福建省莆田第六中学2019-2020学年高二上学期10月月考数学试题

福建省莆田第六中学2019-2020学年高二上学期10月月考数学试题

莆田六中2019-2020学年高二上第一次月考数学 一、选择题（每小题5分，共60分）‎ ‎1.函数的定义域是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 二次根式下的式子大于等于0，得到关于的不等式，解出的范围，求出定义域.‎ ‎【详解】函数 所以，‎ 解得 所以函数的定义域为 故选项.‎ ‎【点睛】本题考查求具体函数的定义域，解一元二次不等式，属于简单题.‎ ‎2.“”是“方程为椭圆”的（　　）‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：若方程表示椭圆，则，解得且，所以是方程表示椭圆的必要不充分条件，故选B．‎ 考点：椭圆的标准方程；必要不充分条件的判定．‎ ‎3.若，则下列结论不正确的是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由，得到之间的关系，再分别判断四个选项中的式子是否正确，得到答案.‎ ‎【详解】因为，‎ 所以，‎ 所以，可得，故选项正确，‎ 因为，在两边同乘，得，故项错误，‎ 因为得，由基本不等式可得，故选项正确，‎ 因为，在两边同除以，得，故选项正确 ‎【点睛】本题考查不等式的性质，属于简单题.‎ ‎4.已知椭圆：一个焦点为，则的离心率为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【详解】分析：首先根据题中所给的条件椭圆的一个焦点为，从而求得，再根据题中所给的方程中系数，可以得到，利用椭圆中对应的关系，求得，最后利用椭圆离心率的公式求得结果.‎ 详解：根据题意，可知，因为，‎ 所以，即，‎ 所以椭圆的离心率为，故选C.‎ 点睛：该题考查的是有关椭圆的离心率的问题，在求解的过程中，一定要注意离心率的公式，再者就是要学会从题的条件中判断与之相关的量，结合椭圆中的关系求得结果.‎ ‎5.下列命题中，真命题的是（ ）‎ A. ‎ B. ‎ C. 的充要条件是 D. 若，且，则中至少有一个大于1‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用全称命题和特称命题的定义判断A，利用充要条件和必要条件的定义判断利用反证法证明D．‎ ‎【详解】解：A，根据指数函数的性质可知恒成立，所以A错误．‎ B.当时，，所以B错误．‎ C.若时，无意义0，即充分性不成立，所以C错误．‎ D.假设x，y都小于1，则，，所以与矛盾，所以假设不成立，所以D正确．‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】本题主要考查命题的真假判断，考查充分、必要条件的判断，属于基础题.‎ ‎6.若直线过点，则的最小值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将点代入直线，得到的关系，然后利用的代换，结合基本不等式求出的最小值，得到答案.‎ ‎【详解】将点代入直线，‎ 得到 所以 ‎，‎ 当且仅当，即时，等号成立.‎ 故选项.‎ ‎【点睛】本题考查利用基本不等式求和的最小值，属于简单题.‎ ‎7.记为等差数列的前n项和．已知，则 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 等差数列通项公式与前n项和公式．本题还可用排除，对B，，，排除B，对C，，排除C．对D，，排除D，故选A．‎ ‎【详解】由题知，，解得，∴，故选A．‎ ‎【点睛】本题主要考查等差数列通项公式与前n项和公式，渗透方程思想与数学计算等素养．利用等差数列通项公式与前n项公式即可列出关于首项与公差的方程，解出首项与公差，在适当计算即可做了判断．‎ ‎8.双曲线的离心率为2，焦点到渐近线的距离为，则的焦距等于（ ）．‎ A. 2 B. C. 4 D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：设双曲线的焦距为2c，双曲线的渐进线方程为，由条件可知，，又，解得，故答案选C．‎ 考点：双曲线的方程与几何性质 ‎9.已知正项等比数列满足：，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将已知条件转化为等比数列的基本量首项和公比，根据条件列出方程组，解出，再得到答案.‎ ‎【详解】设等比数列的公比为，‎ 因为，，‎ 所以，解得，‎ 故前4项的和，‎ 故选项.‎ ‎【点睛】本题考查等比数列中基本量的计算，属于简单题.‎ ‎10.设为曲线的两个焦点，点在双曲线上且满足，则的面积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由双曲线的定义得到，然后根据勾股定理得到，平方后代入，解得，从而得到答案.‎ ‎【详解】因为为曲线的两个焦点，‎ 所以，‎ 双曲线的定义得到，‎ 平方得 因为，‎ 所以根据勾股定理得 所以得 的面积 故选：C ‎【点睛】本题考查双曲线的定义和求焦点三角形的面积，属于简单题.‎ ‎11.已知椭圆的右焦点为，过点的直线交椭圆于、两点.若的中点坐标为，则的方程为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 设 ，直线的斜率 ， ，两式相减得 ，即 ，即 ， ，解得： ，方程是，故选D.‎ ‎12.已知直线过椭圆的上顶点和左焦点，且被圆截得的弦长为，若，则椭圆离心率的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意将椭圆左焦点代入直线，得到和的关系，然后根据圆的弦长，得到圆心到直线的距离，从而得到，然后表示离心率，转化为用表示，从而得到离心率的范围，得到答案.‎ ‎【详解】将椭圆左焦点代入直线，‎ 得到，‎ 直线过椭圆的上顶点，所以，‎ 直线被圆截得的弦长为，圆心到直线的距离为，‎ 则，‎ 因为弦长，所以，得，‎ 圆心为，直线，‎ 所以 所以，即，‎ 离心率，‎ 代入得，，‎ 所以椭圆离心率的范围为，‎ 故选项.‎ ‎【点睛】本题考查求椭圆的离心率范围，圆的弦长公式，点到直线的距离，属于中档题.‎ 二、填空题（每小题5分，共20分）‎ ‎13.命题“，使得不等式”是真命题，则的范围是_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意转化为，从而得到关于的不等式，解得的范围.‎ ‎【详解】因为命题“，使得不等式”是真命题，‎ 所以可得，‎ 解得，‎ 故答案为 ‎【点睛】本题考查根据命题的真假求参数的范围，属于简单题.‎ ‎14.中，，，，则的面积为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎∵在中，，，，‎ ‎∴由余弦定理得：，‎ 即，‎ 解得，（舍去），‎ ‎∴的面积．‎ 故答案为：.‎ 点睛：本题主要考查正弦定理及余弦定理的应用以及三角形面积公式，属于难题.在解与三角形有关的问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要依据. 解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷一般来说 ,当条件中同时出现 及 、 时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答.‎ ‎15.(2017·天津卷改编)已知双曲线 (a>0，b>0)左焦点为F，离心率为.若经过F和P(0，4)两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 设点，‎ 因为该双曲线的离心率为，所以，①‎ 又经过和两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，‎ 所以，②‎ 联立①②，解得．‎ 又，即③，‎ 联立①③，解得，，‎ 故双曲线的方程为．‎ 点睛：求双曲线的标准方程的基本方法是待定系数法．具体过程是先定形，再定量，即先确定双曲线标准方程的形式，然后再根据a，b，c，e及渐近线之间的关系，求出a，b的值．‎ ‎16.已知正实数满足：，则的最大值是_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据基本不等式，得到关于的不等式，解得的范围，从而得到的范围，求出答案.‎ ‎【详解】正实数，，‎ 所以，‎ 即 解得 所以得，‎ 所以的最大值是.‎ ‎【点睛】本题考查基本不等式的应用，解一元二次不等式，属于中档题.‎ 三、解答题：（本大题共5小题，共70分）‎ ‎17.已知，，.‎ ‎（1）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围；‎ ‎（2）若，命题与中一真一假，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）分别得到命题和命题成立的解集，然后根据是的充分不必要条件，得到关于的不等式组，解出的范围；（2）由命题与中一真一假，分为真假和假真，分别得到关于的不等式组，解得的范围.‎ ‎【详解】（1）记命题成立的解集为，‎ 记命题成立的解集为 因为是的充分不必要条件，‎ 所以集合为集合的真子集，‎ 所以，‎ 解得.‎ ‎(2) ，则成立的解集为，命题成立的解集为 命题与一真一假，‎ 若真假，‎ 则，不等式组无解， ‎ 若假真，则，‎ 解得：.‎ 综上得：.‎ ‎【点睛】本题考查根据充分不必要条件求参数的范围，由命题的真假求参数的范围，属于简单题.‎ ‎18.在中，角的对边分别是，.‎ ‎（1）求角的大小；‎ ‎（2）为边上的一点，且满足，锐角三角形面积为，求的长.‎ ‎【答案】(1) (2) ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)本题首先可以根据正弦定理将转化为，然后通过两角和的正弦公式将转化为，最后通过角 的取值范围即可得出结果；‎ ‎(2)本题首先可以根据解三角形面积公式以及锐角三角形的面积为计算出并求出的值，然后在三角形中通过余弦定理以及正弦定理计算出的值以及的值，最后在三角形中通过正弦定理即可计算出的值。‎ ‎【详解】（1）因，所以，‎ 解得，所以，‎ 因为，所以，，解得。‎ ‎（2）因为锐角三角形的面积为，‎ 所以，，‎ 因为三角形为锐角三角形，所以，‎ 在三角形中，由余弦定理可得：‎ ‎，所以，‎ 在三角形中，，所以，‎ 三角形中，，解得。‎ ‎【点睛】本题考查解三角形的相关性质，主要考查解三角形的相关公式的灵活使用，考查推理能力与计算能力，是中档题。‎ ‎19.已知数列的前项和为，且满足.‎ ‎(1)求证为等比数列；‎ ‎(2)求数列的前项和.‎ ‎【答案】（1）见解析（2）‎ ‎【解析】‎ 试题分析：‎ ‎（1）由可得，两式相减后整理得，所以，由，从而可得数列是以2为首项，以2为公比的等比数列．（2）由（1）可得到，故 ‎，再用分组求和法可得数列的前项和．‎ 试题解析：‎ ‎（1)证明：当时，，‎ 解得.‎ 因为①‎ 所以② ‎ ‎①-②得：‎ ‎，‎ 整理得，‎ 所以， ‎ 即，‎ 又，‎ 所以数列是以2为首项，以2为公比的等比数列. ‎ ‎(2)由（1)知，‎ 所以，‎ 所以，‎ 所以 ‎．‎ ‎20.已知椭圆C1的方程为，双曲线C2的左、右焦点分别是C1的左、右顶点，而C2的左、右顶点分别是C1的左、右焦点，O为坐标原点．‎ ‎(1)求双曲线C2的方程；‎ ‎(2)若直线l：y＝kx＋与双曲线C2恒有两个不同的交点A和B，且，求k的取值范围．‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）由两曲线长轴与焦点关系，求出双曲线C2的方程。（2）设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线与双曲线组方程组，得到韦达定理关系，注意判别式控制参数k范围。把向量关系>2，坐标化即x1x2＋y1y2>2，代入韦达可求。‎ 试题解析：(1)设双曲线C2的方程为 则a2＝4－1＝3，c2＝4，再由a2＋b2＝c2，得b2＝1，‎ 故双曲线C2的方程为－y2＝1.‎ ‎(2)将y＝kx＋代入－y2＝1，‎ 得(1－3k2)x2－6kx－9＝0.‎ 由直线l与双曲线C2交于不同的两点，‎ 得 ‎∴k2<1且k2≠.①‎ 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，‎ 则x1＋x2＝，x1x2＝.‎ ‎∴x1x2＋y1y2＝x1x2＋(kx1＋)(kx2＋)‎ ‎＝(k2＋1)x1x2＋k(x1＋x2)＋2＝.‎ 又∵>2，即x1x2＋y1y2>2，∴ >2 >2，即>0，‎ 解得

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