专题09+排列组合与二项式定理小题-冲刺高考最后一个月之2019高考数学（理）名师押题高端精品

专题09+排列组合与二项式定理小题-冲刺高考最后一个月之2019高考数学（理）名师押题高端精品

专题09 排列组合二项式定理（理）‎ 一.排列组合小题 ‎（一）命题特点和预测：分析近8年的高考试题全国卷1，发现8年2考，主要考查利用两个计数原理及排列组合的知识与方法计算分配等计数问题，试题难度为基础题或中档题.2019年可能考一个排列组合小题，主要考查利用两个计数原理及排列组合的知识与方法计算分配等计数问题，试题难度为基础题或中档题．‎ ‎（二）历年试题比较：‎ 年份 ‎ 题目 答案 ‎2018年 ‎（15）从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有_____________种．（用数字填写答案）‎ ‎16‎ ‎2012年 ‎(2).将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有 ‎.12种 .10种 .9种 .8种 A ‎【解析与点睛】‎ ‎（2018年）（15）【解析】根据题意，没有女生入选有种选法，从6名学生中任意选3人有种选法，故至少有1位女生入选，则不同的选法共有种，故答案是16.‎ ‎（2012年）（2）【解析】先把4名学生选2人安排到甲地有种不同方法，再在2名老师中选1人安排到甲地有种不同方法，其余2名学生1名老师安排到乙地只有一种方法，根据分步计数原理，不同的安排方法共有=12种，故选A.‎ ‎（三）命题专家押题 ‎ ‎ 题号 试 题 ‎1. ‎ 某大学党支部中有名女教师和名男教师，现从中任选名教师去参加精准扶贫工作，至少有名女教师要参加这项工作的选择方法种数为( )‎ A． B． C． D．‎ ‎2.‎ 甲乙2人从4门课程中各自选修2门课程，并且所选课程中恰有1门课程相同，则不同的选法方式有（ ）‎ A．36种 B．30种 C．24种 D．12种 ‎3‎ ‎6个人分乘两辆不同的汽车，每辆车最多坐4人，则不同的乘车方法数为（ ）‎ A．40 B．50 C．60 D．70‎ ‎4‎ ‎2020年东京夏季奥运会将设置米男女混合泳接力这一新的比赛项目，比赛的规则是：每个参赛国家派出2男2女共计4名运动员参加比赛，按照仰泳蛙泳蝶泳自由泳的接力顺序，每种泳姿100米且由1名运动员完成，且每名运动员都要出场，若中国队确定了备战该项目的4名运动员名单，其中女运动员甲只能承担仰泳或者自由泳，男运动员乙只能承担蝶泳或者自由泳，剩下的2名运动员四种泳姿都可以承担，则中国队的排兵布阵的方式共有（ ）‎ A．144种 B．24种 C．12种 D．6种 ‎5‎ 分配5名水暖工去4个不同的居民家里检查暖气管道，要求5名水暖工全部分配出去，每名水暖工只能去一个居民家，且每个居民家都要有人去检查，那么分配的方案共有_______种（用数字作答）．‎ ‎6‎ 包括甲、乙、丙在内的5个人排一列，则甲乙不相邻，且丙不排在两端的排法种数为______．‎ ‎7‎ 在1，3，5，7这四个数字中任取3个，在0，2，4，6这四个数字中任取2个，组成一个没有重复数字的5位数，则这样的5位数的个数为________（用数字作答）.‎ ‎8‎ 现有一圆桌，周边有标号为1，2，3，4的四个座位，甲、乙、丙、丁四位同学坐在一起探讨一个数学课题，每人只能坐一个座位，甲先选座位，且甲、乙不能相邻，则所有选座方法有_______种.（用数字作答）‎ ‎9‎ 将六名教师分配到甲、乙、丙、丁四所学校任教，其中甲校至少分配两名教师，其它三所学校至少分配一名教师，则不同的分配方案共有__________种．（用数字作答） ‎ ‎10‎ 现有排成一排的7个不同的盒子，将红、黄、蓝、白颜色的4个小球全部放入这7个盒子中，若每个盒子最多放一个小球，则恰有两个空盒相邻且红球与黄球不相邻的不同放法共有_______种.（结果用数字表示）‎ ‎【详细解析】‎ ‎1.【答案】C ‎【解析】没有女教师参加这项工作的选法有：种至少名女教师参加这项工作的选法有：种，故选 ‎2.【答案】C ‎【解析】先从4门课程中选出1门，是两个人共同选的一科，选法种数为4种，剩下三门，选出不同的两门，分别给甲乙即可，方法有，故共有种方法，故选C.‎ ‎3.【答案】B ‎【解析】由题意，6个人分乘两辆不同的汽车，每辆车最多坐4人，可分为两类情况：（1）其中2人乘坐一辆汽车，另外4乘坐一辆汽车，共有种，（2）其中3人乘坐一辆汽车，另3人乘坐一辆汽车，共有种，由分类计数原理可得，不同的乘车方法数为种，故选B.‎ ‎4.【答案】D ‎【解析】由题意，若甲承担仰泳，则乙运动员有A22＝2种安排方法，其他两名运动员有A22＝2种安排方法，共计2×2＝4种方法，若甲承担自由泳，则乙运动员只能安排蝶泳，其他两名运动员有A22＝2种安排方法，共计2种方法，所以中国队共有4+2＝6种不同的安排方法，故选D．‎ ‎5.【答案】240‎ ‎【解析】由题意，把5名水暖工分4组共有 种，然后分配到4个不同的家庭，有 种，由分步计数原理可得，不同的分配方案共有种．‎ ‎6.【答案】48‎ ‎【解析】甲乙不相邻的排法种数：，其中丙排在两端的排法种数为：，所求种数为.‎ ‎7.【答案】2592‎ ‎【解析】在1，3，5，7这四个数字中任取3个，在0，2，4，6这四个数字中任取2个，当含0时，则有种选法，，因为0不能排在首位，共有种结果，不含0时，则有种选法，共有种结果，共2592.‎ ‎8.【答案】8‎ ‎【解析】先按排甲，其选座方法有种，由于甲、乙不能相邻，所以乙只能坐甲对面，而丙、丁两位同学坐另两个位置的坐法有种，所以共有坐法种数为种．‎ ‎9.【答案】660‎ ‎【解析】若甲校2人，乙、丙、丁其中一校2人，共有种，若甲校3人，乙、丙、丁每校1人，共有则不同的分配方案共有+种 ‎10.【答案】336‎ ‎【解析】先不考虑红球与黄球不相邻，则4个小球有种排法，再安排空盒，有种方法，再考虑红球与黄球相邻，则4个小球有种排法，再安排空盒，有种方法，因此所求放法为 ‎ 二.二项式定理小题 ‎（一）命题特点和预测：分析近8年的高考题发现，8年6考，每年1题，主要考查利用二项式定理的通项求展开式的特定项、两个二项式乘积展开式的指定项、二项式系数的性质或三项式展开式的指定项的系数，难度是基础题.2019年仍将有一个二项式定理题，考查内容为求若干个二项式乘积展开式的指定项，难度仍为基础题.‎ ‎（二）历年试题比较：‎ 年份 ‎ 题目 答案 ‎2017年 ‎(6)展开式中的系数为 A．15 B．20 C．30 D．35‎ C ‎2016年 ‎(14)的展开式中，x3的系数是 .（用数字填写答案）‎ ‎10‎ ‎2015年 （10） 的展开式中，的系数为 ‎（A）10 （B）20 （C）30 （D）60‎ C ‎2014年 ‎(13)的展开式中的系数为 .(用数字填写答案)‎ ‎-20‎ ‎2013年 ‎(9)设m为正整数，展开式的二项式系数的最大值为，展开式的二项式系数的最大值为，若13=7，则＝ ( )‎ A、5 B、6 C、7 D、8‎ B ‎2011年 ‎（8）的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为 ‎（A）－40 (B)－20 (C)20 (D)40‎ D ‎【解析与点睛】‎ ‎（2017年）【解析】展开式中含的项为，故前系数为30，选C ‎（2016年）【解析】==，由题知，，解得，所以x3的系数为=10.‎ ‎（2015年）【解析】在的5个因式中，2个取因式中剩余的3个因式中1个取，其余因式取y,故的系数为=30，故选 C. ‎ ‎（2014年）【解析】展开式的通项为，∴，,∴的展开式中的项为，故系数为20.‎ ‎（2013年）【解析】由题知=，=，∴13=7，即=，‎ 解得=6，故选B.‎ ‎（2011年）【解析】令=1得， =2，解得=1，第2个因式的通项公式为==‎ 当第1个因式取，第2因式展开式取，即，解得=3，‎ 当第1个因式取，第2因式展开式取，即=1，解得=2，‎ ‎∴常数项为+=40，故选D.‎ ‎（三）命题专家押题 题号 试 题 ‎1. ‎ 记，则（ ）‎ A．81 B．365 C．481 D．728‎ ‎2.‎ 已知二项式的展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是2︰5，则的系数为（ ）‎ A．14 B．－14 C．240 D．－240‎ ‎3‎ 若,则（ ）‎ A．－70 B．28 C．－26 D．40‎ ‎4‎ 已知的展开式中第5项为常数项，则该式中所有项系数的和为_________.‎ ‎5‎ 在的二项式展开式中，所有项的二项式系数之和为256，则展开式中常数项等于______．‎ ‎6‎ 的展开式中的系数为__________．‎ ‎7‎ 若二项式的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中的系数为__________（用数字作答）．‎ ‎8‎ 已知的展开式的各项系数和为243，则展开式中的二项式系数为_______.‎ ‎9‎ 已知，且，那么展开式中的常数项为______．‎ ‎10‎ 展开式中的系数为（ ）‎ A．0 B．24 C．192 D．408‎ ‎【详细解析】‎ ‎1.【答案】B ‎【解析】令x=0得1=，令x=-2得，所以，故选B ‎ ‎2.【答案】C ‎【解析】二项展开式的第项的通项公式为，由展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是2︰5，可得.，解得：，所以，令，解得，所以的系数为，故选C ‎3.【答案】C ‎【解析】令t＝x﹣3，则（x﹣2）5﹣3x4＝a0+a1（x﹣3）+a2（x﹣3）2+a3（x﹣3）3+a4（x﹣3）4+a5（x﹣3）5，可化为（t+1）5﹣3（t+3）4＝a0+a1t+a2t2+a3t3+a4t4+a5t5，则a3＝＝10﹣36＝﹣26，故选C．‎ ‎4.【答案】-32‎ ‎【解析】因为，且第5项为常数项，所以，即，令 ‎，得所有项系数和为 ‎ ‎5.【答案】28‎ ‎【解析】由题意得：二项式系数和，解得，则展开式通项公式为：，当，即时，常数项为：‎ ‎6.【答案】‎ ‎【解析】将原式子化为：（y+x2+x）5其展开式中，通项公式Tr+1y5﹣r（x2+x）r，令5﹣r＝3，解得r＝2．（x2+x）2＝x4+2x3+x2，5个括号里有2个出的是x2+x，∴x3y3的系数为220．‎ ‎7.【答案】1792‎ ‎【解析】由题意得，展开式共有9项，则，故展开式的通项，令，解得，故所求系数为.‎ ‎8.【答案】10‎ ‎【解析】令x＝1，可得3n＝243，解得n＝5，∴的．，令，则，∴展开式中的二项式系数为 ‎9.【答案】-20‎ ‎【解析】∵令，可得，∴，那么的展开式的通项公式为，令，求得，可得展开式中的常数项为.‎ ‎10.【答案】B ‎【解析】由题的通项公式为的通项公式为，‎ 若中提供常数项1，的展开式中提供二次项，此时r=0,k=2,则系数为 若中提供一次项,与的展开式中提供的一次项, 此时r=1,k=1,则系数为 若中提供二次项,与的展开式中提供常数项，此时r=2,k=0, 则系数为,故展开式中的系数为24-192+192=24，故选B