2017-2018学年福建省宁德市高二上学期期末考试 数学（理） Word版

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宁德市2017-2018学年度第一学期期末高二质量检测 数学（理科）试题 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．已知命题，那么命题为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2．已知中，，，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎3．已知，且，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎4．若实数满足，则的最大值是（ ）‎ A．-9 B．3 C．5 D．6‎ ‎5．空间四边形中，，，，点在上，且，为的中点，则（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎6．命题为假命题，则实数的取值范围为（ ）‎ A． B． C． D．或 ‎7．中，已知，则为（ ）‎ A．等边三角形 B．等腰直角三角形 C．有一个内角为30°的直角三角形 D．有一个内角为30°的等腰三角形 ‎8．以椭圆的焦点为顶点，同时以椭圆的顶点为焦点的双曲线方程是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎9．如图，正方体中，下面结论错误的是（ ）‎ A．平面 B．异面直线与所成的角为45°‎ C．平面 D．与平面所成的角为30°‎ ‎10．在等差数列中，，，的前项和为，若，则（ ）‎ A． B． C．3 D．-3‎ ‎11．已知的三个内角的对边分别为，角的大小依次成等差数列，且，若函数的值域是，则（ ）‎ A．4 B．5 C．6 D．7‎ ‎12．过双曲线的右焦点作平行于一条渐近线的直线与另一条渐近线交于点，若点在圆心为，半径为的圆内，则该双曲线离心率的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13．已知椭圆，分别为椭圆的两焦点，点椭圆在椭圆上，且 ‎，则的面积为 ．‎ ‎14．若数列的通项公式为，则其前项和 ．‎ ‎15．若，，则的最小值为 ．‎ ‎16．将大于1的正整数拆分成两个正整数的和（如），求出这两个正整数的乘积，再将拆分出来的大于1的正整数拆分成两个正整数的和，求出这两个正整数的乘积，如此下去，直到不能再拆分为止，则所有这些乘积的和为 ．‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） ‎ ‎17．已知等比数列的各项均为正数，，；‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）设，求数列的前项和.‎ ‎18．设命题：实数满足，命题：实数满足；‎ ‎（1）当，为真命题时，求实数的取值范围；‎ ‎（2）若的必要不充分条件是，求实数的取值范围.‎ ‎19．在平面直角坐标系中，动点（其中）到定点的距离比到轴的距离大1.‎ ‎（1）求动点的轨迹的方程；‎ ‎（2）若直线与曲线相交于两点，点在直线上，垂直于轴，证明直线过坐标原点.‎ ‎20．已知直角梯形，如图（1）所示，，，，，连接，将沿折起，使得平面平面，得到几何体，如图（2）所示.‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）若，求二面角的大小.‎ ‎21．已知分别是海岸线上的三个集镇，位于的正南方向处，位于的北偏东60°方向处；‎ ‎（1）为了缓解集镇的交通压力，拟在海岸线上分别修建码头，开辟水上直达航线，使，.勘测时发现以为圆心，为半径的扇形区域为浅水区，不适宜船只航行，问此航线是否影响船只航行？‎ ‎（2）为了发展经济需要，政府计划填海造陆，建造一个商业区（如图四边形所示），其中，，，求该商业区的面积的取值范围.‎ ‎22．已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上离心率，且经过点；‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）过椭圆的焦点作两条互相垂直的直线，分别交椭圆于和，求的最小值.‎ 数学（理科）试题（参考答案与评分标准）‎ 一、选择题 ‎1-5:ACDCB 6-10:CBCDB 11、12：AA 二、填空题 ‎13．6 14． 15． 16．‎ 三、解答题 ‎17．解：（1）设数列的公比，‎ 由，‎ 得，‎ ‎∴，‎ ‎∴‎ ‎（2）‎ ‎∴‎ ‎∴‎ 相减得 ‎∴‎ ‎18．解：（1）命题：实数满足，得实数满足 当时，命题：实数满足，‎ ‎∴或，‎ 由于为真命题，∴或 ‎（2）因为的必要不充分条件是，‎ ‎∴且 又∵∴‎ 当时，命题：实数满足或 ‎∴或∴‎ 当时，命题：实数满足或 ‎∴或∴‎ 综上所述：或 ‎19．解：（1）动点（其中）到轴的距离为，到轴的距离为 ‎∴，‎ 又，∴‎ 得轨迹的方程：‎ ‎（2）设，，由得 ‎∴，，①‎ 点在直线上，轴，∴‎ 又在抛物线上，∴‎ ‎∴斜率，的斜率，‎ 由①，∴直线过原点.‎ ‎20．‎ ‎（1）证明：如图（1），过作交于，得正方形，‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∴，‎ ‎∴‎ ‎∴‎ 如图（2），∵平面平面，且两面交线为，平面 ‎∴平面 ‎（2）解：取中点，连接，则平面 ‎∵分别为中点 ‎∴‎ ‎∴‎ 以为原点，所在的直线为轴、轴、轴，建立如图坐标系，‎ ‎，，，‎ ‎∵‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∴，‎ 设为平面的一个法向量，则 取，则 ‎∴‎ 又为平面的一个法向量 ‎∴‎ ‎∵二面角为锐角 ‎∴二面角为45°.‎ ‎21．解：（1）由已知，得，，‎ 由余弦定理，得 ‎∴‎ 设的边上的高为，则 ‎∴‎ ‎∴此航线会影响船只航线.‎ ‎（2）由已知，得 在中，∵，‎ 即 ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∵在单调递增，且 ‎，‎ ‎∴‎ ‎22．解：（1）依题意，设椭圆方程为，则 由，得，‎ 将点代入得，‎ ‎∴椭圆的方程为.‎ ‎（2）得椭圆的上焦点，‎ 当弦垂直或平行轴时，‎ 当弦不垂直或平行轴时，‎ 设方程，则方程，‎ 设，，由得 ‎∴，，①‎ 同理，‎ 得 ‎∴‎ ‎∴，‎ 当且仅当时取等号，∴最小值.‎