过点作直线与椭圆交于， 两点，设，若，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）点的横坐标为.（2）（ⅰ）（ⅱ）‎ ‎【解析】试题分析：（1）由对称性写出坐标，同时由对称性可设， ，由数量积的坐标运算可解得T点坐标。（2）由（1）得，待定系数及点在椭圆上可求得椭圆方程。由，得，且，结合韦达可求得，把通过坐标表示写成关于k的函数关系，即可求得范围。‎ 试题解析：（1）由题意，得， ，‎ 设， ，则， ， ‎ 由 得，即，①‎ 又在抛物线上，则，②‎ 联立①②易得，则点的横坐标为.‎ ‎（2）（ⅰ）设椭圆的半焦距为，由题意，得 设椭圆的标准方程为（），‎ 则，③‎ ‎，④‎ 将④代入③，解得或（舍去）‎ 所以 故椭圆的标准方程为.‎ ‎（ⅱ）由题意分析知直线的斜率不为，‎ 设直线的方程为 将直线的方程代入中，得 设， ， ，则由根与系数的关系，‎ 可得，⑤‎ ‎⑥‎ 因为，所以，且.‎ 将⑤式平方除以⑥式，‎ 得 ‎ 由 ，所以 因为， ‎ 所以.‎ 又，所以 故 令，因为 所以，即，‎ 所以 而，所以 所以 ‎【点睛】‎ 解析几何求范围的题型常把所需求范围转化为某个变量的函数关系，再应用均值不等式或函数性质或导数求函数的范围，要注意变量的取值范围，即函数的定义域。‎