2018届二轮复习　平面向量（教师版）学案（全国通用）

2018届二轮复习　平面向量（教师版）学案（全国通用）

第3讲　平面向量 三角函数、解三角形、平面向量与数列 考向预测 ‎1.以选择题、填空题的形式考查向量的线性运算，多以熟知的平面图形为背景，难度中低档；‎ ‎2.以选择题、填空题的形式考查平面向量的数量积，多考查角、模等问题，难度中低档；‎ ‎3.向量作为工具常与三角函数、解三角形、不等式、解析几何等结合，以解答题形式出现.‎ 知识与技巧的梳理 ‎1.平面向量的两个重要定理 ‎(1)向量共线定理：向量a(a≠0)与b共线当且仅当存在唯一一个实数λ，使b＝λa.‎ ‎(2)平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2，其中e1，e2是一组基底.‎ ‎2.平面向量的两个充要条件 若两个非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 ‎(1)a∥b⇔a＝λb⇔x1y2－x2y1＝0.‎ ‎(2)a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0.‎ ‎3.平面向量的三个性质 ‎(1)若a＝(x，y)，则|a|＝＝.‎ ‎(2)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则||＝.‎ ‎(3)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为a与b的夹角，则cos θ＝＝.‎ ‎4.平面向量的三个锦囊 ‎(1)向量共线的充要条件：O为平面上一点，则A，B，P三点共线的充要条件是＝λ1＋λ2(其中λ1＋λ2＝1).‎ ‎(2)三角形中线向量公式：若P为△OAB的边AB的中点，则向量与向量，的关系是＝(＋).‎ ‎(3)三角形重心坐标的求法：G为△ABC的重心⇔＋＋＝0⇔G.‎ 热点题型 热点一　平面向量的有关运算 ‎【例1】(1)(2016·全国Ⅰ卷)设向量a＝(m，1)，b＝(1，2)，且|a＋b|2＝|a|2＋|b|2，则m＝________.‎ ‎(2)设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD＝AB，BE＝BC.若＝λ1＋λ2(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________. ‎ 解析　(1)由|a＋b|2＝|a|2＋|b|2，得a⊥b，所以a·b＝m×1＋1×2＝0，得m＝－2.‎ ‎(2)＝＋＝＋＝＋(－)＝－＋，∵＝λ1＋λ2，‎ ‎∴λ1＝－，λ2＝，因此λ1＋λ2＝.‎ 答案　(1)－2　(2) 探究提高　对于平面向量的线性运算，首先要选择一组基底，同时注意共线向量定理的灵活运用.其次运算过程中重视数形结合，结合图形分析向量间的关系.‎ ‎【训练1】(2017·衡阳二模)如图，正方形ABCD中，M，N分别是BC，CD的中点，若＝λ＋μ，则λ＋μ＝(　　)‎ A.2 B. C. D. 解析　法一　如图以AB，AD为坐标轴建立平面直角坐标系，设正方形边长为1，＝，＝，＝(1，1).‎ ‎∵＝λ＋μ＝λ＋μ＝，‎ ‎∴解之得故λ＋μ＝.‎ 法二　以，作为基底，∵M，N分别为BC，CD的中点，‎ ‎∴＝＋＝＋，＝＋＝－，‎ 因此＝λ＋μ＝＋，又＝＋，‎ 因此解得λ＝且μ＝.所以λ＋μ＝.‎ 答案　D 热点二　平面向量的数量积 命题角度1　平面向量数量积的运算 ‎【例2－1】(1)(2017·浙江卷)如图，已知平面四边形ABCD，AB⊥BC，AB＝BC＝AD＝2，CD＝3，AC与BD交于点O，记I1＝·，I2＝·，I3＝·，则(　　)‎ A.I1＜I2＜I3 B.I1＜I3＜I2 C.I3＜I1＜I2 D.I2＜I1＜I3‎ ‎(2)(2016·山东卷)已知非零向量m，n满足4|m|＝3|n|，cos〈m，n〉＝.若n⊥(tm＋n)，则实数t的值为(　　)‎ A.4 B.－4 C. D.－ 解析　(1)如图所示，四边形ABCE是正方形，F为正方形的对角线的交点，易得AOI3，作AG⊥BD于G，又AB＝AD，∴OB·，即I1>I3.∴I30)，与f(x)图象的对称轴x＝相邻的f(x)的零点为x＝.‎ ‎(1)讨论函数f(x)在区间上的单调性；‎ ‎(2)设△ABC的内角A，B，C的对应边分别为a，b，c，且c＝，f(C)＝1，若向量m＝(1，sin A)与向量n＝(2，sin B)共线，求a，b的值.‎ ‎【解题思路】(1)利用二倍角公式和辅助角公式进行化简；(2)向量m＝(1，sin A)与向量n＝(2，sin B)共线，可得sin B＝2sin A.‎ ‎【答案】(1)f(x)＝sin 2ωx－＋＝sin 2ωx－cos 2ωx＝sin，‎ 由于与f(x)图象的对称轴x＝相邻的零点为x＝，得·＝－＝，所以ω＝1，则f(x)＝sin.‎ 由－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z，得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z.‎ 设A＝，B＝，易知A∩B＝，‎ 所以当x∈时，f(x)在区间上单调递增，在区间上单调递减.‎ ‎(2)f(C)＝sin＝1.因为0

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