2017-2018学年四川省棠湖中学高二零诊模拟数学（文）试题（解析版）

2017-2018学年四川省棠湖中学高二零诊模拟数学（文）试题（解析版）

‎2017-2018学年四川省棠湖中学高二零诊模拟数学（文）试题 一、单选题 ‎1．‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】分析：根据复数除法法则化简复数，即得结果.‎ 详解：选D.‎ 点睛：本题考查复数除法法则，考查学生基本运算能力.‎ ‎2．已知集合，B={–2，0，1，2}，则AB=‎ A. {0，1} B. {0，1，2} C. {1，2} D. {–2，0，1，2}‎ ‎【答案】B ‎【解析】分析：化简集合A，求出A、B的交集即可．‎ 详解：A={x|x2﹣2x≤0}={x|0≤x≤2}，B={﹣2，0，1，2}，‎ 则A∩B={0，1，2}，‎ 故选：B．‎ 点睛：本题考查了集合的交运算，考查一元二次不等式的解法，属于基础题．‎ ‎3．函数的图像大致为 A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】分析：判断f（x）的奇偶性，再根据f（x）的符号得出结论．‎ 详解：f（x）定义域为R，且f（﹣x）==﹣f（x），‎ ‎∴f（x）是奇函数，图象关于原点对称，排除A；‎ 又当x＞0时，＞1＞10﹣x，∴f（x）＞0，排除D，‎ 当x时，f（x），排除C，‎ 故选：B．‎ 点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：（1）从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；（2）从函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）从函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）从函数的特征点，排除不合要求的图象.‎ ‎4．已知向量，满足，，则 A. 10 B. 12 C. 14 D. 16‎ ‎【答案】C ‎【解析】分析：根据向量的数量积公式计算即可．‎ 详解：向量，满足||=2，=﹣6，则•（2）=2﹣=8+6=14，‎ 故选：C．‎ 点睛：平面向量数量积的类型及求法 ‎(1)求平面向量数量积有三种方法：一是夹角公式；二是坐标公式；三是利用数量积的几何意义.‎ ‎(2)求较复杂的平面向量数量积的运算时，可先利用平面向量数量积的运算律或相关公式进行化简.‎ ‎5．双曲线的离心率为，则其渐近线方程为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】分析：由双曲线的离心率为，求出a=b，由此能求出此曲线的渐近线方程．‎ 详解：∵双曲线的离心率为，‎ ‎∴=，‎ 解得a=b，‎ ‎∴该双曲线渐近线方程为y=±x．‎ 故选：B．‎ 点睛：本题考查双曲线渐近线方程的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意双曲线简单性质的合理运用．‎ ‎6．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】分析：先确定不超过30的素数，再确定两个不同的数的和等于30的取法，最后根据古典概型概率公式求概率.‎ 详解：不超过30的素数有2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，共10个，随机选取两个不同的数，共有种方法，因为，所以随机选取两个不同的数，其和等于30的有3种方法，故概率为，选C.‎ 点睛：古典概型中基本事件数的探求方法： (1)列举法. (2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法. (3)列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化. (4)排列组合法：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目.‎ ‎7．已知是定义域为的奇函数，满足．若，则（ ）‎ A. B. 0 C. 2 D. 50‎ ‎【答案】C ‎【解析】分析：根据函数奇偶性和对称性的关系求出函数的周期是4，结合函数的周期性和奇偶性进行转化求解即可．‎ 详解：∵f（x）是奇函数，且f（1﹣x）=f（1+x），‎ ‎∴f（1﹣x）=f（1+x）=﹣f（x﹣1），f（0）=0，‎ 则f（x+2）=﹣f（x），则f（x+4）=﹣f（x+2）=f（x），‎ 即函数f（x）是周期为4的周期函数，‎ ‎∵f（1）=2，‎ ‎∴f（2）=f（0）=0，f（3）=f（1﹣2）=f（﹣1）=﹣f（1）=﹣2，‎ f（4）=f（0）=0，‎ 则f（1）+f（2）+f（3）+f（4）=2+0﹣2+0=0，‎ 则 ‎=504[f（1）+f（2）+f（3）+f（4）]+f（2017）+f（2018）‎ ‎=f（1）+f（2）=2+0=2，‎ 故选：C．‎ 点睛：本题主要考查函数值的计算，根据函数奇偶性和对称性的关系求出函数的周期性是解决本题的关键．‎ ‎8．已知，是椭圆的左，右焦点，是的左顶点，点在过且斜率为的直线上，为等腰三角形，，则的离心率为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】分析：先根据条件得PF2=2c,再利用正弦定理得a,c关系，即得离心率.‎ 详解：因为为等腰三角形，，所以PF2=F1F2=2c,‎ 由斜率为得，，‎ 由正弦定理得,‎ 所以，选D.‎ 点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于的方程或不等式，再根据的关系消掉得到的关系式，而建立关于的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.‎ ‎9．设抛物线C：y2=4x的焦点为F，过点（–2，0）且斜率为的直线与C交于M，N两点，则=‎ A. 5 B. 6 C. 7 D. 8‎ ‎【答案】D ‎【解析】分析：首先根据题中的条件，利用点斜式写出直线的方程，涉及到直线与抛物线相交，联立方程组，消元化简，求得两点，再利用所给的抛物线的方程，写出其焦点坐标，之后应用向量坐标公式，求得，最后应用向量数量积坐标公式求得结果.‎ 详解：根据题意，过点（–2，0）且斜率为的直线方程为，‎ 与抛物线方程联立，消元整理得：，‎ 解得，又，‎ 所以，‎ 从而可以求得，故选D.‎ 点睛：该题考查的是有关直线与抛物线相交求有关交点坐标所满足的条件的问题，在求解的过程中，首先需要根据题意确定直线的方程，之后需要联立方程组，消元化简求解，从而确定出，之后借助于抛物线的方程求得，最后一步应用向量坐标公式求得向量的坐标，之后应用向量数量积坐标公式求得结果，也可以不求点M、N的坐标，应用韦达定理得到结果.‎ ‎10．设函数，若为奇函数，则曲线在点 处的切线方程为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】分析：由奇函数的定义，可得f（﹣x）=﹣f（x），可得a=0，f（x）=x3+x，求出导数，可得切线的斜率和切点，由斜截式方程可得切线的方程．‎ 详解：函数f（x）是奇函数，可得f（﹣x）=﹣f（x），‎ 即有﹣﹣ =﹣，‎ 可得a=1，即f（x）=，‎ 导数为f′（x）= +1，‎ 可得曲线y=f（x）在x=0处的切线斜率为k=3，切点为（0，0），‎ 即有曲线y=f（x）在x=0处的切线方程为y=3x．‎ 故选：D．‎ 点睛：与导数几何意义有关问题的常见类型及解题策略 ‎①已知切点求切线方程．解决此类问题的步骤为：①求出函数在点处的导数，即曲线在点处切线的斜率；②由点斜式求得切线方程为．‎ ‎②已知斜率求切点．已知斜率，求切点，即解方程.‎ ‎③求切线倾斜角的取值范围．先求导数的范围，即确定切线斜率的范围，然后利用正切函数的单调性解决．‎ ‎11．在四面体中，平面平面，则该四面体外接球的表面积为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】，‎ 为等边三角形 又平面平面 取中点，连接，则球心在上，‎ 有，解得 该四面体外接球的表面积为 故选 ‎12．已知函数有唯一零点，则a=‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】分析：通过转化可知问题等价于函数y=4x-的图象与y=a（）的图象只有一个交点求a的值．分a=0、a＜0、a＞0三种情况，结合函数的单调性分析可得结论．‎ 详解：‎ 因为f（x）=x2﹣4x+，‎ 所以函数f（x）有唯一零点等价于方程4x-=a（）有唯一解，‎ 等价于函数y=4x-的图象与y=a（）的图象只有一个交点．‎ 当a=0时，f（x）=4x- ，此时有两个零点，矛盾；‎ 当a＜0时，由于y=4x-在（﹣∞，2）上递增、在（2，+∞）上递减，‎ 且y=a（10x﹣1+10﹣x+1）在（﹣∞，2）上递增、在（2，+∞）上递减，‎ 所以函数y=4x-的图象的最高点为A（2，4），y=a（）的图象的最高点为B（2，2a），‎ 由于2a＜0＜4，此时函数y=4x-的图象与y=a（）的图象有两个交点，矛盾；‎ 当a＞0时，由于y=4x-在（﹣∞，2）上递增、在（2，+∞）上递减，‎ 且y=a（）在（﹣∞，2）上递减、在（2，+∞）上递增，‎ 所以函数y=4x-的图象的最高点为A（2，4），y=a（‎ ‎）的图象的最低点为B（2，2a），‎ 由题可知点A与点B重合时满足条件，即2a=4，即a=2，符合条件；‎ 故答案为：C.‎ 点睛：函数的零点或方程的根的问题，一般以含参数的三次式、分式、以e为底的指数式或对数式及三角函数式结构的函数零点或方程根的形式出现，一般有下列两种考查形式：‎ ‎(1)确定函数零点、图象交点及方程根的个数问题；‎ ‎(2)应用函数零点、图象交点及方程解的存在情况，求参数的值或取值范围问题．‎ 二、填空题 ‎13．若，满足约束条件，则的最小值为__________．‎ ‎【答案】. ‎ ‎【解析】分析：作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，求目标函数z=3x﹣4y的最小值 详解：由z=3x﹣4y，得y=x﹣，作出不等式对应的可行域（阴影部分），‎ 平移直线y=x﹣，由平移可知当直线y=x﹣，‎ 经过点B（1，1）时，直线y=x﹣的截距最大，此时z取得最小值，‎ 将B的坐标代入z=3x﹣4y=3﹣4=﹣1，‎ 即目标函数z=3x﹣4y的最小值为﹣1．‎ 故答案为：﹣1．‎ 点睛：‎ 本题考查的是线性规划问题，解决线性规划问题的实质是把代数问题几何化，即数形结合思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域;二，画目标函数所对应的直线时，要注意让其斜率与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错;三，一般情况下，目标函数的最大值或最小值会在可行域的端点或边界上取得.‎ ‎14．函数在点处的切线方程为__________．‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】分析：欲求在处的切线方程，只须求出其斜率的值即可，故先利用导数求出在处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决．‎ 详解：∵f（x）定义域为（0，+∞）‎ f（x）的导数为 ‎ ‎∵，‎ 又∵，‎ ‎∴函数y=f（x）在处的切线方程为：，‎ 即：.‎ 故答案为：.‎ 点睛：这个题目考查了利用导数求函数在某一点处的切线方程；步骤一般为：一，对函数求导，代入已知点得到在这一点处的斜率；二，求出这个点的横纵坐标；三，利用点斜式写出直线方程.‎ ‎15．已知圆柱的高为，它的两个底面的圆周在直径为4的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为______．‎ ‎【答案】4π.‎ ‎【解析】‎ 分析：根据题意画出图形，结合图形求出该圆柱底面圆半径r，再计算该圆柱的体积．‎ 详解：如图所示，‎ 圆柱的高为，它的两个底面的圆周在直径为4的同一个球的球面上，‎ ‎∴该圆柱底面圆周半径为r==，‎ ‎∴该圆柱的体积为：V=Sh=π••=4π．‎ 故答案为：4π．‎ 点睛：解决与球有关的内切或外接的问题时，解题的关键是确定球心的位置．对于外切的问题要注意球心到各个面的距离相等且都为球半径；对于球的内接几何体的问题，注意球心到各个顶点的距离相等，解题时要构造出由球心到截面圆的垂线段、小圆的半径和球半径组成的直角三角形，利用勾股定理求得球的半径 ．‎ ‎16．在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上．若= + ，则+的最大值为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分析：如图：以A为原点，以AB，AD所在的直线为x，y轴建立如图所示的坐标系，先求出圆的标准方程，再设点P的坐标为（cosθ+1，sinθ+2），根据=λ+μ，求出λ，μ，根据三角函数的性质即可求出最值．‎ 详解：如图：以A为原点，以AB，AD所在的直线为x，y轴建立如图所示的坐标系，‎ 则A（0，0），B（1，0），D（0，2），C（1，2），‎ ‎∵动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上，‎ 设圆的半径为r，‎ ‎∵BC=2，CD=1，‎ ‎∴BD==‎ ‎∴BC•CD=BD•r，‎ ‎∴r=，‎ ‎∴圆的方程为（x﹣1）2+（y﹣2）2=，‎ 设点P的坐标为（cosθ+1，sinθ+2），‎ ‎∵=λ+μ，‎ ‎∴（cosθ+1，sinθ+2）=λ（1，0）+μ（0，2）=（λ，2μ），‎ ‎∴cosθ+1=λ，sinθ+2=2μ，‎ ‎∴λ+μ=cosθ+sinθ+2=sin（θ+φ）+2，其中tanφ=2，‎ ‎∵﹣1≤sin（θ+φ）≤1，‎ ‎∴1≤λ+μ≤3，‎ 故λ+μ的最大值为3，‎ 故答案为：3．‎ 点睛：本题考查了向量的坐标运算以及圆的方程和三角函数的性质，关键是设点P的坐标，考查了学生的运算能力和转化能力，属于中档题．‎ 三、解答题 ‎17．设函数，其中.已知.‎ ‎（Ⅰ）求；‎ ‎（Ⅱ）将函数 的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移个单位，得到函数的图象，求在上的最小值.‎ ‎【答案】(1) .‎ ‎(2) .‎ ‎【解析】试题分析：（Ⅰ）利用两角和与差的三角函数化简得到 ‎ 由题设知及可得.‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）得 从而.‎ 根据得到，进一步求最小值.‎ 试题解析：（Ⅰ）因为，‎ 所以 由题设知，‎ 所以，.‎ 故，，又，‎ 所以.‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）得 所以.‎ 因为，‎ 所以，‎ 当，‎ 即时，取得最小值.‎ ‎【名师点睛】此类题目是三角函数问题中的典型题目，可谓相当经典.解答本题，关键在于能利用三角公式化简函数、进一步讨论函数的性质，本题易错点在于一是图象的变换与解析式的对应，二是忽视设定角的范围.难度不大，能较好的考查考生的基本运算求解能力及复杂式子的变形能力等.‎ ‎18．（题文）如图，四棱锥中，平面，‎ 为线段上一点，，为的中点.‎ ‎（Ⅰ）证明：‎ ‎（Ⅱ）求四面体的体积.‎ ‎【答案】(1) 证明见解析.‎ ‎(2) ‎ ‎【解析】试题分析：（1）取的中点，连接，证得，得出,‎ 即，再用线面平行的判定定理，即可作出证明；‎ ‎（2）根据题意，得出到的距离为，得出，再利用三棱锥的体积公式，即可求得三棱锥的体积.‎ 试题解析：‎ ‎(1)证明：由已知得AM＝AD＝2，如图，取BP的中点T，连接AT，TN，由N为PC中点知TN∥BC，TN＝BC＝2.又AD∥BC，故，所以四边形AMNT为平行四边形，‎ 于是MN∥AT.因为AT⊂平面PAB，MN⊄平面PAB，所以MN∥平面PAB.‎ ‎(2)因为PA⊥平面ABCD，N为PC的中点，所以N到平面ABCD的距离为PA.‎ 如图，取BC的中点E，连接AE，由AB＝AC＝3得AE⊥BC，AE＝＝.‎ 由AM∥BC得M到BC的距离为，故S△BCM＝×4×＝2，‎ 所以四面体N－BCM的体积VN－BCM＝×S△BCM×＝.‎ 点睛：本题主要考查了线面平行的判定和几何体体积的计算问题，其中解答中涉及到直线与平面平行的判定定理和空间几何体的体积公式的综合应用，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养，试题有一定的难度，属于中档试题.‎ ‎19．已知椭圆C：（a>b>0），四点P1（1,1），P2（0,1），P3（–1，），P4（1，）中恰有三点在椭圆C上.‎ ‎（Ⅰ）求C的方程；‎ ‎（Ⅱ）设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点.若直线P2A与直线P2B的斜率的和为–1，证明：l过定点.‎ ‎【答案】(1) .‎ ‎(2)证明见解析.‎ ‎【解析】试题分析：（1）根据，两点关于y轴对称，由椭圆的对称性可知C经过，两点.另外由知，C不经过点P1，所以点P2在C上.因此在椭圆上，代入其标准方程，即可求出C的方程；（2）先设直线P2A与直线P2B的斜率分别为k1，k2，再设直线l的方程，当l与x轴垂直时，通过计算，不满足题意，再设l：（），将代入，写出判别式，利用根与系数的关系表示出x1+x2，x1x2，进而表示出，根据列出等式表示出和的关系，从而判断出直线恒过定点.‎ 试题解析：（1）由于，两点关于y轴对称，故由题设知C经过，两点.‎ 又由知，C不经过点P1，所以点P2在C上.‎ 因此，解得.‎ 故C的方程为.‎ ‎（2）设直线P2A与直线P2B的斜率分别为k1，k2，‎ 如果l与x轴垂直，设l：x=t，由题设知，且，可得A，B的坐标分别为（t，），（t，）.‎ 则，得，不符合题设.‎ 从而可设l：（）.将代入得 由题设可知.‎ 设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=，x1x2=.‎ 而 ‎.‎ 由题设，故.‎ 即.‎ 解得.‎ 当且仅当时，，欲使l：，即，‎ 所以l过定点（2，）‎ 点睛:椭圆的对称性是椭圆的一个重要性质，判断点是否在椭圆上，可以通过这一方法进行判断；证明直线过定点的关键是设出直线方程，通过一定关系转化，找出两个参数之间的关系式，从而可以判断过定点情况.另外，在设直线方程之前，若题设中未告知，则一定要讨论直线斜率不存在和存在两种情况，其通法是联立方程，求判别式，利用根与系数的关系，再根据题设关系进行化简.‎ ‎20．函数.‎ ‎(I)求的单调区间；‎ ‎(II)若，求证：.‎ ‎【答案】(1) a≤0时，的单调递减区间是；时，的单调递减区间是 ‎，的单调递增区间是． ‎ ‎(2) 证明见解析.‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎（1）求出导数，根据对的分类讨论，找到导数正负区间，即可求出；‎ ‎（2）求出函数的最小值，转化为证≥，构造，求其最小值，即可解决问题.‎ 试题解析：‎ ‎（Ⅰ）．‎ 当a≤0时，，则在上单调递减；当时，由解得，由解得．‎ 即在上单调递减；在上单调递增；‎ 综上，a≤0时，的单调递减区间是；时，的单调递减区间是，的单调递增区间是． ‎ ‎(Ⅱ) 由（Ⅰ）知在上单调递减；在上单调递增，‎ 则． ‎ 要证≥，即证≥，即+≥0，‎ 即证≥．构造函数，则， ‎ 由解得，由解得，‎ 即在上单调递减；在上单调递增；‎ ‎∴ ，‎ 即≥0成立．从而≥成立．‎ 点睛：本题考查函数的单调性极值及恒成立问题，涉及函数不等式的证明，综合性强，难度大，属于难题.处理导数大题时，注意分层得分的原则，力争第一二问答对，第三问争取能写点，一般涉及求函数单调性及极值时，比较容易入手，求导后注意分类讨论，对于恒成立问题一般要分离参数，然后利用函数导数求函数的最大值或最小值，对于含有不等式的函数问题，一般要构造函数，利用函数的单调性来解决，但涉及技巧比较多，需要多加体会.‎ ‎21．选修4-4：坐标系与参数方程 在极坐标系中，直线,曲线上任意一点到极点的距离等于它到直线的距离.‎ ‎(I)求曲线的极坐标方程;‎ ‎(II)若是曲线上两点，且,求的最大值.‎ ‎【答案】(1) .‎ ‎(2) .‎ ‎【解析】分析：设点，根据曲线上任意一点到极点的距离等于它到直线的距离，即可求得曲线的极坐标方程；(II)根据可设，利用极坐标方程求出，再根据三角函数的图象及性质即可求得最大值.‎ 详解：(Ⅰ)设点是曲线上任意一点，则,即.‎ ‎(II) 设,则 点睛：本题主要考查求极坐标方程及极坐标方程的应用.在参数方求最值问题中，可根据题设条件列出三角函数式，借助于三角函数的图象与性质，即可求最值，注意求最值时，取得的条件能否成立.‎ ‎22．选修4-5：不等式选讲 已知函数.‎ ‎(I)求的最小值;‎ ‎(II)若均为正实数，且满足,求证:.‎ ‎【答案】(1) .‎ ‎(2)证明见解析.‎ ‎【解析】试题分析：（1）利用零点分段法去绝对值，将写成分段函数的形式，由此求得最小值.（2）由（1）得，原不等式左边加上，然后分成三组，对这三组分别利用基本不等式求得最小值，相加后可证得原不等式成立.‎ 试题解析：（1）因为函数，所以当时，；当时，；‎ 当时，，综上，的最小值.‎ ‎（2）据(1)求解知，所以，又因为，所以 ‎，‎ 即，当且仅当时，取“=” 所以，即.‎