湖南省长沙市宁乡县第一高级中学2019-2020学年高一上学期期中考试数学试题
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宁乡一中高一年级11月份阶段性考试数学试题
一、单选题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
1.已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
利用交集的定义直接求出交集．
详解】∵A＝{x|x＞1}，B＝{x|﹣1＜x＜2}
∴A∩B＝{x|1＜x＜2}
故选：D．
【点睛】本题考查利用集合的交集、补集、并集的定义，求出集合的交集、并集、补集．
2.下列函数是偶函数的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
结合选项，逐项检验是否满足f（﹣x）＝f（x），即可判断．
【详解】A：令，
则有
由于，即
则，所以为偶函数；
同理D：令，
则,为奇函数
B：，只有一条对称轴：x=﹣2，故不是偶函数；
C：，则有，不是偶函数．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性的判断，解题的关键是熟练掌握基本定义，属于基础题．
3.函数的零点所在的大致区间是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】∵f(1)＝ln2－2<0，f(2)＝ln3－>0，∴函数f（x）的零点大致区间为(1,2)，故选B
4.国内快递1 000 g以内的包裹的邮资标准如表：
运送距离x(km)
0
1，且n∈N*)，故①不正确．
②a2－a＋1＝(a－)2＋>0，所以(a2－a＋1)0＝1成立．
③无法化简．④<0，>0，故不相等．因此选B．
6.若函数的零点与的零点之差的绝对值不超过0.25， 则可以是( )
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
试题分析：因为函数g(x)＝4x＋2x－2在R上连续，且，，设函数的g(x)＝4x＋2x－2的零点为，根据零点存在性定理，有，则，所以，又因为f (x)＝4x－1的零点为，函数f (x)＝(x－1)2的零点为x=1，f (x)＝ex－1的零点为，f (x)＝ln(x－0．5)的零点为，符合为，所以选A．
考点： 零点的概念，零点存在性定理．
7.，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
利用指数、对数函数的单调性即可得出．
【详解】∵，，
则．
故选：D．
【点睛】本题考查了指对数函数单调性的应用，解决此类问题通常用取临界值的方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
8.若一次函数的图像经过第二、三、四象限，则二次函数的图像只可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
直接利用一次函数图像经过的象限得出a，b的符号，进而结合二次函数图像的性质得出答案.
【详解】由一次函数的图像经过第二、三、四象限，得到，
∴二次函数的图像：开口向下，对称轴在y轴左侧，
故选：C.
【点睛】本题考查了一次函数、二次函数图像的特点，正确确定a，b的符号是解题的关键.
9.中国古代名词“刍童”原来是草堆的意思，关于“刍童”体积计算的描述，《九章算术》注曰：“倍上袤，下袤从之，亦倍下袤，上袤从之，各以其广乘之，并，以高乘之，皆六而一．”其计算方法是：将上底面的长乘二，与下底面的长相加，再与上底面的宽相乘，将下底面的长乘二，与上底面的长相加，再与下底面的宽相乘；把这两个数值相加，与高相乘，再取其六分之一.已知一个“刍童”的下底面是周长为18的矩形，上底面矩形的长为3，宽为2，“刍童”的高为3，则该“刍童”的体积的最大值为
A. B. C. 39 D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据定义列“刍童”的体积函数关系式，再根据二次函数性质求最值.
【详解】设下底面的长宽分别为，有
则“刍童”的体积为,
当时，“刍童”的体积取最大值，选D.
【点睛】研究二次函数最值问题,一般通过对称轴与定义区间位置关系,确定单调性,进而确定最值取法.
10.设函数，则使得成立的的取值范围是
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据题意，分析可得函数为偶函数且在上为增函数，进而可以将
转化为，解可得的取值范围，即可得答案．
【详解】根据题意，函数，
所以=f(-x),
则函数为偶函数，
由题得在上为增函数，所以函数在（-上为减函数.
因为，
所以，
解之得.
故选：．
【点睛】本题主要考查函数的奇偶性和单调性的判断与应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
11.已知函数其中.若存在实数，使得函数有三个零点，则实数的取值范围是
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
作出函数的图象，依题意函数与直线有三个不同的交点，可得
，解之即可．
【详解】当时，函数的图象如图：
时，
，
要使得关于的方程有三个不同的根，
必须，
即，
解得，
的取值范围是，
故选：．
【点睛】本题考查根的存在性及根的个数判断，数形结合思想的运用是关键，分析得到是难点，属于中档题．
12.已知函数，其中表示不超过的最大整数．设，定义函数：，，，，则下列说法正确的有（ ）个
①的定义域为；
②设，，则；
③；
④若集合，则中至少含有个元素．
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
【答案】C
【解析】
【分析】
根据函数的性质，逐项判断，即可得出结果.
【详解】①，当时，，所以；当时，成立，所以；当时，成立，所以；因此定义域为；
②；;
，因此;
③因为，即,因此
④由上可知为中元素，又 ，所以中至少含有个元素．综上共有3个正确说法，
选C.
【点睛】本题难点为分段、绝对值、取整三个要分类讨论的函数有机结合在一起.解题的关键就是按分类标准正确取值，按对应数值寻找周期变化规律.
二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）
13.已知，则 =______
【答案】
【解析】
方法一：，
∴，
即函数的解析式为。
方法二：令，则。
∴，
∴ ，即为所求的解析式。
答案：
点睛：已知，求的常用方法
（1）配凑法：由已知条件f(g(x))＝F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)表达式，然后以x替代g(x)，便可得f(x)的解析式；（2）换元法：令，然后用t表示x，进而可得，然后以x替代t，便可得f(x)的解析式。在以上两种解法中要注意根据g(x)或t的范围确定函数的定义域。
14.函数的定义域为__________．
【答案】
【解析】
分析：由对数式的真数大于0以及分式分母不为0，求解即可.
详解：由，得或.
故答案为：.
点睛：考查函数的定义域及其求法.
15.若函数，则函数的零点个数为______________．
【答案】4
【解析】
【详解】当时，，根据指数函数的性质可知，该函数单调递减且，故有两个解；
当时，，，
故当时，，函数单调递增，
当时，，函数单调递减；，故，故有两个解，综上可得函数的零点个数为4，故答案为.
点睛：本题考查分段函数的应用，函数的零点个数的求法，考查数形结合以及转化思想的应用，考查计算能力；利用分段函数，对，通过函数的零点与方程根的关系求解零点个数，当时，利用导数判断函数的单调性，利用数形结合思想求解函数的零点个数即可.
16.给出下列四个命题：
①若函数在区间上单调递增，则；
②若 （且），则的取值范围是；
③若函数，则对任意的，都有；
④若 （且），在区间上单调递减，则.
其中所有正确命题的序号是______________.
【答案】①③
【解析】
【分析】
对每一个命题逐一分析判断得解.
【详解】对于命题①, 函数在区间上单调递增，所以-m≤1，所以m≥-1.所以该命题是正确的；
对于命题②，，当a＞1时，显然成立，当0＜a＜1时，所以
，所以.所以a的取值范围为a＞1或.所以该命题是错误的；
对于命题③，函数，则对任意的，都有=，=，所以该命题是正确的；
对于命题④， （且），在区间上单调递减，所以，由于f(-x)=f(x),所以函数f(x)是偶函数，所以)=f(3),因为3＞a+2,所以，所以该命题是错误的.
故答案为：①③
【点睛】本题主要考查对数函数指数函数的图像和性质，考查二次函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
三、解答题（本大题共6小题，满分70分，解答题写出必要的文字说明、推演步骤.）
17.（1）-；
（2）lg-lg25+ln．
【答案】（1）3；（2）
【解析】
【分析】
（1）利用指数运算性质即可得出；
（2）利用对数运算性质即可得出．
【详解】（1）原式=+3-×=2+3-2=3．
（2）原式=+=-2+=．
【点睛】本题考查了指数与对数运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
18.已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}．
(1)当x∈Z时，求A的非空真子集的个数；
(2)当x∈R时，若A∩B＝∅，求实数m的取值范围．
【答案】（1）254；（2）或
【解析】
【分析】
(1)当x∈Z时，可得A中元素的个数，进而可得A的非空真子集的个数；
（2）根据B⊆A，可分B=∅，和B≠∅两种情况讨论，即可得出实数m的取值范围．
【详解】(1)当x∈Z时，A＝{x|－2≤x≤5}＝{－2，－1,0,1,2,3,4,5}，共8个元素，所以A的非空真子集的个数为28－2＝254.
(2)当B＝∅时，m＋1>2m－1，则m<2；
当B≠∅时，根据题意作出如图所示的数轴，
可得或解得m>4.
综上可得，实数m的取值范围是m<2或m>4.
【点睛】考查子集，真子集的概念，描述法表示集合，注意不要漏了B=∅的情况．
19.已知二次函数，且-1，3是函数的零点.
（1）求解析式，并解不等式；
（2）若，求函数的值域.
【答案】（1）,{x|x≤0或x≥2}（2）
【解析】
【分析】
（1）求出a，b的值，求出f（x）的解析式，求出不等式的解集即可；
（2）根据换元法令，结合二次函数的性质求出函数的值域即可．
【详解】（1）由题意得，∴，∴.
∴，即，∴{x|x≤0或x≥2}.
（2）令，在上递减，
∴，∴的值域为.
【点睛】本题考查了函数的单调性，最值问题，考查不等式的解法以及转化思想，是一道中档题．
20.已知函数.
（1）若对任意的，恒成立，求实数的取值范围；
（2）若的最小值为-2，求实数的值.
【答案】（1）（2）
【解析】
【分析】
（1）将原题进行转化，找到等价不等式，分离出参数k后转化为求函数的最值问题即可；
（2）利用换元法，得到等式y，分情况讨论求出f（x）的最小值，令其为﹣2即可求出k值．
【详解】（1）∵4x+2x+1＞0，∴f（x）＞0恒成立，等价于4x+k•2x+1＞0恒成立，
即k＞﹣2x﹣2﹣x恒成立，
∵﹣2x﹣2﹣x＝﹣（2x+2﹣x）≤﹣2，当且仅当2x＝2﹣x即x＝0时取等号，
∴k＞﹣2；
（2），
令，则，
当时，无最小值，舍去；
当时，最小值不是﹣2，舍去；
当时，，最小值为，
综上所述，.
【点睛】本题考查复合函数的单调性、函数的恒成立问题及函数的最值问题，考查转化思想，综合性较强．
21.定义在上的函数，如果满足：对任意，存在常数，都有成立，则称是上的有界函数，其中称为函数的上界.已知函数.
（1）当时，求函数在上的值域，并判断函数在上是否为有界函数，请说明理由；
（2）若是上的有界函数，且的上界为3，求实数的取值范围.
【答案】（1）值域为，函数在上不是有界函数,详见解析（2）
【解析】
【分析】
（1）利用函数的单调性得到函数的值域，从值域上观察不存在正数M，即函数在x∈（0，+∞）上不是有界函数．，
（2）根据函数f（x）在（﹣∞，0]上是以3为上界的函数，得到|1+2x+4x|≤3，换元以后得到关于t的不等式，根据二次函数的性质写出对称轴，求出a的范围．
【详解】（1）当时，，
因为在上递增，所以，
即在的值域为，故不存在常数，使成立，
所以函数在上不是有界函数.
（2）由已知函数f（x）在（﹣∞，0]上是以3为上界的函数，即：|1+a2x+4x|≤3
设t＝2x，所以t∈（0，1），不等式化为|1+at+t2|≤3
当0时，1且2+a≤3得﹣2
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