高考数学一轮复习练案40第六章不等式推理与证明第三讲简单的线性规划含解析

高考数学一轮复习练案40第六章不等式推理与证明第三讲简单的线性规划含解析

‎ [练案40]第三讲　简单的线性规划 A组基础巩固 一、单选题 ‎1．关于x，y的不等式组表示的平面区域的面积为(　C　)‎ A．3　 B．　‎ C．2　 D． ‎[解析]　平面区域为一个直角三角形ABC，其中A(3,1)，B(2,0)，C(1,3)，所以面积为|AB|·|AC|＝××＝2，故选C.‎ ‎[方法总结]　求平面区域的面积的方法 平面区域的面积问题主要包括两类题型：(1)求已知约束不等式(组)表示的平面区域的面积；(2)根据平面区域面积的大小及关系求未知参数，求解时需抓住两点：(1)正确判断平面区域的形状，如果形状不是常见的规则平面图形，则要进行分割；(2)求参数问题一般涉及一条动直线，因此确定其位置显得更为关键，有时还要对动直线的位置进行分类讨论．‎ ‎2．(2020·黑龙江省大庆市模拟)设x，y满足约束条件，则z＝2x－3y的最小值是(　B　)‎ A．－7　 B．－6　‎ C．－5　 D．－3‎ ‎[解析]　作出可行域：‎ 并作出直线l0：2x－3y＝0，平移l0‎ 到经过点E(3,4)时，目标函数z＝2x－3y，‎ 取得最小值为：zmin＝2×3－3×4＝－6.故选B.‎ ‎3．(2020·河北省唐山市模拟)若x，y满足约束条件则z＝2x＋y的最大值为(　C　)‎ A．1　 B．2　‎ C．7　 D．8‎ - 10 -‎ ‎[解析]　作出线性约束条件的可行域，如图示：‎ 由，解得A(2,3)，‎ 由z＝2x＋y得y＝－2x＋z，平移直线y＝－2x，‎ 显然直线过A(2,3)时，z最大，最大值是7，故选C.‎ ‎4．(2020·浙江湖州、衢州、丽水三地市期中)已知实数x，y满足则x2＋y2的最小值是(　B　)‎ A．　 B．2　‎ C．4　 D．8‎ ‎[解析]　画出可行域如下图所示，x2＋y2表示原点到可行域内的点的距离的平方，由图可知，原点到可行域内的点的距离是原点到直线x＋y－2＝0的距离＝，其平方为2.故x2＋y2的最小值为2.故选B.‎ ‎5．(2018·天津，2)设变量x，y满足约束条件则目标函数z＝3x＋5y的最大值为(　C　)‎ A．6　 B．19　‎ C．21　 D．45‎ ‎[解析]　由变量x，y满足的约束条件画出可行域(如图阴影部分所示)．‎ 作出直线l0：3x＋5y＝0，平移直线l0，当经过点A(2,3)时，z取最大值，zmax - 10 -‎ ‎＝3×2＋5×3＝21，故选C.‎ ‎6．(2020·福建龙岩质检)已知实数x，y满足不等式组，则x－y的取值范围为(　B　)‎ A．[－2，＋∞)　　 B．[－1，＋∞)‎ C．(－∞，2]　　 D．[－2,2]‎ ‎[解析]　设z＝x－y，则y＝x－z，‎ 作出不等式组对应的平面区域(阴影部分)如图：‎ 平移直线y＝x－z，由图象可知当直线y＝x－z经过点A(－1,0)时，直线y＝x－z的截距最大，‎ 此时z最小，最小值z＝－1－0＝－1，‎ 继续向下平移直线y＝x－z，z值越来越大，‎ ‎∴x－y的取值范围为[－1，＋∞)故选B.‎ ‎7．(2020·河北省张家口市、沧州市联考)若x，y变量满足，则使z＝x＋2y取得最小值的最优解为(　C　)‎ A．(－3，－1)　　 B．(－，)‎ C．(2，－1)　　 D．(－，)‎ ‎[解析]　绘制不等式组表示的平面区域如图所示，目标函数即：y＝－x＋z，其中z取得最小值时，其几何意义表示直线系在y轴上的截距最小，据此结合目标函数的几何意义可知目标函数在点B处取得最小值，‎ - 10 -‎ 联立直线方程：，‎ 可得点的坐标为B(2，－1)．选择C.‎ ‎8．(2020·河北省衡水中学调研)已知x、y满足约束条件，则|3x＋4y－12|的最小值为(　A　)‎ A．5　 B．12　‎ C．6　 D．4‎ ‎[解析]　根据约束条件画出可行域，如图所示，‎ 令z＝3x＋4y－12，转化为斜截式为y＝－x＋，‎ 即斜率为－的一簇平行线，‎ 是其在y轴的纵截距，‎ 直线过O(0,0)时，其纵截距最小；‎ 过B(1,1)时，其纵截距最大，‎ 即－12≤z≤－5，所以5≤|z|≤12，‎ 即|z|min＝5，故选A项．‎ ‎9．(2020·安徽黄山模拟)已知实数x，y满足，则的取值范围是(　A　)‎ A．[，]　 B．[，]　‎ C．[，]　 D．[，2)‎ ‎[解析]　画出x，y满足的可行域，如下图：‎ 由，解得B(2,0)，‎ - 10 -‎ 由，解得，‎ C(，)，可看作定点A(－1，－1)与动点P(x，y)连线的斜率，当动点P在B时，取最小值为，当动点P在C时，取最大值为＝，‎ 故≤≤，故答案为A.‎ 二、多选题 ‎10．若原点O和点P(1,1)在直线x＋y－a＝0的两侧，则a的取值可以是(　BC　)‎ A．0　 B．　‎ C．1　 D．2‎ ‎[解析]　由题意得(－a)·(1＋1－a)<0，解得00，x，y满足约束条件若z＝2x＋y的最小值为1，则a＝(　B　)‎ A．　 B．　‎ C．1　 D．2‎ ‎[解析]　画出所表示的区域，作直线z＝2x＋y与直线x＝1交于点A(1，－1)，则点A必在直线y＝a(x－3)上，∴－1＝a(1－3)，∴a＝，故选B.‎ - 10 -‎ ‎4．(2020·湛江模拟)设变量x，y满足约束条件则目标函数z＝()2x＋y的最大值为　　.‎ ‎[解析]　绘制不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示(含边界)．‎ 要求解目标函数z＝()2x＋y的最大值，只需求解函数z′＝2x＋y的最小值，‎ 结合函数z′＝2x＋y的几何意义可知，函数z′＝2x＋y在点C(1,1)处取得最小值z′min＝2＋1＝3，‎ 则目标函数z＝()2x＋y的最大值为()3＝.‎ ‎5．(2020·广东江门市模拟)在直角坐标系xOy中，记，表示的平面区域为Ω，在Ω中任取一点M(x0，y0)，3x0－y0≥1的概率P＝　　.‎ ‎[解析]　根据不等式组得到可行域为：图中染色部分，满足3x0－y0≥1的是黑色部分，‎ 在Ω中任取一点M(x0，y0)，3x0－y0≥1的概率P即为黑色部分的面积除以总的染色面积．‎ P＝＝.‎ ‎6．(2020·宁夏银川模拟)已知实数x，y满足约束条件若目标函数z＝2x＋ay仅在点(3,4)取得最小值，则a的取值范围是__(－∞，2)__.‎ ‎[解析]　作出不等式组对应的平面区域，如图所示，‎ - 10 -‎ 若a＝0，则目标函数z＝2x，‎ 即为此时函数在A(3,4)时取得最大值，不满足条件，‎ 当a≠0，由z＝2x＋ay，得y＝－x＋，‎ 若a>0，目标函数斜率－<0，此时平移y＝－x＋得y＝－x＋在点A(3,4)处的截距最大，此时z取得最大值，不满足条件，‎ 若a<0，目标函数斜率－ >0，要使得目标函数z＝2x＋ay仅在点A(3,4)处取得最小值，‎ 则－

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