2020届高考文科数学大二轮复习冲刺创新专题题型1选填题练熟练稳少丢分第14讲圆锥曲线练习

申明敬告: 本站不保证该用户上传的文档完整性,不预览、不比对内容而直接下载产生的反悔问题本站不予受理。

文档介绍

2020届高考文科数学大二轮复习冲刺创新专题题型1选填题练熟练稳少丢分第14讲圆锥曲线练习

第14讲 圆锥曲线 ‎[考情分析] 圆锥曲线是高考的重点和热点,选择、填空题主要以考查圆锥曲线定义、标准方程和几何性质(特别是离心率)为主,属于中偏上难度.‎ 热点题型分析 热点1 圆锥曲线的定义及标准方程 ‎1.圆锥曲线的定义 ‎(1)椭圆:|PF1|+|PF2|=2a(2a>|F1F2|);‎ ‎(2)双曲线:||PF1|-|PF2||=2a(2a<|F1F2|);‎ ‎(3)抛物线:|PF|=|PM|,点F不在直线l上,PM⊥l于M.‎ ‎2.圆锥曲线的标准方程 ‎(1)椭圆的标准方程:+=1,其中a>b>0;‎ ‎(2)双曲线的标准方程:-=1,其中a>0,b>0;‎ ‎(3)抛物线的标准方程:x2=±2py,y2=±2px,其中p>0.‎ ‎1.(2019·广州测试)已知双曲线C:-=1(a>0)的一条渐近线方程为2x+3y=0,F1,F2分别是双曲线C的左、右焦点,点P在双曲线上,且|PF1|=7,则|PF2|=(  )‎ A.1 B.13 C.4或10 D.1或13‎ 答案 D 解析 由一条渐近线方程为2x+3y=0和b=2可得a=3,|F1F2|=2=2,由点P在双曲线C上,则||PF1|-|PF2||=6,可得|PF2|=1或13,根据|PF1|=7,|PF2|=1,|F1F2|=2或|PF1|=7,|PF2|=13,|F1F2|=2均能满足三角形成立的条件.故选D.‎ ‎2.椭圆+=1的离心率为,则k的值为(  )‎ A.-21 B.21‎ C.-或21 D.或21‎ 答案 C 解析 若a2=9,b2=4+k,则c=,由=,即=,得k=-;若a2=4+k,b2‎ - 18 -‎ ‎=9,则c=,由=,即=,解得k=21.故选C.‎ ‎1.运用双曲线定义时,容易忽略距离差的“绝对值”这一条件.如第1题,忽略此条件可能因为|PF1|=7,2a=6,而直接根据|PF1|-|PF2|=2a,得出|PF2|=1,错选A.因此对于各圆锥曲线的定义,要熟练掌握,特别是双曲线的定义,不要忽略距离差的“绝对值”这一重要信息;除此之外,对于椭圆定义中|PF1|+|PF2|>|F1F2|、双曲线定义中||PF1|-|PF2||<|F1F2|,满足这样点的轨迹才能是椭圆和双曲线也是非常重要的信息点,这也是第1题后续需要验证的原因.‎ ‎2.求标准方程时不考虑焦点位置,如第2题,不考虑焦点在y轴上的情况,而导致漏解.因此求圆锥曲线方程时,当焦点位置不明时要注意根据焦点位置进行分类讨论.‎ 热点2 圆锥曲线的几何性质 ‎1.椭圆、双曲线中,a,b,c三者之间的关系 ‎(1)椭圆:a2=b2+c2,离心率e==∈(0,1);‎ ‎(2)双曲线:c2=a2+b2,离心率为e==∈(1,+∞).‎ ‎2.确定离心率的值或范围时,充分利用椭圆和双曲线的几何性质或者点坐标等,建立一个关于a,b,c的方程(组)或不等式(组),再根据a,b,c的关系消掉b得到关于a,c的关系式.‎ ‎3.双曲线-=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±x,双曲线 -=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±x;同时注意渐近线斜率与离心率e的关系.‎ ‎1.设椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,P是C上的点,PF2⊥F1F2,∠PF1F2=30°,则C的离心率为(  )‎ A. B. C. D. 答案 D 解析 解法一:如图,‎ - 18 -‎ 在Rt△PF2F1中,‎ ‎∠PF1F2=30°,|F1F2|=2c,‎ ‎∴|PF1|==,‎ ‎|PF2|=2c·tan30°=.‎ ‎∵|PF1|+|PF2|=2a,即+=2a,可得c=a.∴e==.故选D.‎ 解法二:(特殊值法)‎ 在Rt△PF2F1中,令|PF2|=1,‎ ‎∵∠PF1F2=30°,∴|PF1|=2,|F1F2|=.‎ ‎∴e====.故选D.‎ ‎2.(2017·全国卷Ⅰ)已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的右顶点为A,以A为圆心,b为半径作圆A,圆A与双曲线C的一条渐近线交于M,N两点.若∠MAN=60°,则C的离心率为________.‎ 答案  解析 如图,取MN中点P,连接AP,则AP⊥MN,所以∠MAP=30°.因为A(a,0),M,N为y=x上的点,则|AP|==.‎ - 18 -‎ 在Rt△PAM中,cos∠PAM=,则==,所以e==.‎ ‎3.(2019·全国卷Ⅰ)已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过F1的直线与C的两条渐近线分别交于A,B两点.若=,·=0,则C的离心率为________.‎ 答案 2‎ 解析 解法一:由=,‎ 得A为F1B的中点.‎ 又O为F1F2的中点,‎ ‎∴OA∥BF2.‎ 又·=0,‎ ‎∴∠F1BF2=90°.‎ ‎∴OF2=OB,‎ ‎∴∠OBF2=∠OF2B.‎ 又∠F1OA=∠BOF2,∠F1OA=∠OF2B,‎ ‎∴∠BOF2=∠OF2B=∠OBF2,‎ ‎∴△OBF2为等边三角形.‎ 如图1所示,不妨设B为.‎ ‎∵点B在直线y=-x上,∴=,‎ ‎∴离心率e==2.‎ - 18 -‎ 解法二:∵·=0,‎ ‎∴∠F1BF2=90°.在Rt△F1BF2中,O为F1F2的中点,∴|OF2|=|OB|=c.如图2,作BH⊥x轴于H,由l1为双曲线的渐近线,可得=,且|BH|2+|OH|2=|OB|2=c2,∴|BH|=b,|OH|=a,‎ ‎∴B(a,-b),F2(c,0).‎ 又=,∴A为F1B的中点.‎ ‎∴OA∥F2B,∴∠F1OA=∠F1F2B,‎ 又∠F1OA=∠BOF2,∴∠BOF2=∠F1F2B,‎ ‎∴=,∴c=2a,∴离心率e==2.‎ ‎1.双曲线的渐近线方程是y=±x,还是y=±x,是最容易混淆出错的点.如第2题,如果将MN所在渐近线错写为y=x,则|AP|=.再根据cos∠PAM=得到关于e的方程3e4-3e2-4=0,从而形成错解.因此双曲线渐近线可以根据双曲线方程进行推导,即对于双曲线-=1,令-=0,则=,=±,即y=±x,而不要死记硬背.‎ ‎2.解决有关几何性质问题时,既可以使用曲线方程与点坐标有关的代数运算,也可以选择利用平面图形的几何性质求解.二者比较起来,代数运算的计算量较大,出错率较高.因此求解此类问题时,要根据题目给出的已知条件,准确画出平面图形,并充分挖掘图形中隐含的几何性质,从而简化计算过程.‎ ‎3.求解离心率的值或范围的问题时,要注意不同圆锥曲线的离心率范围不同.‎ 热点3 交汇题型 - 18 -‎ 解析几何与其他知识相结合,各种题型均有可能出现,要求较高,其中最常见的是与平面向量和不等式结合考查.解决此类问题,关键在于能“透过现象看本质”,从而选择相应方法求解.‎ 交汇点一 与不等式交汇 典例1 (2017·全国卷Ⅰ)已知F为抛物线C:y2=4x的焦点,过F作两条互相垂直的直线l1,l2,直线l1与C交于A,B两点,直线l2与C交于D,E两点,则|AB|+|DE|的最小值为(  )‎ A.16  B.14   C.12   D.10‎ 解析 因为F为y2=4x的焦点,所以F(1,0).‎ 由题意直线l1,l2的斜率均存在,且不为0,设l1的斜率为k,则l2的斜率为-,故直线l1,l2的方程分别为 y=k(x-1),y=-(x-1).‎ 由得k2x2-(2k2+4)x+k2=0.‎ 设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=,x1x2=1,‎ 所以|AB|= ·|x1-x2|‎ ‎= · ‎= ·=.‎ 同理可得|DE|=4(1+k2).‎ 所以|AB|+|DE|=+4(1+k2)=4=8+4 - 18 -‎ ‎≥8+4×2=16,‎ 当且仅当k2=,即k=±1时,取得等号.故选A.‎ 答案 A 解析几何与不等式交汇,主要体现在运用不等式的相关知识,解析或证明几何图形的某些特征.交汇点集中在利用不等式的解法求参数范围,或构造函数利用均值不等式求最值等问题上.‎ ‎(2019·江西南昌一模)抛物线y2=8x的焦点为F,设A(x1,y1),B(x2,y2)是抛物线上的两个动点,若x1+x2+4=|AB|,则∠AFB的最大值为(  )‎ A. B. C. D. 答案 D 解析 因为x1+x2+4=|AB|,|AF|+|BF|=x1+x2+4,所以|AF|+|BF|=|AB|,在△AFB中,由余弦定理得:‎ cos∠AFB= ‎= ‎=-1=-1,‎ 又|AF|+|BF|=|AB|≥2,‎ 所以|AF|·|BF|≤|AB|2,‎ 则cos∠AFB=-1‎ ‎≥-1=-,‎ 所以∠AFB的最大值为,故选D.‎ - 18 -‎ 交汇点二 与向量交汇 典例2 (2019·吉林四平质检)经过椭圆+y2=1的一个焦点作倾斜角为45°的直线l,交椭圆于A,B两点.设O为坐标原点,则·等于(  )‎ A.-3 B.- C.-或-3 D.± 解析 依题意,当直线l经过椭圆的右焦点(1,0)时,其方程为y-0=tan45°(x-1),即y=x-1.代入椭圆方程+y2=1并整理得3x2-4x=0,解得x=0或x=.所以两个交点坐标为A(0,-1),B,所以·=(0,-1)·=-.同理,直线l经过椭圆的左焦点时,也可得·=-.故选B.‎ 答案 B 平面向量与解析几何的结合通常涉及到夹角、平行、垂直、共线、轨迹等问题的处理.解决此类问题基本思想:一是将几何问题坐标化、符号化、数量化,从而将推理转化为运算;二是考虑向量运算的几何意义,利用其几何意义解决有关问题.‎ 设F1,F2分别是椭圆+y2=1的左、右焦点,若椭圆上存在一点P,使(+2)·2=0(O为坐标原点),则△F1PF2的面积是(  )‎ A.4 B.3 C.2 D.1‎ 答案 D 解析 ∵(+2)·2=(+)·2=·2=0,‎ ‎∴PF1⊥PF2,∠F1PF2=90°.‎ 设|PF1|=m,|PF2|=n,则m+n=4,m2+n2=12,‎ ‎∴2mn=4,mn=2,∴S△F1PF2=mn=1.‎ 真题自检感悟 ‎  ‎ ‎1.(2019·全国卷Ⅰ)已知椭圆C的焦点为F1(-1,0),F2(1,0),过F2的直线与C交于 - 18 -‎ A,B两点.若|AF2|=2|F2B|,|AB|=|BF1|,则C的方程为(  )‎ A.+y2=1 B.+=1‎ C.+=1 D.+=1‎ 答案 B 解析 设椭圆的标准方程为+=1(a>b>0).由椭圆的定义可得|AF1|+|AB|+|BF1|=4a.‎ ‎∵|AB|=|BF1|,|AF2|=2|F2B|,‎ ‎∴|AB|=|BF1|=|AF2|,∴|AF1|+3|AF2|=4a.又|AF1|+|AF2|=2a,∴|AF1|=|AF2|=a,‎ ‎∴点A是椭圆的短轴端点,如图.不妨设A(0,-b),由F2(1,0),=2,得B.由点B在椭圆上,得+=1,得a2=3,b2=a2-c2=2.‎ ‎∴椭圆C的方程为+=1.故选B.‎ ‎2.(2019·全国卷Ⅰ)双曲线C:-=1(a>0,b>0)的一条渐近线的倾斜角为130°,则C的离心率为(  )‎ A.2sin40° B.2cos40° C. D. 答案 D 解析 由题意可得-=tan130°,所以e= ‎== ==.故选D.‎ ‎3.(2019·全国卷Ⅱ)设F为双曲线C:-=1(a>0,b>0)的右焦点,O为坐标原点,以OF为直径的圆与圆x2+y2=a2交于P,Q两点.若|PQ|=|OF|,则C的离心率为(  )‎ - 18 -‎ A. B. C.2 D. 答案 A 解析 设双曲线C:-=1(a>0,b>0)的右焦点F的坐标为(c,0).由圆的对称性及条件|PQ|=|OF|可知,PQ是以OF为直径的圆的直径,且PQ⊥OF.设垂足为M,连接OP,如图,则|OP|=a,|OM|=|MP|=.由|OM|2+|MP|2=|OP|2得2+2=a2,故=,即e=.故选A.‎ ‎4.(2018·全国卷Ⅱ)已知F1,F2是椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点,A是C的左顶点,点P在过A且斜率为的直线上,△PF1F2为等腰三角形,∠F1F2P=120°,则C的离心率为(  )‎ A. B. C. D. 答案 D 解析 依题意易知|PF2|=|F1F2|=2c,且P在第一象限内,由∠F1F2P=120°可得P点的坐标为(2c,c).‎ 又因为kAP=,即=,所以a=4c,e=,故选D.‎ 专题作业  ‎ 一、选择题 ‎1.(2017·全国卷Ⅲ)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右顶点分别为A1,A2,且以线段A1A2为直径的圆与直线bx-ay+2ab=0相切,则C的离心率为(  )‎ A. B. C. D. 答案 A 解析 由题意知以A1A2为直径的圆的圆心为(0,0),半径为a.又直线bx-ay+2ab - 18 -‎ ‎=0与圆相切,‎ ‎∴圆心到直线的距离d==a,解得a=b,‎ ‎∴=,∴e=== ‎= =.故选A.‎ ‎2.(2019·全国卷Ⅲ)双曲线C:-=1的右焦点为F,点P在C的一条渐近线上,O为坐标原点,若|PO|=|PF|,则△PFO的面积为(  )‎ A. B. C.2 D.3 答案 A 解析 双曲线-=1的右焦点坐标为(,0),一条渐近线的方程为y=x,不妨设点P在第一象限,由于|PO|=|PF|,则点P的横坐标为,纵坐标为×=,即△PFO的底边长为,高为,所以它的面积为××=.故选A.‎ ‎3.(2017·全国卷Ⅲ)已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程为y=x,且与椭圆+=1有公共焦点,则C的方程为(  )‎ A.-=1 B.-=1‎ C.-=1 D.-=1‎ 答案 B 解析 由题意可得=,c=3,又a2+b2=c2,解得a2=4,b2=5,则C的方程为-=1,故选B.‎ ‎4.(2017·全国卷Ⅱ)若双曲线C:-=1(a>0,b>0)的一条渐近线被圆(x-2)2+y2=4所截得的弦长为2,则C的离心率为(  )‎ A.2 B. C. D. 答案 A 解析 设双曲线的一条渐近线方程为y=x,‎ - 18 -‎ 因为圆的圆心为(2,0),半径为2,‎ 由弦长为2得出圆心到渐近线的距离为=.‎ 根据点到直线的距离公式得=,‎ 解得b2=3a2.‎ 所以C的离心率e== = =2.‎ ‎5.(2019·长沙市高三一模)A是抛物线y2=2px(p>0)上一点,F是抛物线的焦点,O为坐标原点,当|AF|=4时,∠OFA=120°,则抛物线的准线方程是(  )‎ A.x=-1 B.y=-1‎ C.x=-2 D.y=-2‎ 答案 A 解析 如图,过A作AB⊥x轴,AC垂直于准线,因为∠OFA=120°,|AF|=4,所以∠AFB=60°,|BF|=2,根据抛物线定义知|AC|=4且|AC|=|BF|+p,所以p+2=4即p=2.即抛物线的准线方程为x=-1,故选A.‎ ‎6.(2019·河北武邑中学调研)已知直线l:y=k(x+2)(k>0)与抛物线C:y2=8x相交于A,B两点,F为C的焦点,若|FA|=2|FB|,则k等于(  )‎ A. B. C. D. 答案 D 解析 由消去y得 k2x2+(4k2-8)x+4k2=0,‎ ‎∵Δ=(4k2-8)2-16k4>0,又k>0,解得00,x2>0,‎ 由②③解得x1=4,x2=1,代入①得k2=,‎ ‎∵00,b>0)的渐近线方程为y=±x,则E的离心率为(  )‎ A.2 B. C.2 D.2 答案 C 解析 由题意,双曲线-=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±x,即=,所以双曲线的离心率为e====2,故选C.‎ ‎8.(2019·河北衡水中学模拟)已知双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过F1作圆x2+y2=a2的切线,交双曲线右支于点M,若∠F1MF2=45°,则双曲线的渐近线方程为(  )‎ A.y=±x B.y=±x C.y=±x D.y=±2x 答案 A 解析 如图,作OA⊥F1M于点A,F2B⊥F1M于点B.‎ 因为F1M与圆x2+y2=a2相切,∠F1MF2=45°,‎ 所以|OA|=a,|F2B|=|BM|=2a,|F2M|=2a,|F1B|=2b.‎ - 18 -‎ 又点M在双曲线上,‎ 所以|F1M|-|F2M|=2a+2b-2a=2a.‎ 整理,得b=a.所以=.‎ 所以双曲线的渐近线方程为y=±x.故选A.‎ ‎9.(2019·华南师大附中一模)已知双曲线E:-=1(a>0,b>0),点F为E的左焦点,点P为E上位于第一象限内的点,P关于原点的对称点为Q,且满足|PF|=3|FQ|,若|OP|=b,则E的离心率为(  )‎ A. B. C.2 D. 答案 B 解析 设双曲线的另一个焦点为F1,连接F1P,F1Q,因为P关于原点的对称点为Q,所以F1PFQ是平行四边形,所以|PF1|=|FQ|.根据双曲线定义知|PF|-|PF1|=2a,又|PF|=3|FQ|=3|PF1|,所以|PF1|=a,|OP|=b,|OF1|=c,因为c2=a2+b2,所以∠OPF1=90°.又因为|PQ|=2b,|QF1|=3a,|PF1|=a,所以(3a)2=a2+(2b)2,整理得b2=2a2即c2=3a2,所以e==,故选B.‎ ‎10.(2019·湖北八校二模)设F是抛物线x2=4y的焦点,A,B,C为该抛物线上三点,若++=0,则|FA|+|FB|+|FC|的值为(  )‎ A.3 B.6 C.9 D.12‎ 答案 B 解析 因为++=0,所以F为△ABC的重心,设A,B,C三点的纵坐标分别为y1,y2,y3,则=yF=1,所以y1+y2+y3=3.由抛物线定义可知|FA|=y1+1,|FB|=y2+1,|FC|=y3+1,所以|FA|+|FB|+|FC|=y1+y2+y3+3=6,故选B.‎ ‎11.(2019·郑州第三次质量预测)椭圆+=1的左焦点为F,直线x=m与椭圆相交于点M,N,当△FMN的周长最大时,△FMN的面积是(  )‎ A. B. C. D. 答案 C 解析 设椭圆的右焦点为F1,由椭圆定义知△FMN的周长为|MN|+|MF|+|NF|=|MN|+(2-|MF1|)+(2-|NF1|)=4+|MN|-|MF1|-|NF1|.因为|MF1|+|NF1|≥|MN|,所以|MN - 18 -‎ ‎|-|MF1|-|NF1|≤0,当MN过F1时取等号,即直线x=m过椭圆的右焦点时,△FMN的周长最大,此时|MN|=,|FF1|=2,所以S△FMN=××2=,故选C.‎ ‎12.(2019·汕头市一模)已知双曲线-=1(a>0,b>0)的右焦点为F(c,0),右顶点为A,过F作AF的垂线与双曲线交于B,C两点,过B,C分别作AC,AB的垂线,两垂线交于点D,若D到直线BC的距离小于a+c,则双曲线的渐近线斜率的取值范围是(  )‎ A.(-∞,-1)∪(1,+∞)‎ B.(-1,0)∪(0,1)‎ C.(-∞,-)∪(,+∞)‎ D.(-,0)∪(0,)‎ 答案 B 解析 如图,因为AB⊥BD且BF⊥AD,所以|BF|2=|AF|·|DF|.因为A(a,0),F(c,0),所以B,则|DF|==.又因为D到直线BC的距离即为|DF|,所以0),‎ 即x2-=1(x>0),‎ 故P为双曲线x2-=1右支上一点,‎ - 18 -‎ 且A,B分别为该双曲线的左、右焦点,‎ 则|PA|-|PB|=2a=2,|PA|=2+2=4.‎ ‎14.(2017·全国卷Ⅱ)已知F是抛物线C:y2=8x的焦点,M是C上一点,FM的延长线交y轴于点N.若M为FN的中点,则|FN|=________.‎ 答案 6‎ 解析 如图,不妨设点M位于第一象限内,抛物线C的准线交x轴于点A,‎ 过点M作准线的垂线,垂足为点B,交y轴于点P,∴PM∥OF.‎ 由题意知,F(2,0),|FO|=|AO|=2.‎ ‎∵点M为FN的中点,PM∥OF,‎ ‎∴|MP|=|FO|=1.‎ 又|BP|=|AO|=2,‎ ‎∴|MB|=|MP|+|BP|=3.‎ 由抛物线的定义知|MF|=|MB|=3,‎ 故|FN|=2|MF|=6.‎ ‎15.(2019·四省联考诊断)在平面上给定相异两点A,B,设P点在同一平面上且满足=λ,当λ>0且λ≠1时,P点的轨迹是一个圆,这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现,故我们称这个圆为阿波罗尼斯圆,现有椭圆+=1(a>b>0),A,B为椭圆的长轴端点,C,D为椭圆的短轴端点,动点P满足=2,△PAB的面积的最大值为,△PCD的面积的最小值为,则椭圆的离心率为________.‎ - 18 -‎ 答案  解析 依题意A(-a,0),B(a,0),设P(x,y),‎ 依题意得|PA|=2|PB|,‎ 即=2,‎ 两边平方化简得2+y2=2,‎ 故椭圆的圆心为,半径r=.‎ 所以△PAB的最大面积为·2a·a=,解得a=2,又因△PCD的最小面积为·2b·=b·=,解得b=1.‎ 故椭圆的离心率为e===.‎ ‎16.(2019·广东六校联考)已知直线l:y=kx+t与圆C1:x2+(y+1)2=2相交于A,B两点,且△C1AB的面积取得最大值,又直线l与抛物线C2:x2=2y相交于不同的两点M,N,则实数t的取值范围是________.‎ 答案 (-∞,-4)∪(0,+∞)‎ 解析 根据题意得到△C1AB的面积为r2sinθ,当角度为直角时面积最大,此时△C1AB为等腰直角三角形,则圆心到直线的距离为d=1,根据点到直线的距离公式得到=1⇒1+k2=(1+t)2⇒k2=t2+2t,直线l与抛物线C2:x2=2y相交于不同的两点M,N,联立直 线和抛物线方程得到x2-2kx-2t=0,只需要此方程有两个不等根即可,所以Δ=4k2+8t=4t2+16t>0,解得t的取值范围为(-∞,-4)∪(0,+∞).‎ - 18 -‎ - 18 -‎
查看更多

相关文章

您可能关注的文档