黑龙江省大庆市实验中学2019-2020学年高二上学期10月月考数学试题

黑龙江省大庆市实验中学2019-2020学年高二上学期10月月考数学试题

大庆实验中学2019-2020学年度上学期第一次月考 高二数学（理）试题 一．选择题（本题共12小题，每小题5分）‎ ‎1.抛物线的准线方程为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析：，，焦点在轴负半轴上，准线方程为．‎ 考点：抛物线的性质．‎ ‎2.以的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为(    )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由原方程可得，其焦点为，顶点为，据此可写出所求椭圆方程.‎ ‎【详解】由原方程可得，‎ 所以双曲线的焦点为，顶点为 椭圆的顶点为，焦点为，‎ 即，所以 所求椭圆方程为，‎ 故选B.‎ ‎【点睛】本题主要考查了双曲线的方程，简单几何性质，椭圆的方程，椭圆的简单几何性质，属于中档题.‎ ‎3.以原点为中心，焦点在y轴上的双曲线C的一个焦点为，一个顶点为，则双曲线C的方程为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：∵双曲线C的一个焦点为，一个顶点为，∴，‎ ‎∴，∴双曲线C的方程为.‎ 考点：1.双曲线的标准方程；2.双曲线的焦点、顶点.‎ ‎4.已知的顶点、在椭圆上，顶点是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在边上，则的周长是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 椭圆上一点到两焦点的距离之和等于长轴长2a，进而可得△ABC的周长 ‎【详解】椭圆 ，a=，长轴长2a= ‎ 设直线BC过椭圆的右焦点F2，根据椭圆的定义可知：‎ ‎|AB|+|BF2|=2a=，|AC|+|F2C|=2a=．‎ ‎∴三角形的周长为：|AB|+|BF2|+|AC|+|F2C|=4a= ．故选：C ‎【点睛】椭圆上一点P与椭圆的两焦点F1,F2组成的三角形称为“焦点三角形”，椭圆中焦点三角形的常用结论有：①|PF1|+|PF2|=2a；②当点P为短轴端点时，∠F1PF2最大；③焦点三角形的周长为2（a+c）.‎ ‎5.设双曲线的一个焦点为F，虚轴的一个端点为B，焦点F到一条渐近线的距离为d，若，则双曲线离心率的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析：设，，一条渐近线的方程为，则，，‎ 因为，所以，所以，所以，所以．故选：A．‎ 考点：双曲线的简单性质．‎ ‎6.椭圆上一点到两焦点距离之积为，则当取最大值时，点是()‎ A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设，利用两点间距离公式表示出到两焦点的距离，将距离之积的最大值转化为关于的二次函数的最大值的求解问题，通过确定二次函数取最大值时的取值可进一步求得点坐标.‎ ‎【详解】由标准方程可知两焦点为：，‎ 设 ‎，‎ ‎ 当时，取最大值 此时 或 本题正确选项：‎ ‎【点睛】本题考查利用椭圆的参数方程求解距离之积的最值的问题，关键是能够将问题转化为二次函数的最值求解问题，易错点是忽略了余弦函数的范围，造成最值求解错误.‎ ‎7.设点是双曲线上的一点，分别是双曲线的左、右焦点，已知，且，则双曲线的一条渐近线方程是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：根据题意，三角形F1F2P是以F1F2为斜边的直角三角形，设|F2P|=m，|F1P|=2m，则由双曲线定义可得m=2a，所以，即，则，故一条渐近线方程是．‎ 考点：双曲线的几何性质．‎ ‎8.若x,y满足约束条件的取值范围是 A. [0,6] B. [0,4] C. [6, D. [4, ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 解：x、y满足约束条件，表示的可行域如图：‎ 目标函数z=x+2y经过C点时，函数取得最小值，‎ 由解得C（2，1），‎ 目标函数的最小值为：4‎ 目标函数的范围是[4，+∞）．‎ 故选：D．‎ ‎9.过双曲线的右焦点作直线l交双曲线于A、B两点，若|AB|＝4，则满足条件的直线l有 A. 4条 B. 3条 C. 2条 D. 无数条 ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：∵双曲线的两个顶点之间的距离是2，小于4，‎ ‎∴过抛物线的焦点一定有两条直线使得交点之间的距离等于4，‎ 当直线与实轴垂直时，有，‎ ‎∴，‎ ‎∴直线AB的长度是4，‎ 综上可知有三条直线满足|AB|=4，‎ 故选B．‎ 考点：圆锥曲线综合应用.‎ ‎10.设F为抛物线C:的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A,B两点，O为坐标原点，则 ‎△OAB的面积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 由题意可知：直线AB的方程为，代入抛物线的方程可得：，设A、B，则所求三角形的面积为=，故选D.‎ 考点：本小题主要考查直线与抛物线的位置关系，考查两点间距离公式等基础知识，考查同学们分析问题与解决问题的能力.‎ ‎11.下列三图中的多边形均为正多边形，M、N是所在边上的中点，双曲线均以图中的F1、F2为焦点，设图①②③中的双曲线的离心率分别为e1、e2、e3，则（）‎ A. e1＞e2＞e3 B. e1＜e2＜e3 C. e1=e3＜e2 D. e1=e3＞e2‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 分析】‎ 根据正三角形、正方形、正六边形的边长和角度关系可求解出，根据双曲线定义可求解出离心率，再比较出大小关系.‎ ‎【详解】在①中，连接，设 ‎ ‎ 在②中，连接，，设 ‎，解得：‎ 又 ‎，解得：‎ 在③中，连接，，设 ‎ ‎ 本题正确选项：‎ ‎【点睛】本题考查双曲线离心率的求解问题，关键是能够熟练应用双曲线的定义构造关于的齐次方程.‎ ‎12.已知椭圆与双曲线有相同的焦点F1,F2,点P是两曲线的一个公共点,又分别是两曲线的离心率,若PF1PF2,则的最小值为()‎ A. B. 4 C. D. 9‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据双曲线和椭圆的定义，结合勾股定理可整理得到，代入可整理得到符合基本不等式的形式，利用基本不等式可求得最小值.‎ ‎【详解】由双曲线和椭圆定义可得：，‎ ‎ ‎ 又 ，即 当且仅当，即时取等号 最小值为 本题正确选项：‎ ‎【点睛】本题考查与椭圆和双曲线离心率相关的最值问题的求解，关键是能够熟练应用椭圆和双曲线的定义得到等量关系，从而将所求项化为符号基本不等式的形式.‎ 二．填空题（本题共4小题，每小题5分）‎ ‎13.椭圆(x³0,y³0)与直线x-y-5=0的距离的最小值为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 画出椭圆的图形以及直线的方程，找出曲线上的点与直线x﹣y﹣5=0的距离的最小值即可.‎ ‎【详解】在坐标系中画出椭圆（x≥0，y≥0）与直线x﹣y﹣5=0的图形，‎ 如图：可知（3，0）到直线x﹣y+5=0的距离最小，d=．‎ 故答案为： ．‎ ‎【点睛】本题考查直线与椭圆的位置关系，注意x，y的范围，利用数形结合找出点的位置，再利用点到直线的距离公式解出即可．‎ ‎14.若直线与双曲线的右支交于不同的两点，则的取值范围__________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 联立直线与双曲线方程，可知二次项系数不为零、判别式大于零、两根之和与两根之积均大于零，据此构造不等式组，解不等式组求得结果.‎ ‎【详解】将代入双曲线方程整理可得：‎ 设直线与双曲线右支交于两点 ‎，解得：‎ 本题正确结果：‎ ‎【点睛】本题考查根据直线与双曲线位置关系求解参数范围的问题，属于基础题.‎ ‎15.过椭圆(a>b>0)上的点P作PM⊥x轴于M(M、P不重合)，A1A2是椭圆的长轴，则的值是___________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设，则，分别表示出和，利用满足椭圆方程代入整理消元可得结果.‎ ‎【详解】设，则 ‎，‎ 本题正确结果：‎ ‎【点睛】本题考查椭圆中的定值求解问题，关键是能够准确表示出所需的线段长度，利用点在椭圆上这一位置关系来进行化简.‎ ‎16.已知P为椭圆上一点，F1、F2为椭圆的左、右焦点，B为椭圆右顶点，若平分线与的平分线交于点，则 　　　　　　.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：由题意可知，是三角形的旁心，可以判断出点在直线上，故，.‎ 考点：椭圆焦三角的性质.‎ 三．解答题（本大题共6题,解答过程需要写出必要的推理过程）‎ ‎17.已知椭圆方程,左右焦点分别为 ‎(1)求椭圆焦点坐标及离心率;‎ ‎(2)过的直线与椭圆交于两点,若，求直线方程.‎ ‎【答案】（1），；离心率；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据椭圆标准方程可得，进而得到焦点和离心率；（2）当直线斜率时，易知满足题意；设直线方程：，代入椭圆方程整理可得韦达定理形式；将向量的比例关系转化为两点纵坐标的关系，从而构造方程求得结果.‎ ‎【详解】（1）由椭圆方程知：，，‎ 焦点坐标，；离心率 ‎（2）①当直线斜率时，，，满足题意，此时直线为：‎ ‎②设直线方程：‎ 将代入椭圆方程可得：‎ 设，，则 又 ‎ 即：，方程无解 综上所述：直线方程为：‎ ‎【点睛】本题考查椭圆焦点、离心率等定义、焦点分弦成比例的问题的求解，关键是能够根据将向量之间的比例关系转化为交点纵坐标之间的比例关系，从而结合韦达定理构造出方程，解方程求得结果.‎ ‎18.已知双曲线两个焦点分别是，点在双曲线上.‎ ‎（1）求双曲线的标准方程;‎ ‎（2）过双曲线的右焦点且倾斜角为的直线与双曲线交于两点，求的周长.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由轴可得，结合焦点坐标可得，从而得到的值，得到所求标准方程；（2）根据双曲线渐近线倾斜角可知均在双曲线右支上，根据双曲线定义可知所求周长等于，将直线方程代入双曲线方程，利用弦长公式求得，代入得到结果.‎ ‎【详解】（1）， 轴 且 又，即，解得： ‎ 双曲线的标准方程为：‎ ‎（2）由（1）知，双曲线渐近线为，倾斜角为 直线过且倾斜角为 均在双曲线的右支上 ‎， ‎ 设直线方程为：‎ 代入双曲线方程得： ‎ 的周长为：‎ ‎【点睛】本题考查双曲线标准方程的求解、双曲线中的三角形周长的求解问题；关键是能够利用双曲线的定义将问题转化为弦长的求解，利用弦长公式求得结果.‎ ‎19.已知两点，直线和直线相交于点,且它们的斜率之积是 ‎(1)求动点的轨迹方程;‎ ‎(2)求最大值时的正切值.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）设动点，利用斜率乘积为定值可构造出方程，整理可得轨迹方程；（2）利用倾斜角与斜率关系、两角和差正切公式可得，利用基本不等式可得到所求正切值.‎ ‎【详解】（1）设，则，‎ ‎，整理得：‎ 又与不重合 ‎ 点的轨迹方程为：‎ ‎（2）在中，‎ 则，且 设，则 ‎（当且仅当，即时等号成立） 最大值为 且正切函数在上单调递增 取最大值时的正切值为 由椭圆对称性可知，当时，结论依然成立 综上所述，取最大值时的正切值为 ‎【点睛】本题考查动点轨迹方程的求解、椭圆中的最值问题的求解；求解椭圆中最值问题的关键是能够用某一个变量表示出所求量，从而配凑出关于该变量的函数的形式，利用函数值域或基本不等式的方式求得最值.‎ ‎20.(2017安徽蚌埠一模)已知椭圆C:=1(a>b>0)的离心率为,F1,F2是椭圆的两个焦点,P是椭圆上任意一点,且△PF1F2的周长是8+2.‎ ‎(1)求椭圆C的方程;‎ ‎(2)设圆T:(x-2)2+y2=,过椭圆的上顶点M作圆T的两条切线交椭圆于E,F两点,求直线EF的斜率.‎ ‎【答案】(1)+y2=1. (2).‎ ‎【解析】‎ 试题分析：‎ ‎（1）由椭圆的离心率为可得a=4b，c=b，然后根据△PF1F2的周长可得b=1，a=4，从而可得椭圆的方程．（2）由题意知过点M与圆T相切的直线存在斜率，设其方程为y=kx+1，由直线与圆相切可得32k2+36k+5=0，从而得到，．然后分别求出两切线与椭圆交点的横坐标和，最后根据斜率公式求解即可．‎ 试题解析：‎ ‎(1)由题意得e=，‎ ‎∴a=4b，‎ ‎∴c=b．‎ ‎∵△PF1F2的周长是8+2，‎ ‎∴2a+2c=8+2，‎ ‎∴b=1,‎ ‎∴a=4．‎ ‎∴椭圆C的方程为+y2=1．‎ ‎(2)由（1）得椭圆的上顶点为M(0,1)，‎ 又由题意知过点M与圆T相切的直线存在斜率，设其方程为l：y=kx+1，‎ ‎∵直线y=kx+1与圆T相切，‎ ‎∴，‎ 整理得32k2+36k+5=0，‎ ‎∴‎ 由消去y整理得(1+16)x2+32k1x=0，‎ ‎∴．‎ 同理可得,‎ ‎∴．‎ 故直线EF的斜率为．‎ ‎21.已知椭圆的左．右焦点为，离心率为.直线与轴，轴分别交于点，是直线与椭圆的一个公共点，是点关于直线的对称点，设.‎ ‎（1）证明：；‎ ‎（2）若，的周长为；写出椭圆的方程；‎ ‎（3）确定的值，使得是等腰三角形.‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）当时，是等腰三角形 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）分别求出坐标，利用向量共线的坐标运算可构造关于的方程，整理即可证得结果；（2）利用（1）的结论求得，根据焦点三角形周长为可得到关于方程，求得后，根据求得，进而得到椭圆方程；（3）根据可知若为等腰三角形，则需，即点到直线距离，利用点到直线距离公式构造方程可求得，根据（1）的结论得到结果.‎ ‎【详解】（1）为与轴的交点 ，‎ 由得：，即 ‎，‎ ‎ ，整理可得：‎ ‎（2）由（1）得：，解得：，即 周长为，即 ，‎ 椭圆的方程为：‎ ‎（3） 为钝角 若是等腰三角形，则 设到直线距离为，则需 ‎ ，即，解得：‎ 由（1）得：‎ 当时，是等腰三角形 ‎【点睛】本题考查直线与椭圆的综合应用，涉及到椭圆中的证明问题、椭圆标准方程的求解、存在性问题的求解；解决存在性问题的基本步骤是假定存在，进而得到所需的等量关系，利用等量关系建立方程求得结果即可.‎ ‎22.定义：若两个椭圆的离心率相等，则称两个椭圆是“相似”的，如图，椭圆与椭圆是相似的两个椭圆，并且相交于上下两个顶点，椭圆的长轴长是4，椭圆，短轴长是1，点，分别是椭圆的左焦点与右焦点.‎ ‎（1）求椭圆，的方程；‎ ‎（2）过的直线交椭圆于点，，求面积的最大值.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ 试题分析：‎ ‎(1)利用题意结合“相似”的定义设椭圆的半焦距为，椭圆的半焦距为，由a,b,c的关系可得：椭圆的方程为，椭圆的方程是；‎ ‎(2)由题意可得三角形面积的表达式，结合均值不等式的结论可得的面积的最大值为.‎ 试题解析：‎ 解：（1）设椭圆的半焦距为，椭圆的半焦距为，由已知，，，‎ ‎∵椭圆与椭圆的离心率相等，即，‎ ‎∴，即，‎ ‎∴，即，∴，‎ ‎∴椭圆的方程为，椭圆的方程是；‎ ‎（2）显然直线的斜率不为0，故可设直线的方程为.‎ 联立：，得，即，‎ ‎∴，设，，‎ 则，，∴，‎ 高即为点到直线：的距离，‎ ‎∴的面积，‎ ‎∵，等号成立当且仅当，即时，‎ ‎∴，即的面积的最大值为.‎ ‎ ‎