2019届二轮复习直线、平面垂直的判定和性质学案（全国通用）

2019届二轮复习直线、平面垂直的判定和性质学案（全国通用）

一、考纲要求：‎ ‎1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面垂直的有关性质与判定定理.‎ ‎2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的垂直关系的简单命题．‎ 二、概念掌握及解题上的注意点：‎ ‎1.证明直线和平面垂直的常用方法 (1）)利用判定定理.‎ (2）)利用判定定理的推论(a∥b，a⊥α⇒b⊥α).‎ (3）)利用面面平行的性质(a⊥α，α∥β⇒a⊥β).‎ (4）)利用面面垂直的性质.‎ 当两个平面垂直时，在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面.‎ (5）)重视平面几何知识，特别是勾股定理的应用.‎ ‎2.面面垂直的两种证明方法 ‎(1)定义法：利用面面垂直的定义，即判定两平面所成的二面角为直二面角，将证明面面垂直问题转化为证明平面角为直角的问题．‎ ‎(2)定理法：利用面面垂直的判定定理，即证明其中一个平面经过另一个平面的一条垂线，把问题转化成证明线线垂直加以解决．‎ ‎3．三种垂直关系的转化 ‎4.平行与垂直的综合应用问题的主要数学思想和处理策略 (1）)处理平行与垂直的综合问题的主要数学思想是转化，要熟练掌握线线、线面、面面之间的平行与垂直的转化.‎ (2）)探索性问题一般是先根据条件猜测点的位置再给出证明，探索点的存在问题，点多为中点或三等分点中的某一个，也可以根据相似知识找点.‎ 三、高考考题题例分析：‎ 例1.（2018课标卷I节选）如图，四边形ABCD为正方形，E，F分别为AD，BC的中点，以DF为折痕把△DFC折起，使点C到达点P的位置，且PF⊥BF．‎ ‎（1）证明：平面PEF⊥平面ABFD；‎ ‎（‎ ‎【答案】见解析 例2.（2018课标II节选） 如图，在三棱锥P﹣ABC中，AB=BC=2，PA=PB=PC=AC=4，O为AC的中点．‎ ‎（1）证明：PO⊥平面ABC；‎ ‎【答案】见解析 ‎【解析】：（1）证明：∵AB=BC=2，O是AC的中点，‎ ‎∴BO⊥AC，且BO=2，‎ 又PA=PC=PB=AC=2，‎ ‎∴PO⊥AC，PO=2，‎ 则PB2=PO2+BO2，‎ 则PO⊥OB，‎ ‎∵OB∩AC=O，‎ ‎∴PO⊥平面ABC；‎ 例3.（2018课标卷III节选）如图，边长为2的正方形ABCD所在的平面与半圆弧所在平面垂直，M是上异于C，D的点．‎ ‎（1）证明：平面AMD⊥平面BMC；‎ ‎【答案】见解析 例4.（2018北京卷节选）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，D，E，F，G分别为AA1，AC，A1C1，BB1的中点，AB=BC=，AC=AA1=2．‎ ‎（Ⅰ）求证：AC⊥平面BEF；‎ ‎【答案】见解析 ‎【解析】（I）证明：∵E，F分别是AC，A1C1的中点，∴EF∥CC1，‎ ‎∵CC1⊥平面ABC，∴EF⊥平面ABC，‎ 又AC⊂平面ABC，∴EF⊥AC，‎ ‎∵AB=BC，E是AC的中点，‎ ‎∴BE⊥AC，‎ 又BE∩EF=E，BE⊂平面BEF，EF⊂平面BEF，‎ ‎∴AC⊥平面BEF．学 ‎ 例5.（2018江苏卷节选）在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=AB，AB1⊥B1C1．‎ 求证：（2）平面ABB1A1⊥平面A1BC．‎ ‎【答案】见解析 ‎　例6.(2018浙江卷节选)如图，已知多面体ABCA1B1C1，A1A，B1B，C1C均垂直于平面ABC，∠ABC=120°，A1A=4，C1C=l，AB=BC=B1B=2．‎ ‎（Ⅰ）证明：AB1⊥平面A1B1C1；‎ ‎【答案】见解析 例7.(2017江苏卷节选)如图,在三棱锥A-BCD中,AB⊥AD, BC⊥BD, 平面ABD⊥平面BCD, 点E,F(E与A,D不重合)分别在棱AD,BD上,且EF⊥AD.‎ 求证：（2）AD⊥AC.‎ ‎(第15题)‎ A D B C E F ‎【答案】（2）见解析 ‎【解析】（2）因为平面ABD⊥平面BCD，‎ 例8.(2017·全国卷Ⅰ)如图755，在四棱锥PABCD中，AB∥CD，且∠BAP＝∠CDP＝90°.‎ 图755‎ ‎(1)证明：平面PAB⊥平面PAD；‎ ‎(2)若PA＝PD＝AB＝DC，∠APD＝90°，且四棱锥PABCD的体积为，求该四棱锥的侧面积．‎ ‎【答案】见解析 ‎【解析】　(1)证明：由已知∠BAP＝∠CDP＝90°，‎ 得AB⊥AP，CD⊥PD．‎ 由于AB∥CD，故AB⊥PD，从而AB⊥平面PAD．‎ 又AB⊂平面PAB，‎ 所以平面PAB⊥平面PAD．‎ ‎(2)如图，在平面PAD内作PE⊥AD，垂足为E.‎ 由(1)知，AB⊥平面PAD，故AB⊥PE，AB⊥AD，‎ 可得PE⊥平面ABCD．‎ 直线、平面垂直的判定和性质 一、选择题 ‎1．设α，β是两个不同的平面，l，m是两条不同的直线，且l⊂α，m⊂β. (　　)‎ A．若l⊥β，则α⊥β　　 B．若α⊥β，则l⊥m C．若l∥β，则α∥β D．若α∥β，则l∥m ‎【答案】A ‎【解析】　∵l⊥β，l⊂α，∴α⊥β(面面垂直的判定定理)，故A正确．‎ ‎2．已知互相垂直的平面α，β交于直线l.若直线m，n满足 m∥α，n⊥β，则 (　　)‎ A．m∥l B．m∥n C．n⊥l D．m⊥n ‎【答案】C　‎ ‎【解析】∵α∩β＝l，∴l⊂β.‎ ‎∵n⊥β，∴n⊥l.学 ‎ ‎3．已知在空间四边形ABCD中，AD⊥BC，AD⊥BD，且△BCD是锐角三角形，则必有 (　　)‎ A．平面ABD⊥平面ADC　 B．平面ABD⊥平面ABC C．平面ADC⊥平面BDC D．平面ABC⊥平面BDC ‎4．设a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则能得出a⊥b的是 (　　)‎ A．a⊥α，b∥β，α⊥β B．a⊥α，b⊥β，α∥β C．a⊂α，b⊥β，α∥β D．a⊂α，b∥β，α⊥β ‎【答案】C ‎【解析】：选C　对于C项，由α∥β，a⊂α可得a∥β，又b⊥β，得a⊥b，故选C．‎ ‎5.如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，P为△ABC所在平面外一点，PA⊥平面ABC，则四面体P ABC中直角三角形的个数为(　　)‎ A．4 B．3‎ C．2 D．1‎ ‎【答案】A ‎【解析】：选A　由PA⊥平面ABC可得△PAC，△PAB是直角三角形，且PA⊥BC．又∠ABC＝90°，所以△ABC是直角三角形，且BC⊥平面PAB，所以BC⊥PB，即△PBC为直角三角形，故四面体P ABC中共有4个直角三角形．‎ ‎6．如图，O为正方体ABCDA1B1C1D1的底面ABCD的中心，则下列直线中与B1O 垂直的是 (　　)‎ A．A1D B．AA1‎ C．A1D1‎ D．A1C1‎ ‎【答案】D ‎【解析】　易知AC⊥平面BB1D1D．‎ ‎∵A1C1∥AC，∴A1C1⊥平面BB1D1D．‎ 又B1O⊂平面BB1D1D，∴A1C1⊥B1O，故选D．‎ ‎7．设α，β为两个不同的平面，直线l⊂α，则“l⊥β”是“α⊥β”成立的 (　　)‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎8．已知m和n是两条不同的直线，α和β是两个不重合的平面，下面给出的条件中一定能推出m⊥β的是 (　　)‎ A．α⊥β且m⊂α　　　　 B．α⊥β且m∥α C．m∥n且n⊥β D．m⊥n且n∥β ‎【答案】C ‎【解析】　对于选项A，α⊥β且m⊂α，可得m∥β或m与β相交或m⊂β，故A不成立；对于选项B，α⊥β且m∥α，可得m⊂β或m∥β或m与β相交，故B不成立；对于选项C，m∥n且n⊥β，则m⊥β，故C正确；对于选项D，由m⊥n且n∥β，可得m∥β或m与β相交或m⊂β，故D不成立，故选C．‎ ‎9．设a，b是夹角为30°的异面直线，则满足条件“a⊂α，b⊂β，且α⊥β”的平面α，β(　　)‎ A．不存在 B．有且只有一对 C．有且只有两对 D．有无数对 ‎【答案】D ‎10．在正方体ABCDA1B1C1D1中，E为棱CD的中点，则 (　　)‎ A．A1E⊥DC1 B．A1E⊥BD C．A1E⊥BC1 D．A1E⊥AC ‎【答案】C ‎【解析】　如图，∵A1E在平面ABCD上的投影为AE，而AE不与AC，BD垂直，∴B，D错；‎ ‎∵A1E在平面BCC1B1上的投影为B1C，且B1C⊥BC1，‎ ‎∴A1E⊥BC1，故C正确；‎ ‎(证明：由条件易知，BC1⊥B1C，BC1⊥CE，又CE∩B1C＝C，‎ ‎∴BC1⊥平面CEA1B1.又A1E⊂平面CEA1B1，∴A1E⊥BC1)‎ ‎∵A1E在平面DCC1D1上的投影为D1E，而D1E不与DC1垂直，故A错．‎ 故选C．‎ ‎11．如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD的中点，G是EF的中点，现在沿AE、AF及EF把这个正方形折成一个空间图形，使B、C、D三点重合，重合后的点记为H，那么，在这个空间图形中必有 (　　) ‎ A．AG⊥平面EFH B．AH⊥平面EFH C．HF⊥平面AEF D．HG⊥平面AEF ‎【答案】B ‎12．如图，在正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，沿AE，AF，EF把正方形折成一个四面体，使B，C，D三点重合，重合后的点记为P，P点在△AEF内的射影为O，则下列说法正确的是 (　　)‎ A．O是△AEF的垂心 B．O是△AEF的内心 C．O是△AEF的外心 D．O是△AEF的重心 ‎【答案】A ‎【解析】　由题意可知PA，PE，PF两两垂直，‎ 所以PA⊥平面PEF，从而PA⊥EF，‎ 而PO⊥平面AEF，则PO⊥EF，因为PO∩PA＝P，‎ 所以EF⊥平面PAO，‎ 所以EF⊥AO，同理可知AE⊥FO，AF⊥EO，‎ 所以O为△AEF的垂心． ‎ 二、填空题 ‎13．如图，∠BAC＝90°，PC⊥平面ABC，则在△ABC，△PAC的边所在的直线中，与PC垂直的直线是 ；与AP垂直的直线是 ．‎ ‎【答案】AB，BC，AC；AB　‎ ‎【解析】∵PC⊥平面ABC，‎ ‎∴PC垂直于直线AB，BC，AC．‎ ‎∵AB⊥AC，AB⊥PC，AC∩PC＝C，‎ ‎∴AB⊥平面PAC，‎ ‎∴AB⊥AP，故与AP垂直的直线是AB. 学 ‎ ‎14．如图所示，在四棱锥PABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足 时，平面MBD⊥平面PCD.(只要填写一个你认为是正确的条件即可)‎ ‎【答案】DM⊥PC(或BM⊥PC)‎ ‎【解析】连接AC，BD，则AC⊥BD，∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥BD.‎ 又PA∩AC＝A，∴BD⊥平面PAC，∴BD⊥PC．‎ ‎∴当DM⊥PC(或BM⊥PC)时，即有PC⊥平面MBD.‎ 而PC⊂平面PCD，‎ ‎∴平面MBD⊥平面PCD.‎ ‎15．α，β是两个平面，m，n是两条直线，有下列四个命题：‎ ‎①如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β.‎ ‎②如果m⊥α，n∥α，那么m⊥n.‎ ‎③如果α∥β，m⊂α，那么m∥β.‎ ‎④如果m∥n，α∥β，那么m与α所成的角和n与β所成的角相等．‎ 其中正确的命题有 ．(填写所有正确命题的编号) ‎ ‎【答案】②③④　‎ ‎ 16.如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，底面是以∠ABC为直角的等腰直角三角形，AC＝2a，BB1＝3a，D是A1C1的中点，点F在线段AA1上，当AF＝ 时，CF⊥平面B1DF.‎ ‎【答案】a或2a　‎ 三、解答题 ‎17.如图，在三棱锥PABC中，PA⊥AB，PA⊥BC，AB⊥BC，PA＝AB＝BC＝2，D为线段AC的中点，E为线段PC上一点．‎ ‎ (1)求证：PA⊥BD；‎ ‎(2)求证：平面BDE⊥平面PAC；‎ ‎(3)当PA∥平面BDE时，求三棱锥EBCD的体积．‎ ‎【答案】见解析 ‎【解析】　‎ ‎(1)证明：因为PA⊥AB，PA⊥BC，所以PA⊥平面ABC．‎ 又因为BD⊂平面ABC，所以PA⊥BD.‎ ‎(2)证明：因为AB＝BC，D为AC的中点，所以BD⊥AC．‎ 由(1)知，PA⊥BD，‎ 所以BD⊥平面PAC，‎ 所以平面BDE⊥平面PAC．‎ ‎(3)因为PA∥平面BDE，平面PAC∩平面BDE＝DE，所以PA∥DE.‎ 因为D为AC的中点，所以DE＝PA＝1，BD＝DC＝.‎ 由(1)知，PA⊥平面ABC，所以DE⊥平面ABC，‎ 所以三棱锥EBCD的体积V＝BD·DC·DE＝.‎ ‎18.如图，已知四棱锥PABCD的底面ABCD为菱形，且PA⊥底面ABCD，∠ABC＝60°，点E，F分别为BC，PD的中点，PA＝AB＝2.‎ ‎(1)证明：AE⊥平面PAD；‎ ‎(2)求多面体PAECF的体积．‎ ‎【答案】见解析 ‎19.在四棱锥PABCD中，PA⊥CD，AD∥BC，∠ADC＝∠PAB＝90°，BC＝CD＝AD.‎ ‎ (1)在平面PAD内找一点M，使得直线CM∥平面PAB，并说明理由；‎ ‎(2)证明：平面PAB⊥平面PBD. ‎ ‎【答案】见解析 ‎【解析】　(1)取棱AD的中点M(M∈平面PAD)，点M即为所求的一个点．‎ 理由如下：连接CM，‎ 因为AD∥BC，BC＝AD，‎ 所以BC∥AM，且BC＝AM.‎ 所以四边形AMCB是平行四边形，‎ 所以CM∥AB.‎ 又AB⊂平面PAB，CM⊄平面PAB，‎ 所以CM∥平面PAB.‎ ‎(说明：取棱PD的中点N，则所找的点可以是直线MN上任意一点)‎ ‎20.如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，D，E分别为AB，BC的中点，点F在侧棱B1B上，且B1D⊥A1F，A1C1⊥A1B1.‎ 求证：(1)直线DE∥平面A1C1F；‎ ‎(2)平面B1DE⊥平面A1C1F.‎ ‎【答案】见解析 ‎21．如图所示的空间几何体ABCDEFG中，四边形ABCD是边长为2的正方形，AE⊥平面ABCD，EF∥AB，EG∥AD，EF＝EG＝1.‎ ‎ (1)求证：平面CFG⊥平面ACE；‎ ‎(2)在AC上是否存在一点H，使得EH∥平面CFG？若存在，求出CH的长，若不存在，请说明理由. ‎ ‎【答案】见解析 ‎【解析】　(1)证明：连接BD交AC于点O，则BD⊥AC．‎ 设AB，AD的中点分别为M，N，连接MN，则MN∥BD，‎ 连接FM，GN，则FM∥GN，且FM＝GN，‎ 所以MN∥FG，所以BD∥FG，所以FG⊥AC．‎ 由于AE⊥平面ABCD，所以AE⊥BD．‎ 所以FG⊥AE，又因为AC∩AE＝A，所以FG⊥平面ACE.所以平面CFG⊥平面ACE.‎ ‎(2)存在．设平面ACE交FG于Q，则Q为FG的中点，‎ 连接EQ，CQ，取CO的中点为H，连接EH，‎ 则CH∥EQ，CH＝EQ＝，‎ 所以四边形EQCH为平行四边形，所以EH∥CQ，‎ 所以EH∥平面CFG，‎ 所以在AC上存在一点H，使得EH∥平面CFG，‎ 且CH＝.学 ‎ ‎22.如图，高为1的等腰梯形ABCD中，AM＝CD＝AB＝1，M为AB的三等分点．现将△AMD沿MD折起，使平面AMD⊥平面MBCD，连接AB，AC．‎ ‎ (1)在AB边上是否存在点P，使AD∥平面MPC，请说明理由；‎ ‎(2)当点P为AB边中点时，求点B到平面MPC的距离．‎ ‎【答案】见解析 在△MPC中，MP＝AB＝，‎ MC＝，PC＝＝，‎ ‎∴S△MPC＝××＝.‎ ‎∴点B到平面MPC的距离为＝＝.‎