数学卷·2018届江西省抚州市金溪一中高二上学期第二次月考数学试卷（理科）+（解析版）

数学卷·2018届江西省抚州市金溪一中高二上学期第二次月考数学试卷（理科）+（解析版）

‎2016-2017学年江西省抚州市金溪一中高二（上）第二次月考数学试卷（理科）‎ ‎　‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．抛物线y=的焦点坐标是（　　）‎ A．（，0） B．（0，） C．（0，1） D．（1，0）‎ ‎2．一支田径队有男运动员48人，女运动员36人，若用分层抽样的方法从该队的全体运动员中抽取一个容量为21的样本，则抽取男运动员的人数为（　　）‎ A．8 B．9 C．10 D．12‎ ‎3．如图的程序框图，如果输入三个实数a，b，c，要求输出这三个数中最大的数，那么在空白的判断框中，应该填入下面四个选项中的（　　）‎ A．c＞x B．x＞a C．c＞b D．b＞c ‎4．如图，矩形ABCD中，点E为边CD的中点，若在矩形ABCD内部随机取一个点Q，则点Q取自△ABE内部的概率等于（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎5．某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如表：‎ 广告费用x（万元）‎ ‎4‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎5‎ 销售额y（万元）‎ ‎49‎ ‎26‎ ‎39‎ ‎54‎ 根据上表可得回归方程=x+中的为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为（　　）‎ A．63.6万元 B．67.7万元 C．65.5万元 D．72.0万元 ‎6．在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，B1C1=A1C1，AC1⊥A1B，M、N分别是A1B1，AB的中点，给出如下三个结论：①C1M⊥平面ABB1A1；②A1B⊥AM；③平面AMC1∥平面CNB1；其中正确结论的个数是（　　）‎ A．0 B．1 C．2 D．3‎ ‎7．已知抛物线y2=4x的焦点为F，准线为交于A，B两点，若△FAB为直角三角形，则双曲线的离心率是（　　）‎ A． B． C．2 D．‎ ‎8．长方体ABCD﹣A1B1C1D1中AB=AA1=2，AD=1，E为CC1的中点，则异面直线BC1与AE所成角的余弦值为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎9．在甲、乙等6个同学参加的一次演讲比赛活动中，每个同学的节目集中安排在一起．若采用抽签的方式随机确定各同学的演讲顺序（序号为1，2，…，6），则甲、乙两位同学的演讲序号至少有一个为奇数的概率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎10．方程lg（x2+y2﹣1）=0所表示的曲线图形是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎11．如图所示，△PAB所在的平面α和四边形ABCD所在的平面β互相垂直，且AD⊥α，BC⊥α，AD=4，BC=8，AB=6．若tan∠ADP﹣2tan∠BCP=1，则动点P在平面α内的轨迹是（　　）‎ A．椭圆的一部分 B．线段 C．双曲线的一部分 D．以上都不是 ‎12．设a，b是方程x2+x•cotθ﹣cosθ=0的两个不等的实数根，那么过点A（a，a2）和B（b，b2）的直线与椭圆的位置关系是（　　）‎ A．相离 B．相切 C．相交 D．随θ的变化而变化 ‎　‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．‎ ‎13．已知命题：“∃x∈[1，2]，使x2+2x﹣a≥0”为真命题，则a的取值范围是　　．‎ ‎14．若样本1+x1，1+x2，1+x3，…..1+xn，的平均数为10，方差为2，则对于样本2+x1，2+x2，2+x3，…..2+xn，，其平均数和方差的和为　　．‎ ‎15．在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC顶点A（﹣4，0）和C（4，0），顶点B在椭圆上，则=　　．‎ ‎16．直线与抛物线y2=4x相交于A、B两点，与x轴相交于点F，若，则=　　．‎ ‎　‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17．如图茎叶图记录了甲、乙两组四名同学的植树棵数，乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以X表示．‎ ‎（1）如果X=8，求乙组同学植树棵数的平均数和标准差；‎ ‎（2）如果X=9，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵数为19的概率．‎ ‎18．命题p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0，其中a＜0；命题q：实数x满足x2﹣x﹣6≤0或x2+2x﹣8＞0；若￢p是￢q的必要不充分条件，求a的取值范围．‎ ‎19．已知双曲线C：的离心率为，左顶点为（﹣1，0）．‎ ‎（1）求双曲线方程；‎ ‎（2）已知直线x﹣y+m=0与双曲线C交于不同的两点A、B，且线段AB的中点在圆x2+y2=5上，求m的值和线段AB的长．‎ ‎20．如图，直角梯形ABCD与等腰直角三角形ABE所在的平面互相垂直．AB∥CD，AB⊥BC，AB=2CD=2BC，EA⊥EB．‎ ‎（1）求直线EC与平面ABE所成角的余弦值；‎ ‎（2）线段EA上是否存在点F，使EC∥平面FBD？若存在，求出；若不存在，说明理由．‎ ‎21．已知梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=∠BAD=，AB=BC=2AD=4，E、F分别是AB、CD上的点，EF∥BC，AE=x，G是BC的中点．沿EF将梯形ABCD翻折，使平面AEFD⊥平面EBCF （如图）．‎ ‎（1）当x=2时，求证：BD⊥EG；‎ ‎（2）若以F、B、C、D为顶点的三棱锥的体积记为f（x），求f（x）的最大值；‎ ‎（3）当f（x）取得最大值时，求二面角D﹣BF﹣C的余弦值．‎ ‎22．已知椭圆的离心率为，其左、右焦点分别为F1，F2，点P（x0，y0）是坐标平面内一点，且（O为坐标原点）．‎ ‎（1）求椭圆C的方程；‎ ‎（2）过点 且斜率为k的动直线l交椭圆于A、B两点，在y轴上是否存在定点M，使以AB为直径的圆恒过这个点？若存在，求出M的坐标，若不存在，说明理由．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年江西省抚州市金溪一中高二（上）第二次月考数学试卷（理科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．抛物线y=的焦点坐标是（　　）‎ A．（，0） B．（0，） C．（0，1） D．（1，0）‎ ‎【考点】抛物线的简单性质．‎ ‎【分析】先将方程化简为标准形式，即可得焦点坐标．‎ ‎【解答】解：由抛物线可得x2=4y，故焦点坐标为（0，1）‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎2．一支田径队有男运动员48人，女运动员36人，若用分层抽样的方法从该队的全体运动员中抽取一个容量为21的样本，则抽取男运动员的人数为（　　）‎ A．8 B．9 C．10 D．12‎ ‎【考点】分层抽样方法．‎ ‎【分析】根据田径队的男女运动员数目和用分层抽样要抽取的数目，得到每个个体被抽到的概率值，利用每个个体被抽到的概率乘以男运动员的数目，得到男运动员要抽取得人数．‎ ‎【解答】解：∵田径队有男运动员48人，女运动员36人，‎ ‎∴这支田径队共有48+36=84人，‎ 用分层抽样的方法从该队的全体运动员中抽取一个容量为21的样本，‎ ‎∴每个个体被抽到的概率是，‎ ‎∵田径队有男运动员48人，‎ ‎∴男运动员要抽取48×=12人，‎ 故选D ‎　‎ ‎3．如图的程序框图，如果输入三个实数a，b，c，要求输出这三个数中最大的数，那么在空白的判断框中，应该填入下面四个选项中的（　　）‎ A．c＞x B．x＞a C．c＞b D．b＞c ‎【考点】程序框图．‎ ‎【分析】根据流程图所示的顺序，逐框分析程序中各变量、各语句的作用，由于该题的目的是选择最大数，因此根据第一个选择框作用是比较x与b的大小，故第二个选择框的作用应该是比较x与c的大小，而且条件成立时，保存最大值的变量X=C．‎ ‎【解答】解：由流程图可知：‎ 第一个选择框作用是比较x与b的大小，‎ 故第二个选择框的作用应该是比较x与c的大小，‎ ‎∵条件成立时，保存最大值的变量X=C 故选A．‎ ‎　‎ ‎4．如图，矩形ABCD中，点E为边CD的中点，若在矩形ABCD内部随机取一个点Q，则点Q取自△ABE内部的概率等于（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】几何概型．‎ ‎【分析】利用几何概型的计算概率的方法解决本题，关键要弄准所求的随机事件发生的区域的面积和事件总体的区域面积，通过相除的方法完成本题的解答．‎ ‎【解答】解：由几何概型的计算方法，可以得出所求事件的概率为P=．‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎5．某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如表：‎ 广告费用x（万元）‎ ‎4‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎5‎ 销售额y（万元）‎ ‎49‎ ‎26‎ ‎39‎ ‎54‎ 根据上表可得回归方程=x+中的为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为（　　）‎ A．63.6万元 B．67.7万元 C．65.5万元 D．72.0万元 ‎【考点】线性回归方程．‎ ‎【分析】根据表中所给的数据，广告费用x与销售额y（万元）的平均数，得到样本中心点，代入样本中心点求出的值，写出线性回归方程．将x=6代入回归直线方程，得y，可以预报广告费用为6万元时销售额．‎ ‎【解答】解：由表中数据得： =3.5， ==42，‎ 又回归方程=x+中的为9.4，‎ 故=42﹣9.4×3.5=9.1，‎ ‎∴=9.4x+9.1．‎ 将x=6代入回归直线方程，得y=9.4×6+9.1=65.5（万元）．‎ ‎∴此模型预报广告费用为6万元时销售额为65.5（万元）．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎6．在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，B1C1=A1C1，AC1⊥A1B，M、N分别是A1B1，AB的中点，给出如下三个结论：①C1M⊥平面ABB1A1；②A1B⊥AM；③平面AMC1∥平面CNB1；其中正确结论的个数是（　　）‎ A．0 B．1 C．2 D．3‎ ‎【考点】平面与平面平行的判定；空间中直线与直线之间的位置关系；直线与平面垂直的判定．‎ ‎【分析】由直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥平面A1B1C1，C1M⊂平面A1B1C1，知C1M⊥AA1，由B1C1=A1C1，M是A1B1的中点，‎ 知C1M⊥A1B1，故C1M⊥平面ABB1A1；由C1M⊥平面ABB1A1，AM⊂平面ABB1A1，知A1B⊥C1M，由AC1⊥A1B，AC1∩C1M=C1，知A1B⊥AM；由AM∥B1N，C1M∥CN，知平面AMC1∥平面CNB1．‎ ‎【解答】解：∵直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥平面A1B1C1，C1M⊂平面A1B1C1，‎ ‎∴C1M⊥AA1，‎ ‎∵B1C1=A1C1，M是A1B1的中点，‎ ‎∴C1M⊥A1B1，‎ ‎∵AA1∩A1B1=A1，‎ ‎∴C1M⊥平面ABB1A1，故①正确．‎ ‎∵C1M⊥平面ABB1A1，AM⊂平面ABB1A1，‎ ‎∴A1B⊥C1M，‎ ‎∵AC1⊥A1B，AC1∩C1M=c1，‎ ‎∴A1B⊥平面AC1M，‎ ‎∵AM⊂平面AC1M，‎ ‎∴A1B⊥AM，即②正确；‎ ‎∵由题设得到AM∥B1N，C1M∥CN，‎ ‎∴平面AMC1∥平面CNB1，故③正确．‎ 故选D．‎ ‎　‎ ‎7．已知抛物线y2=4x的焦点为F，准线为交于A，B两点，若△FAB为直角三角形，则双曲线的离心率是（　　）‎ A． B． C．2 D．‎ ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】依题意，可求得物线的准线方程与焦点的坐标，从而可求得点A，B的坐标，利用•=0可求得a2的值，从而可求得双曲线的离心率．‎ ‎【解答】由抛物线y2=4x得：抛物线的准线方程为x=﹣1，抛物线的焦点F的坐标是（1，0）．‎ 令﹣y2=1中的x=﹣1，得：﹣y2=1，‎ ‎∴y2=﹣1‎ ‎∴y=，或y=﹣．‎ ‎∴A、B的坐标分别是（﹣1，﹣）、（﹣1，）．‎ ‎∴向量=（﹣2，﹣），向量=（﹣2，）．‎ ‎∵△FAB是Rt△，显然有：||=||， •=0，‎ ‎∴4﹣（﹣1）=0‎ ‎∴a2=，‎ ‎∴c2=+1=．‎ ‎∴e2==6，‎ ‎∴e=．‎ ‎∴双曲线的离心率是．‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎8．长方体ABCD﹣A1B1C1D1中AB=AA1=2，AD=1，E为CC1的中点，则异面直线BC1与AE所成角的余弦值为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】异面直线及其所成的角．‎ ‎【分析】建立空间直角坐标系，先相关点的坐标，再相关向量的坐标，再进行运算．‎ ‎【解答】解析：建立坐标系如图．则A（1，0，0），E（0，2，1），B（1，2，0），C1（0，2，2）．‎ ‎=（﹣1，0，2），A=（﹣1，2，1），‎ cos＜＞═．‎ 所以异面直线BC1与AE所成角的余弦值为．‎ 故选B ‎　‎ ‎9．在甲、乙等6个同学参加的一次演讲比赛活动中，每个同学的节目集中安排在一起．若采用抽签的方式随机确定各同学的演讲顺序（序号为1，2，…，6），则甲、乙两位同学的演讲序号至少有一个为奇数的概率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】古典概型及其概率计算公式．‎ ‎【分析】先求出甲、乙两位同学的演讲序号都是偶数的概率，用1减去此概率的值，即得所求．‎ ‎【解答】解：甲、乙两位同学的演讲序号都是偶数的概率等于×=，‎ 故甲、乙两位同学的演讲序号至少有一个为奇数的概率为1﹣=，‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎10．方程lg（x2+y2﹣1）=0所表示的曲线图形是（　　）‎ A． B． C．‎ ‎ D．‎ ‎【考点】函数的图象．‎ ‎【分析】方程x=1（y≠0），或 x2+y2=2（x≥1），由此得到方程表示的曲线．‎ ‎【解答】解：方程即：x=1（y≠0），或 x2+y2=2（x≥1），‎ 表示一条直线x=1（去掉点（1，0））以及圆 x2+y2=2位于直线x=1右侧的部分，‎ 故选D．‎ ‎　‎ ‎11．如图所示，△PAB所在的平面α和四边形ABCD所在的平面β互相垂直，且AD⊥α，BC⊥α，AD=4，BC=8，AB=6．若tan∠ADP﹣2tan∠BCP=1，则动点P在平面α内的轨迹是（　　）‎ A．椭圆的一部分 B．线段 C．双曲线的一部分 D．以上都不是 ‎【考点】双曲线的定义；轨迹方程．‎ ‎【分析】由tan∠ADP=，tan∠BCP=，以及tan∠ADP﹣2tan∠BCP=1，可得|PA|﹣|PB|=4，根据双曲线的定义做出判断．‎ ‎【解答】解：由题意得，△ADP 和△BCP均为直角三角形，且 tan∠ADP==，‎ tan∠BCP==．‎ ‎∵tan∠ADP﹣2tan∠BCP=1，∴|PA|﹣|PB|=4＜|AB|‎ ‎=6，故动点P在平面α内的轨迹是以A、B为 焦点的双曲线的一支，‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎12．设a，b是方程x2+x•cotθ﹣cosθ=0的两个不等的实数根，那么过点A（a，a2）和B（b，b2）的直线与椭圆的位置关系是（　　）‎ A．相离 B．相切 C．相交 D．随θ的变化而变化 ‎【考点】直线与圆锥曲线的关系；一元二次方程的根的分布与系数的关系；直线的两点式方程．‎ ‎【分析】由a与b为一元二次方程的两个不等的实根，利用韦达定理表示出a+b和ab，求出AB的斜率写出直线AB的方程，由直线AB与坐标轴的交点都在椭圆内可知直线与椭圆相交 ‎【解答】解：由题意可得，a+b=﹣cotθ，ab=﹣cosθ，且cot2θ+4cosθ＞0‎ 又A（a，a2）、B（b，b2），‎ 得到直线AB的斜率k=a+b，‎ 所以直线lAB：y﹣b2=（b+a）（x﹣b）即y=（b+a）x﹣ab ‎∴cotθ x+y﹣cosθ=0‎ 令x=0，y=cosθ，与y轴交点（0，cosθ）在椭圆内 令y=0，x=﹣sinθ，与y轴交点（0，sinθ）在椭圆内 直线AB与椭圆x2+=1的位置关系是相交 故选C ‎　‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．‎ ‎13．已知命题：“∃x∈[1，2]，使x2+2x﹣a≥0”为真命题，则a的取值范围是　（﹣∞，8]　．‎ ‎【考点】特称命题．‎ ‎【分析】求出x∈[1，2]时，x2+2x的最大值，可得x2+2x﹣a的最大值，即可求出a的范围．‎ ‎【解答】解：因为命题“∃x∈[1，2]，使x2+2x﹣a≥0”为真命题，‎ x∈[1，2]时，x2+2x的最大值为8，‎ 所以8﹣a≥0，即a≤8时，命题“∃x∈[1，2]，使x2+2x﹣a≥0”为真命题．‎ 所以a的取值范围：（﹣∞，8]．‎ 故答案为：（﹣∞，8]．‎ ‎　‎ ‎14．若样本1+x1，1+x2，1+x3，…..1+xn，的平均数为10，方差为2，则对于样本2+x1，2+x2，2+x3，…..2+xn，，其平均数和方差的和为　13　．‎ ‎【考点】极差、方差与标准差；众数、中位数、平均数．‎ ‎【分析】利用求平均数公式和方差公式，再根据已知条件样本1+x1，1+x2，1+x3，…..1+xn，的平均数为10，方差为2，利用整体代入法进行求解．‎ ‎【解答】解：∵样本1+x1，1+x2，1+x3，…..1+xn，的平均数为10，方差为2，‎ ‎∴==10，‎ ‎∴1+=10，∴=9，‎ ‎==2，‎ ‎∵样本2+x1，2+x2，2+x3，…2+xn，‎ ‎∴=2+=2+9=11，‎ ‎∴‎ ‎==2，‎ ‎∴样本2+x1，2+x2，2+x3，…..2+xn，，其平均数和方差的和为：11+2=13；‎ 故答案为：13．‎ ‎　‎ ‎15．在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC顶点A（﹣4，0）和C（4，0），顶点B在椭圆上，则=　　．‎ ‎【考点】椭圆的定义；正弦定理．‎ ‎【分析】先利用椭圆的定义求得a+c，进而由正弦定理把原式转换成边的问题，进而求得答案．‎ ‎【解答】解：利用椭圆定义得a+c=2×5=10b=2×4=8‎ 由正弦定理得=‎ 故答案为 ‎　‎ ‎16．直线与抛物线y2=4x相交于A、B两点，与x轴相交于点F，若，则=　　．‎ ‎【考点】直线与圆锥曲线的关系；向量在几何中的应用．‎ ‎【分析】直线过抛物线的焦点F（1，0），把直线方程代入抛物线的方程解得A、B 的坐标，由得 到2λ﹣μ=0，从而求得 的值．‎ ‎【解答】解：直线过抛物线的焦点F（1，0），把直线方程代入抛物线的方程解得 ‎，或，不妨设A（3，2）、B （，﹣）．‎ ‎∵，∴（1，0）=（3λ，2λ）+（μ，﹣μ） ‎ ‎=（3λ+μ，2λ﹣μ ）．‎ ‎∴3λ+μ=1，2λ﹣μ=0，λ≤μ．∴=，‎ 故答案为．‎ ‎　‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17．如图茎叶图记录了甲、乙两组四名同学的植树棵数，乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以X表示．‎ ‎（1）如果X=8，求乙组同学植树棵数的平均数和标准差；‎ ‎（2）如果X=9，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵数为19的概率．‎ ‎【考点】等可能事件的概率；茎叶图；众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差．‎ ‎【分析】（1）直接根据平均数、方差、标准差的定义求出乙组同学植树棵数的平均数和标准差．‎ ‎（2）当X=9时，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，共有4×4=16种可能，而这两名同学的植树总棵数为19的情况有 2+2=4种，由此求得两名同学的植树总棵数为19的概率．‎ ‎【解答】解：（1）当X=8时，由茎叶图可知，乙组同学的植树棵数是：8，8，9，10，‎ 所以平均数为，‎ 方差为，‎ ‎∴标准差．‎ ‎（2）当X=9时，由茎叶图可知，甲组同学的植树棵数是：9，9，11，11，‎ 乙组同学的植树棵数是：9，8，9，10．‎ 分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，共有4×4=16种可能，‎ 其中满足这两名同学的植树总棵数为19的情况有 2+2=4种，‎ 这两名同学的植树总棵数为19的概率等于 =．‎ ‎　‎ ‎18．命题p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0，其中a＜0；命题q：实数x满足x2﹣x﹣6≤0或x2+2x﹣8＞0；若￢p是￢q的必要不充分条件，求a的取值范围．‎ ‎【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；命题的否定；一元二次不等式的应用．‎ ‎【分析】利用不等式的解法求解出命题p，q中的不等式范围问题，结合二者的关系得出关于字母a的不等式，从而求解出a的取值范围．‎ ‎【解答】解：x2﹣4ax+3a2=0对应的根为a，3a；‎ 由于a＜0，‎ 则x2﹣4ax+3a2＜0的解集为（3a，a），‎ 故命题p成立有x∈（3a，a）；‎ 由x2﹣x﹣6≤0得x∈[﹣2，3]，‎ 由x2+2x﹣8＞0得x∈（﹣∞，﹣4）∪（2，+∞），‎ 故命题q成立有x∈（﹣∞，﹣4）∪[﹣2，+∞）．‎ 若¬p是¬q的必要不充分条件，即p是q的充分不必要条件，‎ 因此有（3a，a）⊊（﹣∞，﹣4）或（3a，a）⊊[﹣2，+∞），‎ 又a＜0，解得a≤﹣4或；‎ 故a的范围是a≤﹣4或．‎ ‎　‎ ‎19．已知双曲线C：的离心率为，左顶点为（﹣1，0）．‎ ‎（1）求双曲线方程；‎ ‎（2）已知直线x﹣y+m=0与双曲线C交于不同的两点A、B，且线段AB的中点在圆x2+y2=5上，求m的值和线段AB的长．‎ ‎【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；双曲线的标准方程．‎ ‎【分析】（1）依题意，故，所以b2=2，由此能求出双曲线方程．‎ ‎（2）由，得x2﹣2mx﹣m2﹣2=0，故，中点在直线x﹣y+m=0上，所以可得中点坐标为（m，2m），由此能求出m的值和线段AB的长．．‎ ‎【解答】解：（1）依题意，‎ ‎∴，‎ 所以b2=2‎ 所以双曲线方程为 ‎（2）由，‎ 得x2﹣2mx﹣m2﹣2=0，‎ ‎∴，‎ 又∵中点在直线x﹣y+m=0上，‎ 所以中点坐标为（m，2m），‎ 代入x2+y2=5得m=±1‎ ‎|AB|=．‎ ‎　‎ ‎20．如图，直角梯形ABCD与等腰直角三角形ABE所在的平面互相垂直．AB∥CD，AB⊥BC，AB=2CD=2BC，EA⊥EB．‎ ‎（1）求直线EC与平面ABE所成角的余弦值；‎ ‎（2）线段EA上是否存在点F，使EC∥平面FBD？若存在，求出；若不存在，说明理由．‎ ‎【考点】直线与平面平行的判定；直线与平面所成的角．‎ ‎【分析】（1）由已知可得BC⊥平面ABE，则∠CEB即为直线EC与平面ABE所成的角，设BC=a，则AB=2a，BE=a，可求CE=a，直角三角形CBE中，即可求得sin∠CEB=的值，进而可求直线EC与平面ABE所成角的余弦值．‎ ‎（2）连结AC，交BD于点M，在AE上取点F，使=，连结MF、BF、DF，证明FM∥EC，即可证明EC∥平面FBD，从而可得点F满足=时，有EC∥平面FBD．‎ ‎【解答】解：（1）因为平面ABE⊥平面ABCD，且AB⊥BC，‎ 所以BC⊥平面ABE．…‎ 则∠CEB即为直线EC与平面ABE所成的角 …‎ 设BC=a，则AB=2a，BE=a，‎ 所以CE=a，…‎ 直角三角形CBE中，sin∠CEB===…‎ 可得：…‎ 即直线EC与平面ABE所成角的余弦值为． …‎ ‎（2）存在点F，且=时，有EC∥平面FBD． 证明如下：…‎ 连结AC，交BD于点M，在AE上取点F，使=，连结MF、BF、D 因为AB∥CD，AB=2CD，‎ 所以，…‎ 所以，…‎ 因为=，所以FM∥EC…‎ EC⊄平面FBD，‎ 所以EC∥平面FBD．‎ 即点F满足=时，有EC∥平面FBD． …‎ ‎　‎ ‎21．已知梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=∠BAD=，AB=BC=2AD=4，E、F分别是AB、CD上的点，EF∥BC，AE=x，G是BC的中点．沿EF将梯形ABCD翻折，使平面AEFD⊥平面EBCF （如图）．‎ ‎（1）当x=2时，求证：BD⊥EG；‎ ‎（2）若以F、B、C、D为顶点的三棱锥的体积记为f（x），求f（x）的最大值；‎ ‎（3）当f（x）取得最大值时，求二面角D﹣BF﹣C的余弦值．‎ ‎【考点】二面角的平面角及求法；棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的性质．‎ ‎【分析】（1）由AEFD⊥平面EBCF，EF∥BC∥AD，可得AE⊥EF，进而由面面垂直的性质定理得到AE⊥平面EBCF，进而建立空间坐标系E﹣xyz，求出BD，EG的方向向量，根据两个向量的数量积为0，即可证得BD⊥EG；‎ ‎（2）根据等体积法，我们可得f（x）=VD﹣BCF=VA﹣BFC的解析式，根据二次函数的性质，易求出f（x）有最大值；‎ ‎（3）根据（2）的结论，我们求出平面BDF和平面BCF的法向量，代入向量夹角公式即可得到二面角D﹣BF﹣C的余弦值．‎ ‎【解答】证明：（1）∵平面AEFD⊥平面EBCF，∵，‎ ‎∴AE⊥EF，∴AE⊥平面EBCF，AE⊥EF，AE⊥BE，‎ 又BE⊥EF，故可如图建立空间坐标系E﹣xyz．‎ ‎∵EA=2，∴EB=2，‎ 又∵G为BC的中点，BC=4，∴BG=2．‎ 则A（0，0，2），B（2，0，0），G（2，2，0），D（0，2，2），E（0，0，0），‎ ‎∴=（﹣2，2，2），=（2，2，0），=（﹣2，2，2）•（2，2，0）=0，‎ ‎∴BD⊥EG．‎ 解：（2）∵AD∥面BFC，‎ 所以f（x）=VD﹣BCF=VA﹣BFC===，‎ 即x=2时f（x）有最大值为．‎ ‎（3）设平面DBF的法向量为，‎ ‎∵AE=2，B（2，0，0），D（0，2，2），‎ F（0，3，0），∴， =（﹣2，2，2），‎ 则，‎ 即，‎ 取x=3，y=2，z=1，‎ ‎∴‎ ‎∵AE⊥面BCF，‎ ‎∴面BCF一个法向量为，‎ 则cos＜＞=，‎ 由于所求二面角D﹣BF﹣C的平面角为钝角，所以此二面角的余弦值为﹣．‎ ‎　‎ ‎22．已知椭圆的离心率为，其左、右焦点分别为F1，F2，点P（x0，y0）是坐标平面内一点，且（O为坐标原点）．‎ ‎（1）求椭圆C的方程；‎ ‎（2）过点且斜率为k的动直线l交椭圆于A、B两点，在y轴上是否存在定点M，使以AB为直径的圆恒过这个点？若存在，求出M的坐标，若不存在，说明理由．‎ ‎【考点】椭圆的简单性质；椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题．‎ ‎【分析】（1）设出P的坐标，利用|OP|的值求得x0和y0的关系式，同时利用求得x0和y0的另一关系式，进而求得c，通过椭圆的离心率求得a，最后利用a，b和c的关系求得b，则椭圆的方程可得．‎ ‎（2）设出直线l的方程，与椭圆方程联立消去y，设A（x1，y1），B（x2，y2），则可利用韦达定理表示出x1+x2和x1x2，假设在y轴上存在定点M（0，m），满足题设，则可表示出，利用=0求得m的值．‎ ‎【解答】解：（1）设P（x0，y0），F1（﹣c，0），F2（c，0），‎ 则由；‎ 由得，‎ 即．‎ 所以c=1‎ 又因为．‎ 因此所求椭圆的方程为：．‎ ‎（2）动直线l的方程为：，‎ 由得．‎ 设A（x1，y1），B（x2，y2）．‎ 则．‎ 假设在y轴上存在定点M（0，m），满足题设，则．‎ ‎=‎ ‎=‎ ‎=‎ ‎=‎ 由假设得对于任意的恒成立，‎ 即解得m=1．‎ 因此，在y轴上存在定点M，使得以AB为直径的圆恒过这个点，‎ 点M的坐标为（0，1）‎ ‎　‎