数学理卷·2018届广东省仲元中学高二下学期期中考试（2017-04）

数学理卷·2018届广东省仲元中学高二下学期期中考试（2017-04）

广东仲元中学2016学年第二学期期中考试 高二年级理科数学学科试卷 命题人： 审题人： ‎ 一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1．复数的实部是（ ）‎ ‎（A） （B） （C）3 （D）‎ ‎2. 函数，已知在时取得极值，则=（ ）‎ ‎（A）2 （B） 3 （C） 4 （D）5‎ ‎3．用反证法证明命题：“已知为实数，则方程至少有一个实根”时，要做的假设是 ‎（A）方程没有实根 （B）方程至多有一个实根 ‎（C）方程至多有两个实根（D）方程恰好有两个实根 ‎4. 函数的定义域为 ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎5.设D为△ABC所在平面内一点，则 ‎（A） (B) ‎ ‎（C） (D) ‎ ‎6．的展开式中的系数（ ）‎ ‎ （A）-56 （B）56 （C）-336 （D）336‎ ‎7．如下图,已知幂函数的图像过点,则图中阴影部分的面积等于（ ）‎ ‎ ‎ ‎（A） （B） （C） （D） ‎ ‎8.在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如右图所示，‎ 则相应的俯视图可以为 ‎9．已知双曲线：（）的离心率为，则的渐近线方程为( )‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎10.下列各式：则（ ） ‎ ‎（A）28 （B）76 （C）123 （D）199‎ ‎-2‎ ‎2‎ O ‎1‎ ‎-1‎ ‎-1‎ ‎1‎ ‎11．已知函数的图象如右图所示(其中是函数的导函数)，下面四个图象中的图象大致是（ ）‎ O ‎-2‎ ‎2‎ ‎1‎ ‎-1‎ ‎-2‎ ‎1‎ ‎2‎ O ‎-2‎ ‎-2‎ ‎2‎ ‎1‎ ‎-1‎ ‎1‎ ‎2‎ O ‎-2‎ ‎4‎ ‎1‎ ‎-1‎ ‎-2‎ ‎1‎ ‎2‎ O ‎-2‎ ‎2‎ ‎-1‎ ‎2‎ ‎4‎ ‎（A）‎ ‎（B）‎ ‎（C）‎ ‎（D）‎ ‎12．是定义在上单调递减的奇函数，当时，的取值范围是 （ ）‎ ‎ （A） （B） （C） （D）‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分 ‎13.如果曲线与在处的切线互相垂直，则= .‎ ‎14.把编号为1，2，3，4的四封电子邮件分别发送到编号为1，2，3，4的四个网址，则至多有一封邮件的编号与网址的编号相同的概率为 .‎ ‎15.已知正弦函数具有如下性质:‎ 若,则(其中当时等号成立).根据上述结论可知,在中,的最大值为__ __.‎ ‎16. 下列几个命题：‎ ①方程有一个正实根，一个负实根，则；‎ ② 和表示相同函数;‎ ③ 函数是非奇非偶函数;‎ ‎④方程有两解，则 其中正确的有___________________.‎ 三、解答题（6题，共70分，要求写出解答过程或者推理步骤）‎ ‎17.（本题满分1 0分）已知函数的图象在 轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为和.‎ ‎（1）求函数的解析式；‎ ‎（2）求的值 ‎18.（本题满分1 2分）2015年8月12日天津发生危化品重大爆炸事故，造成重大人员和经济损失.某港口组织消防人员对该港口的公司的集装箱进行安全抽检，已知消防安全等级共分为四个等级（一级为优，二级为良，三级为中等，四级为差），该港口消防安全等级的统计结果如下表所示：‎ 等 级 一级 二级 三级 四级 频 率 ‎0.30‎ ‎0.10‎ 现从该港口随机抽取了家公司，其中消防安全等级为三级的恰有20家.‎ ‎（Ⅰ）求的值；‎ ‎（Ⅱ）按消防安全等级利用分层抽样的方法从这家公司中抽取10家，除去消防安全等级为一级和四级的公司后，再从剩余公司中任意抽取2家，求抽取的这2家公司的消防安全等级都是二级的概率.‎ ‎19.（本题满分12分）‎ 设等差数列的公差为d，前项和为，等比数列的公比为．已知，，，．‎ ‎（Ⅰ）求数列，的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）当时，记，求数列的前项和．‎ ‎20. （本题满分1 2分）如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，侧面底面，，， 分别为的中点，点在线段上． （Ⅰ）求证：平面； （Ⅱ）如果直线与平面所成的角和直线与平面所成的角相等，求的值．‎ ‎21. （本题满分1 2分）已知椭圆：（）的焦距为，且经过点．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）、是椭圆上两点，线段的垂直平分线经过，求面积的最大值（为坐标原点）．‎ ‎22. （本题满分1 2分）已知函数.‎ ‎(Ⅰ)当时，求函数的图象在点(1，)处的切线方程；‎ ‎(Ⅱ)讨论函数的单调区间；‎ ‎(Ⅲ)已知，对于函数图象上任意不同的两点，其中，直线的斜率为，记，若求证 ‎ 广东仲元中学2016学年第二学期期中考试高二年级理科数学学科试卷(答案)‎ 一、 选择：‎ ‎1-5：B、D、A、C、A 6-:10：A、B、D、C 、C 11-12：C、D.‎ 二、填空：‎ ‎13. 14. 15． 16．___①④____．‎ 三、解答：‎ ‎17. 解：由题意可得， …………………………1分 ‎ ， …………………………3分 ‎ ∴ …………………………4分 ‎ 由得， …………………………5分 ‎ ∴. …………………………6分 ‎（2）解： ∵ 点是函数在轴右侧的第一个最高点,‎ ‎ ∴ . …………………………7分 ‎ ∴ . …………………………8分 ‎ ∴ ‎ ‎ …………………………9分 ‎ ‎ ‎ . …………………………10分 ‎ ‎ ‎18解： (Ⅰ)由已知可得;0.30+2m+m+0.10=1,解得：m=0.20. ……………………２分 所以. ……………………4分 ‎（Ⅱ）由(Ⅰ)知，利用分层抽样的方法从中抽取10家公司，则消防安全等级为一级的有3家，二级的有4家，三级的有2家，四级的有1家. ……………………６分 记消防安全等级为二级的4家公司分别为A,B,C,D,三级的2家公司分别记为,，则从中抽取2家公司，不同的结果为（Ａ，B）（Ａ，C）（Ａ，D）（B，C）（B，D）（C，D）（Ａ，）（Ａ，）（B，）（B，）（C，）（C，）（D，）（D，）（，）…共15种，………８分 记“抽取的2家公司的消防安全等级都是二级”为事件M，则事件M包含的结果有：（Ａ，B）（Ａ，C）（Ａ，D）（B，C）（B，D）（C，D）…共6种，……………………１０分 所以. ……………………12分 ‎19.‎ 解：(1)由题意有，‎ 即 ……………………2分 解得或 ……………………4分 故或……………………6分 ‎(2)由d>1，知an＝2n－1，bn＝2n－1，故cn＝，于是Tn＝1＋＋＋＋＋…＋，　①……………………8分 Tn＝＋＋＋＋＋…＋.　②……………………10分 ‎①－②可得 Tn＝2＋＋＋…＋－＝3－，‎ 故Tn＝6－.……………………12分 ‎20. （Ⅰ）证明：在平行四边形中，因为，，‎ ‎ 所以．由分别为的中点，得， ‎ ‎ 所以． …………2分 ‎ 因为侧面底面，且，所以底面． ‎ 又因为底面，所以． …………4分 ‎ ‎ 又因为，平面，平面， ‎ ‎ 所以平面． ………………6分 ‎ ‎（Ⅱ）解：因为底面，，所以两两垂直，以分别为、、，建立空间直角坐标系，‎ 则， ‎ ‎ 所以，，，设，‎ 则，‎ 所以， ，易得平面的法向 量． ‎ ‎ 设平面的法向量为，由，，得 ‎ 令， 得． ‎ 因为直线与平面所成的角和此直线与平面所成的角相等，‎ ‎ 所以，即，‎ 所以 ，‎ ‎ 解得，或（舍）． 综上所得：……12分 ‎21. 解：（Ⅰ）依题意，，椭圆的焦点为，……1分 ‎……3分 所以，椭圆的方程为……4分 ‎（Ⅱ）根据椭圆的对称性，直线与轴不垂直，设直线：……5分 由得，……6分 设，，则，……7分 ‎，到直线的距离，的面积……8分 依题意，，，‎ ‎……9分 ‎，，代入整理得，……10分 若，则，等号当且仅当时成立……11分 若，则，，等号当且仅当，‎ 时成立。‎ 综上所述，面积的最大值为……12分 ‎22. 解:(Ⅰ)当时,‎ ‎1分 又2分 函数的图象在点(1，)处的切线方程为:,‎ 即3分 ‎(Ⅱ)的定义域为 ‎4分 当时，在上恒成立，在定义域内单调递增； 5分 当时，令解得，‎ 则时，，单调递增；‎ 时，，单调递减；6分 综上，时，的单调递增区间为； ‎ 时，的单调递增区间为， ‎ 的单调递增区间为 …….7分 ‎（Ⅲ）证明：‎ ‎ ‎ ‎，‎ 又， …….8分 要证：，只需证 …….9分 即证：，设 令则 …….10分 令 对称轴. …….11分 ‎ ‎，故在内单调递减，则；‎ 故. …….12分