数学理卷·2017届广东省揭阳市第一中学高三下学期开学考试（正月联考）（2017

数学理卷·2017届广东省揭阳市第一中学高三下学期开学考试（正月联考）（2017

‎ 2016——2017学年度高三正月两校联考 理科数学试题 一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项．‎ ‎1. 若复数满足，，则的虚部为（ ）‎ A．-4 B． C．4 D．‎ ‎2. 已知命题：，则为（ ）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎3.若，，则一定有（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎ ‎ ‎4. 如图所示的程序框图运行后输出的结果是（ ）‎ A.4 B.8 C.16 D.32‎ ‎5. 函数的图像关 ‎ 于直线对称,它的最小正周期 ‎ 为,则函数图像的一个对称中心是( ) ‎ A． B． C． D．‎ ‎6. 在△中，，，是边上的一点，且，‎ 则的值为（ ）‎ A．0 B．4 C．8 D．‎ ‎7. 把边长为的正方形沿对角线折起，形成的三棱锥的正视图与俯视 图如图所示，则其侧视图的面积为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎8. 将甲，乙，丙3本不同的书籍放到6个书柜里，每个书柜最多放2本书，那么不同的放 法有（ ）‎ A．150种 B．180种 C．210种 D．240种 ‎9. 将函数的图象向左平移个单位，再向上平移个单位，得到 的图象.若，且，则的最大值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎10. 一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为，得2分的概率为，不得分的概率为，‎ ，已知他投篮一次得分的数学期望是2，则的最小值为 A． B． C． D．‎ ‎11. 等差数列中，首项，公差，前项和为．有下列命题 ‎①若，则必有； ②若，则必有是中最大的项；‎ ‎③若，则必有； ④若，则必有；‎ 其中正确的命题的个数是（ ）‎ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 ‎12.设函数，其中，若存在唯一的整数，使得，‎ 则的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确的答案填写在答题卡相应的横线上。‎ ‎13.设展开式中的常数项为 .‎ ‎14. 已知实数满足不等式组，则的最小值为______________．‎ ‎15. 定义，则由函数的图象与轴、直线所围成的封闭图形的面积为 ．‎ ‎16. 过双曲线的左焦点作圆的切线，‎ 切点为，延长交抛物线于点，为原点，若，则 双曲线的离心率为 ．‎ 三、解答题：（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）‎ ‎17．(12分)设为各项不相等的等差数列的前项和，已知，.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）设为数列的前项和，求的最大值.‎ ‎18．（12分）2016 年1 月1 日起全国统一实施全面两孩政策.为了解适龄民众对放开生育二胎政策的态度,某市选取后和后作为调查对象,随机调查了位,得到数据如下表：‎ ‎（1）以这个人的样本数据估计该市的总体数据,且以频率估计概率,若从该市后公民中随机抽取位,记其中生二胎的人数为,求随机变量的分布列和数学期望；‎ ‎（2）根据调查数据,是否有 以上的把握认为“生二胎与年龄有关”,并说明理由：‎ 参考数据：‎ ‎（参考公式：,其中）‎ ‎19.（12分） 如图，在梯形ABCD中，AB//CD，AD=DC=CB=，，平面平面ABCD，四边形ACFE是矩形，AE=‎ ‎（1）求证：平面ACFE；‎ ‎（2）求二面角的余弦值.‎ ‎20．(12分)已知双曲线的焦点与椭圆C:的焦点重合, 且椭圆C的长轴长为4，M、N是椭圆C上的动点.‎ ‎（1）求椭圆C标准方程；‎ ‎（2）若点在第一象限，且点关于原点对称，点在轴的射影为点，连接 并延长其交椭圆C于点，求证：以为直径的圆经过点。‎ ‎21. (12分) 已知函数．‎ ‎（1）证明在区间内有且仅有唯一实根；‎ ‎（2）记在区间内的实根为，函数，‎ 若方程在区间有两不等实根，‎ 试判断与的大小，并给出对应的证明．‎ 选做题：（请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号。）‎ ‎22．(10分)在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），‎ 以坐标原点为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为 ‎.‎ ‎（1）求圆的普通方程和直线的直角坐标方程；‎ ‎（2）设是直线上任意一点，过作圆切线，切点为，求四边形面积的最小值. ‎ ‎23．(10分)已知函数.‎ ‎（1）解关于的不等式；‎ ‎（2）设,试比较与的大小.‎ ‎2016——2017学年度高三正月两校联考理科数学参考答案 一、 选择题：DDBCA BDCCD DD ‎ 二、 填空题：‎ ‎13. 14. 15. 16. ‎ 三.解答题 ‎17．解：（1）设的公差为，则...…….(2分)‎ 解得（舍去），∴ …… (5分)‎ ‎（2）∵…… (7分)‎ ‎∴ …… (9分)‎ ‎∴…… (12分)‎ ‎18. 解：（1）由条件可知70后生二胎的概率为，且.……………1分 故的可能取值为，且 即，‎ ‎，‎ ‎………………………………6分 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ P 的分布列为 ‎……………………………………………………………………8分 ‎(2)因为 由表格可知有90%以上的把握认为“生二胎与年龄有关”.……………………12分 ‎19. 证明：（1）在梯形中，，‎ ‎,四边形是等腰梯形，‎ 且 ‎ ‎ 又平面平面，交线为，‎ 平面 ( 5分)‎ ‎（2）（法一）根据已有垂直关系，,以点为原点，所在直线为坐标轴,建立空间直角坐标系,则,， ，‎ ‎，∴ ‎ ‎ ，‎ 可得平面BEF的法向量，平面EFD的法向量为=（0，-2，1）， … (10分)‎ ‎ ∴ ‎ 又∵二面角B-EF-D的平面角为锐角，即的余弦值为．…… (12分)‎ ‎（法二）过作交的延长线于，连接.‎ 因为，所以，所以面.…………………………6分 由（1）知，又，故 因为，，所以面 因为，所以面………………………………………………8分 故有 所以为二面角的平面角.………………………………9分 在中，，在中，‎ 又…………………………………………11分 故在中，‎ 所以二面角的余弦值为………………………………12分 ‎20.解：(1)由题设可知：双曲线的焦点为，…… (1分)‎ ‎ 所以椭圆中的 又由椭圆的长轴为4得 ‎ 故 ， 故椭圆的标准方程为：…… (4分)‎ ‎（2）证明：设 由题设可知 由题设可知斜率存在且满足.③…… (5分)‎ ‎ …… (7分)‎ 将③代入④可得：‎ ‎⑤…… (9分)‎ ‎ 点在椭圆，故 ‎…… (11分)‎ 所以 因此以为直径的圆经过点…… (12分)‎ ‎20. 解：（1）证明：，定义域为，‎ 而．故，即在上单调递增，‎ 又，‎ ‎∴在区间有且仅有唯一实根． …… (3分)‎ ‎（2）当时，，而，故此时有，‎ 由（1）知，，当时，，‎ 且存在，使得，故时，‎ ‎；‎ 当时，．‎ ‎∴， …… (5分)‎ 显然当时，，因而单增；‎ 当时，，因而递减；‎ 在有两不等实根，则． ‎ ‎∴要证：即证，…… (7分)‎ ‎∵在上递减，故可证，又由，‎ ‎∴即证，即， …… (8分)‎ 记，其中．‎ ‎，…… (9分)‎ 记，当时，；时，‎ 故，而故，而，从而，‎ 因此，…… (11分)‎ 即单调递增，从而时，，即，‎ 故得证．…… (12分)‎ ‎22．解：（1）圆的参数方程为（为参数），所以圆的普通方程为 ‎，由，得，‎ ‎∵，∴直线的直角坐标方程为.…… (5分)‎ ‎（2）圆心到直线：的距离为，‎ 由于是直线上任意一点，则，∴四边形面积 ‎ ∴四边形面积最小值为.…… (10分)‎ ‎23．解：（1）‎ ‎,或.‎ 所以不等式的解集为.…… (5分)‎ ‎（2）由（1）已知.‎ ‎∵‎ 又 ‎.…… (10分)‎