2020高中数学第二章函数第5节指数与指数函数课时作业2北师大版必修1
第5节 指数与指数函数
课时规范练
A组 基础对点练
1．设a＝log37，b＝21.1，c＝0.83.1，则( )
A．b＜a＜c B． c＜a＜b
C．c＜b＜a D．a＜c＜b
解析：因为2＞a＝log37＞1，b＝21.1＞2，c＝0.83.1＜1，所以c＜a＜b.
答案：B
2．设a＝0.60.6，b＝0.61.5，c＝1.50.6，则a，b，c的大小关系是( )
A．a＜b＜c B．a＜c＜b
C．b＜a＜c D．b＜c＜a
解析：由指数函数y＝0.6x在(0，＋∞)上单调递减，可知0.61.5<0.60.6，由幂函数y＝x0.6在(0，＋∞)上单调递增，可知0.60.6<1.50.6，所以b
0，将表示成分数指数幂的形式，其结果是( )
A．a B．a
C．a D．a
解析：＝＝＝＝a＝a.故选C.
答案：C
4．设x>0，且10，∴b>1，
∵bx1，∵x>0，∴>1⇒a>b，∴10，且a≠1)满足f(1)＝，则f(x)的单调递减区间是( )
A．(－∞，2] B．[2，＋∞)
C．[－2，＋∞) D．(－∞，－2]
解析：由f(1)＝得a2＝，
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又a>0，所以a＝，
因此f(x)＝|2x－4|.
因为g(x)＝|2x－4|在[2，＋∞)上单调递增，
所以f(x)的单调递减区间是[2，＋∞)．
答案：B
6．已知函数f(x)＝ax，其中a>0，且a≠1，如果以P(x1，f(x1))，Q(x2，f(x2))为端点的线段的中点在y轴上，那么f(x1)·f(x2)等于( )
A．1 B．a
C．2 D．a2
解析：∵以P(x1，f(x1))，Q(x2，f(x2))为端点的线段的中点在y轴上，
∴x1＋x2＝0.
又∵f(x)＝ax，
∴f(x1)·f(x2)＝ax1·ax2＝ax1＋x2＝a0＝1，故选A.
答案：A
7．已知a＝，b＝，c＝，则( )
A．a，∴b，
∴a>c，∴bb)的图像如图所示，则函数g(x)＝ax＋b的图像是( )
解析：由函数f(x)的图像可知，－11，则g(x)＝ax＋b为增函数，当x＝0时，g
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(0)＝1＋b>0，故选C.
答案：C
9．已知一元二次不等式f(x)＜0的解集为{x|x＜－1或x＞}，则f(10x)＞0的解集为( )
A．{x|x＜－1或x＞－lg 2}
B．{x|－1＜x＜－lg 2}
C．{x|x＞－lg 2}
D．{x|x＜－lg 2}
解析：因为一元二次不等式f(x)＜0的解集为，所以可设f(x)＝a(x＋1)·(a＜0)，由f(10x)＞0可得(10x＋1)·＜0，即10x＜，x＜－lg 2，故选D.
答案：D
10．已知函数f(x)＝(a∈R)，若f[f(－1)]＝1，则a＝( )
A. B.
C．1 D．2
解析：因为－1＜0，所以f(－1)＝2－(－1)＝2，又2＞0，所以f[f(－1)]＝f(2)＝a·22＝1，解得a＝.
答案：A
11．(2018·哈尔滨模拟)函数f(x)＝的图像( )
A．关于原点对称 B．关于直线y＝x对称
C．关于x轴对称 D．关于y轴对称
解析：f(x)＝＝ex＋，∵f(－x)＝e－x＋＝ex＋＝f(x)，∴f(x)是偶函数，∴函数f(x)的图像关于y轴对称．
答案：D
12．(2018·北京丰台模拟)已知奇函数y＝如果f(x)＝ax(a＞0，且a≠1)对应的图像如图所示，那么g(x)＝( )
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A.－x B．－x
C．2－x D．－2x
解析：由题图知f(1)＝，∴a＝，f(x)＝x，
由题意得g(x)＝－f(－x)＝－－x＝－2x，故选D.
答案：D
13．关于x的方程x＝有负数根，则实数a的取值范围为________．
解析：由题意，得x＜0，所以0＜x＜1，
从而0＜＜1，解得－＜a＜.
答案：
14．已知0≤x≤2，则y＝4x－－3·2x＋5的最大值为________．
解析：令t＝2x，∵0≤x≤2，∴1≤t≤4，
又y＝22x－1－3·2x＋5，
∴y＝t2－3t＋5＝(t－3)2＋，
∵1≤t≤4，∴t＝1时，ymax＝.
答案：
15．不等式2x2－x＜4的解集为________．
解析：不等式2x2－x＜4可转化为2x2－x＜22，利用指数函数y＝2x的性质可得，x2－x＜2，解得－1＜x＜2，故所求解集为{x|－1＜x＜2}．
答案：{x|－1＜x＜2}
16．已知y＝f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)＝－＋，则此函数的值域为________．
解析：设t＝，当x≥0时，2x≥1，∴0＜t≤1，f(t)＝－t2＋t＝－2＋，∴0≤f(t)≤，故当x≥0时，f(x)∈.∵y＝f(x)是定义在R上的奇函数，∴当x≤0时，f(x)∈.故函数的值域为.
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答案：
B组 能力提升练
1．设函数f(x)定义在实数集上，它的图像关于直线x＝1对称，且当x≥1时，f(x)＝3x－1，则有( )
A．f＜f＜f
B．f＜f＜f
C．f＜f＜f
D．f＜f＜f
解析：∵函数f(x)的图像关于直线x＝1对称，
∴f(x)＝f(2－x)，∴f＝f＝f，f＝f＝f，又∵x≥1时，f(x)＝3x－1为单调递增函数，且＜＜，
∴f＜f＜f，
即f＜f＜f.选B.
答案：B
2．已知实数a，b满足等式2 017a＝2 018b，下列五个关系式：①01，则有a>b>0；若t＝1，则有a＝b＝0；若00，且a≠1)的图像可能是( )
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解析：函数y＝ax－是由函数y＝ax的图像向下平移个单位长度得到，A项显然错误；当a>1时，0<<1，平移距离小于1，所以B项错误；当01，平移距离大于1，所以C项错误，故选D.
答案：D
4．(2018·日照模拟)若x∈(2,4)，a＝2x2，b＝(2x)2，c＝22x，则a，b，c的大小关系是( )
A．a>b>c B．a>c>b
C．c>a>b D．b>a>c
解析：∵b＝(2x)2＝22x，∴要比较a，b，c的大小，只要比较当x∈(2,4)时x2,2x,2x的大小即可．用特殊值法，取x＝3，容易知x2>2x>2x，则a>c>b.
答案：B
5．(2018·许昌四校联考)已知a＞0，且a≠1，f(x)＝x2－ax.当x∈(－1,1)时，均有f(x)＜，则实数a的取值范围是( )
A.∪[2，＋∞) B.∪(1,2]
C.∪[4，＋∞) D.∪(1,4]
解析：当x∈(－1,1)时，均有f(x)＜，即ax＞x2－在(－1,1)上恒成立，
令g(x)＝ax，m(x)＝x2－，当0＜a＜1时，g(1)≥m(1)，即a≥1－＝，此时≤a＜1；
当a＞1时，g(－1)≥m(1)，即a－1≥1－＝，此时1＜a≤2.
综上，≤a＜1或1＜a≤2.故选B.
答案：B
6．(2018·菏泽模拟)若函数f(x)＝1＋＋sin x在区间[－ ， ]( ＞0)上的值域为[m，n]，则m＋n的值是( )
A．0 B．1 C．2 D．4
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解析：∵f(x)＝1＋＋sin x
＝1＋2·＋sin x
＝2＋1－＋sin x
＝2＋＋sin x.
记g(x)＝＋sin x，则f(x)＝g(x)＋2，
易知g(x)为奇函数，则g(x)在[－ ， ]上的最大值与最小值互为相反数，∴m＋n＝4.
答案：D
7．若xlog52≥－1，则函数f(x)＝4x－2x＋1－3的最小值为( )
A．－4 B．－3
C．－1 D．0
解析：∵xlog52≥－1，∴2x≥，则f(x)＝4x－2x＋1－3＝(2x)2－2×2x－3＝(2x－1)2－4.当2x＝1时，f(x)取得最小值－4.
答案：A
8．函数f(x)＝则a＝2是f(a)＝4成立的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：因为a＝2，所以f(a)＝22＝4，即a＝2⇒f(a)＝4；反之，若f(a)＝4，则2a＝4，a＝2或＝4，a＝－16，因此f(a)＝4⇒a＝2或者a＝－16，故a＝2是f(a)＝4的充分不必要条件，选A.
答案：A
9．已知实数a，b满足＞a＞b＞，则( )
A．b＜2 B．b＞2
C．a＜ D．a＞
解析：由＞a，得a＞1；
由a＞b，得2a＞b，进而2a＜b；
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由b＞，得b＞4，进而b＜4.
∴1＜a＜2,2＜b＜4.
取a＝，b＝，得＝＝，有a＞，排除C；b＞2，排除A；
取a＝，b＝，得＝＝，有a＜，排除D.故选B.
答案：B
10．已知函数f(x)＝·x，m，n为实数，则下列结论中正确的是( )
A．若－3≤m＜n，则f(m)＜f(n)
B．若m＜n≤0，则f(m)＜f(n)
C．若f(m)＜f(n)，则m2＜n2
D．若f(m)＜f(n)，则m3＜n3
解析：∵f(x)的定义域为R，其定义域关于原点对称，f(－x)＝·(－x) ＝·x＝f(x)，∴函数f(x)是一个偶函数，又x＞0时，2x－与x是增函数，且函数值为正，∴函数f(x)＝·x在(0，＋∞)上是一个增函数，由偶函数的性质知，函数f(x)在(－∞，0)上是一个减函数，此类函数的规律是：自变量离原点越近，函数值越小，即自变量的绝对值越小，函数值就越小，反之也成立．对于选项A，无法判断m，n离原点的远近，故A错误；对于选项B，|m|＞|n|，∴f(m)＞f(n)，故B错误；对于选项C，由f(m)＜f(n)，一定可得出m2＜n2，故C是正确的；对于选项D，由f(m)＜f(n)，可得出|m|＜|n|，但不能得出m3＜n3，故D错误．综上可知，选C.
答案：C
11．若函数f(x)＝2|x－a|(a∈R)满足f(1＋x)＝f(1－x)，且f(x)在[m，＋∞)上单调递增，则实数m的最小值等于________．
解析：因为f(1＋x)＝f(1－x)，所以函数f(x)关于直线x＝1对称，所以a＝1，所以函数f(x)＝2|x－1|的图像如图所示，因为函数f(x)在[m，＋∞)上单调递增，所以m≥1，所以实数m的最小值为1.
答案：1
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12．(2018·眉山模拟)已知定义在R上的函数g(x)＝2x＋2－x＋|x|，则满足g(2x－1)＜g(3)的x的取值范围是________．
解析：∵g(x)＝2x＋2－x＋|x|，∴g(－x)＝2x＋2－x＋|－x|,2x＋2－x＋|x|＝g(x)，则函数g(x)为偶函数，当x≥0时，g(x)＝2x＋2－x＋x，则g′(x)＝(2x－
2－x)·ln 2＋1＞0，则函数g(x)在[0，＋∞)上为增函数，而不等式g(2x－1)＜g(3)等价于g(|2x－1|)＜g(3)，∴|2x－1|＜3，即－3＜2x－1＜3，解得－1＜x＜2，即x的取值范围是(－1,2)．
答案：(－1,2)
13．(2018·信阳质检)若不等式(m2－m)2x－x＜1对一切x∈(－∞，－1]恒成立，则实数m的取值范围是________．
解析：(m2－m)2x－x＜1可变形为m2－m＜x＋2，设t＝x，则原条件等价于不等式m2－m＜t＋t2在t≥2时恒成立，显然t＋t2在t≥2时的最小值为6，所以m2－m＜6，解得－2＜m＜3.
答案：(－2,3)
14．(2018·皖南八校联考)对于给定的函数f(x)＝ax－a－x(x∈R，a＞0，a≠1)，下面给出五个命题，其中真命题是______．(只需写出所有真命题的编号)
①函数f(x)的图像关于原点对称；
②函数f(x)在R上不具有单调性；
③函数f(|x|)的图像关于y轴对称；
④当0＜a＜1时，函数f(|x|)的最大值是0；
⑤当a＞1时，函数f(|x|)的最大值是0.
解析：∵f(－x)＝－f(x)，∴f(x)为奇函数，f(x)的图像关于原点对称，①真；当a＞1时，f(x)在R上为增函数，②假；y＝f(|x|)是偶函数，其图像关于y轴对称，③真；当0＜a＜1时，y＝f(|x|)在(－∞，0)上为增函数，在[0，＋∞)上为减函数，∴当x＝0时，y＝f(|x|)的最大值为0，④真；当a＞1时，f(x)在(－∞，0)上为减函数，在[0，＋∞)上为增函数，∴当x＝0时，y＝f(x)的最小值为0，⑤假，综上，真命题是①③④.
答案：①③④
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