【数学】2019届一轮复习人教A版导数与函数的单调性学案
第14讲 导数与函数的单调性
考纲要求
考情分析
命题趋势
了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次)．
2017·全国卷Ⅰ，21
2017·江苏卷，11
2017·浙江卷，7
2017·山东卷，15
导数与函数的单调性是高考命题热点问题，题型有利用导数求函数的单调区间和已知单调性求参数的取值范围，难度较大．
分值：5～8分
函数的导数与单调性的关系
函数y＝f(x)在某个区间内可导，则
(1)若f′(x)>0，则f(x)在这个区间内__单调递增__；
(2)若f′(x)<0，则f(x)在这个区间内__单调递减__.
1．思维辨析(在括号内打“√”或“×”)．
(1)若函数f(x)在区间(a，b)上单调递增，那么在区间(a，b)上一定有f′(x)>0.( × )
(2)如果函数在某个区间内恒有f′(x)＝0，则函数f(x)在此区间内没有单调性．( √ )
(3)导数为零的点不一定是极值点．( √ )
(4)三次函数在R上必有极大值和极小值．( × )
解析 (1)错误．函数f(x)在区间(a，b)上单调递增，则f′(x)≥0，故f′(x)>0是f(x)在区间(a，b)上单调递增的充分不必要条件．
(2)正确．如果函数在某个区间内恒有f′(x)＝0，则f(x)为常数函数．如f(x)＝3，则f′(x)＝0，函数f(x)不存在单调性．
(3)正确．导数为零的点不一定是极值点．如函数y＝x3在x＝0处导数为零，但x＝0不是函数y＝x3的极值点．
(4)错误．对于三次函数y＝ax3＋bx2＋cx＋d，y′＝3ax2＋2bx＋c.当Δ＝(2b)2－12ac<0，即b2－3ac<0时，y′＝0无实数根，此时三次函数没有极值．
2．函数y＝x2－ln x的单调递减区间为( B )
A．(－1,1] B．(0,1]
C．[1，＋∞) D．(0，＋∞)
解析 函数y＝x2－ln x的定义域为(0，＋∞)，y′＝x－＝，令y′≤0，则可得0
0)的单调递减区间是(0,4)，则m＝！！！ ###.
解析 ∵f′(x)＝3mx2＋6(m－1)x，f(x)的递减区间为(0,4)，则由f′(x)＝3mx2＋6(m－1)x<0得00，解集在定义域内的部分为单调递增区间；
(4)令f′(x)<0，解集在定义域内的部分为单调递减区间．
方法二：(1)确定函数y＝f(x)的定义域；
(2)求导数y′＝f′(x)，令f′(x)＝0，解此方程，求出在定义域内的一切实根；
(3)把函数f(x)的间断点(即f(x)的无定义点)的横坐标和上面的各实数根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数f(x)的定义域分成若干个小区间；
(4)确定f′(x)在各个区间内的符号，根据符号判定函数在每个相应区间内的单调性．
【例1】 已知函数f(x)＝＋－ln x－，其中a∈R，且曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于直线y＝x.
(1)求a的值；
(2)求函数f(x)的单调区间．
解析 (1)f′(x)＝－－，f′(1)＝－－a.
由题意，得－－a＝－2，解得a＝.
(2)由(1)知，f′(x)＝－－＝，f(x)的定义域为(0，＋∞)．由f′(x)>0，得x2－4x－5>0(x>0)，解得x>5；
由f′(x)<0，得x2－4x－5<0(x>0)，解得00)；
(2)f(x)＝x3－(a＋a2)x2＋a3x＋a2.
解析 (1)函数的定义域为{x|x≠0}．
f′(x)＝′＝1－＝(x＋)(x－)．
要求f(x)的单调递减区间，不妨令f′(x)<0，
则(x＋)·(x－)<0，解得－1时，不等式解集为{x|a1时，函数y＝x3－(a＋a2)x2＋a3x＋a2的单调递减区间为(a，a2)；
当00(或f′(x)<0)在该区间上存在解集，这样就把函数的单调性问题转化成了不等式问题．
(3)若已知f(x)在区间I上的单调性，区间I中含有参数时，可先求出f(x)的单调区间，令I是其单调区间的子集，从而可求出参数的取值范围．
【例3】 已知函数f(x)＝x3－ax－1．
(1)若f(x)在R上为增函数，求a的取值范围；
(2)若f(x)在(1，＋∞)上为增函数，求a的取值范围；
(3)若f(x)在(－1,1)上为减函数，求a的取值范围；
(4)若f(x)的单调递减区间为(－1,1)，求a的值；
(5)若f(x)在(－1,1)上不单调，求a的取值范围．
解析 (1)∵f(x)在R上为增函数，∴f′(x)＝3x2－a≥0在R上恒成立．∴a≤3x2对x∈R恒成立．
∵3x2≥0，∴只需a≤0.又∵a＝0时，f′(x)＝3x2≥0，f(x)＝x3－1在R上为增函数，∴a的取值范围是(－∞，0]．
(2)∵f′(x)＝3x2－a，且f(x)在(1，＋∞)上为增函数，
∴f′(x)≥0在(1，＋∞)上恒成立，∴3x2－a≥0在(1，＋∞)上恒成立，∴a≤3x2在(1，＋∞)上恒成立，∴a≤3，
即a的取值范围是(－∞，3]．
(3)∵f′(x)＝3x2－a，且f(x)在(－1,1)上为减函数，
∴f′(x)≤0⇔3x2－a≤0在(－1,1)上恒成立，
∴a≥3x2在(－1,1)上恒成立．
∵x∈(－1,1)，∴3x2<3，即a≥3.∴a的取值范围是[3，＋∞)．
(4)f′(x)＝3x2－a.
①当a≤0时，f′(x)≥0，故f(x)在(－∞，＋∞)上为增函数．
②当a>0时，由f′(x)<0，得3x2－a<0，
∴x2<，即－0时，∵f(x)在(－1,1)上不单调，
∴f′(x)＝0在(－1,1)内有解x＝±，
∴0<<1，解得0b>c B．c>b>a
C．c>a>b D．a>c>b
(2)(2017·江苏卷)已知函数f(x)＝x3－2x＋ex－，其中e是自然对数的底数．若f(a－1)＋f(2a2)≤0，则实数a的取值范围是！！！ ###.
解析 (1)∵函数y＝f(x－1)的图象关于点(1,0)对称，∴y＝f(x)的图象关于点(0,0)对称，∴y＝f(x)为奇函数．
令g(x)＝xf(x)，则g(x)＝xf(x)为偶函数，且g′(x)＝f(x)＋xf′(x)<0在(－∞，0)上恒成立，
∴g(x)＝xf(x)在(－∞，0)上为减函数，在(0，＋∞)上为增函数．
∵c＝·f＝(－2)·f(－2)＝2f(2)，
0a>b，故选C．
(2)由f(x)＝x3－2x＋ex－，得f(－x)＝－x3＋2x＋－ex＝－f(x)，所以f(x)是R上的奇函数，又f′(x)＝3x2－2＋ex＋≥3x2－2＋2＝3x2≥0，当且仅当x＝0时取等号，所以f(x)在其定义域内单调递增，所以不等式f(a－1)＋f(2a2)≤0⇔f(a－1)≤－f(2a2)＝f(－2a2)⇔a－1≤－2a2，解得－1≤a≤，故实数a的取值范围是.
1．(2017·浙江卷)函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)的图象可能是( D )
解析 根据题意，已知导函数的图象有三个零点，且每个零点的两边导函数值的符号相反，因此函数f(x)在这些零点处取得极值，排除A项，B项；记函数f′(x)的零点从左到右分别为x1，x2，x3，又在(－∞，x1)上f′(x)<0，在(x1，x2)上f′(x)>0，所以函数f(x)在(－∞，x1)上单调递减，排除C项，故选D．
2．函数f(x)的定义域为R，f(0)＝2，对任意的x∈R，f(x)＋f′(x)>1，则不等式ex·f(x)>ex＋1的解集是( A )
A．{x|x>0} B．{x|x<0}
C．{x|x<－1或x>1} D．{x|x<－1或01，∴g′(x)＝ex(f(x)＋f′(x)－1)>0，
∴g(x)在R上是增函数．
又∵g(0)＝e0·f(0)－e0－1＝0，∴ex·f(x)>ex＋1⇔ex·f(x)－ex－1>0⇔g(x)>0⇔g(x)>g(0)⇔x>0，故选A．
3．(2018·河北邯郸一模)已知函数f(x)＝ln x＋ax2－x－m(m∈R)为增函数，那么实数a
的取值范围为！！！ ###.
解析 f′(x)＝＋ax－1，x>0.依题意可得f′(x)≥0，
则a≥max，而－＝－2＋≤，
当x＝2时，等号成立，所以a的取值范围是.
4．设函数f(x)＝x3＋ax2－9x－1(a<0)，若曲线y＝f(x)的斜率最小的切线与直线12x＋y＝6平行，求：
(1)a的值；
(2)函数f(x)的单调区间．
解析 (1)∵f(x)＝x3＋ax2－9x－1，
∴f′(x)＝3x2＋2ax－9＝32－9－，
即x＝－时，f′(x)取最小值－9－.
∵斜率最小的切线与12x＋y＝6平行，∴－9－＝－12，即a2＝9.解得a＝±3，由题设a<0，∴a＝－3.
(2)由(1)知a＝－3，因此f(x)＝x3－3x2－9x－1，
f′(x)＝3x2－6x－9＝3(x－3)(x＋1)．
令f′(x)＝0，解得x1＝－1，x2＝3.
当x∈(－∞，－1)时，f′(x)>0，故f(x)在(－∞，－1)上为增函数；
当x∈(－1,3)时，f′(x)<0，故f(x)在(－1,3)上为减函数；
当x∈(3，＋∞)时，f′(x)>0，故f(x)在(3，＋∞)上为增函数．
可见，函数f(x)的单调递增区间为(－∞，－1)和(3，＋∞)，单调递减区间为(－1,3)．
易错点 导数与单调性的关系不明确
错因分析：可导函数f(x)在某区间上f′(x)>0(f′(x)<0)为f(x)在该区间上是单调递增(减)函数的充分不必要条件．
【例1】 已知函数f(x)＝－ln x在[1，＋∞)上是减函数，求实数m的取值范围．
解析 ∵f(x)＝－ln x在[1，＋∞)上是减函数，
∴f′(x)＝－＝≤0在[1，＋∞)上恒成立，
即x2－(2m－2)x＋1≥0在[1，＋∞)上恒成立，
则2m－2≤x＋在[1，＋∞)上恒成立．
∵x＋∈[2，＋∞)，∴2m－2≤2，得m≤2.
∴实数m的取值范围是(－∞，2]．
【跟踪训练1】 y＝x3＋bx2＋(b＋2)x＋3是R上的单调增函数，则实数b的取值范围为__[－1,2]__.
解析 y′＝x2＋2bx＋b＋2≥0恒成立(显然y′不恒为零)，
∴Δ＝4b2－4(b＋2)≤0，整理得(b－2)(b＋1)≤0，∴－1≤b≤2.
课时达标 第14讲
[解密考纲]本考点主要考查利用导数研究函数的单调性．高考中导数试题经常和不等式、函数、三角函数、数列等知识相结合，作为中档题或压轴题出现．三种题型均有出现，以解答题为主，难度较大．
一、选择题
1．函数y＝f(x)的图象如图所示，则y＝f′(x)的图象可能是( D )
解析 由函数f(x)的图象可知，f(x)在(－∞，0)上单调递增，f(x)在(0，＋∞)上单调递减，所以在(－∞，0)上f′(x)>0，在(0，＋∞)上f′(x)<0，故选D．
2．函数f(x)＝x－ln x的单调递减区间为( A )
A．(0,1) B．(0，＋∞)
C．(1，＋∞) D．(－∞，0)∪(1，＋∞)
解析 函数的定义域是(0，＋∞)，
且f′(x)＝1－＝，令f′(x)<0，
解得00”是“f(x)在R上单调递增”的( A )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析 f′(x)＝x2＋a，当a≥0时，f′(x)≥0恒成立，故“a>0”是“f(x)在R上单调递增”的充分不必要条件．
4．(2016·全国卷Ⅰ)函数y＝2x2－e|x|在[－2,2]的图象大致为( D )
解析 易知y＝2x2－e|x|是偶函数，设f(x)＝2x2－e|x|，则f(2)＝2×22－e2＝8－e2，所以00，当ln 40的解集为( D )
A．(－∞，－2)∪(1，＋∞)
B．(－∞，2)∪(1,2)
C．(－∞，－1)∪(－1,0)∪(2，＋∞)
D．(－∞，－1)∪(－1,1)∪(3，＋∞)
解析 由题图可知，f′(x)>0，则x∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)，f′(x)<0，则x∈(－1,1)，不等式(x2－2x－3)f′(x)>0等价于或
即或
解得x∈(－∞，－1)∪(－1,1)∪(3，＋∞)．
6．已知a≥0，函数f(x)＝(x2－2ax)ex，若f(x)在[－1,1]上是单调减函数，则a的取值范围是( C )
A． B．
C． D．
解析 f′(x)＝(2x－2a)ex＋(x2－2ax)ex＝[x2＋(2－2a)x－2a]ex，由题意知当x∈[－1,1]时，f′(x)≤0恒成立，即x2＋(2－2a)x－2a≤0恒成立．令g(x)＝x2＋(2－2a)x－2a，则有
即解得a≥.
二、填空题
7．函数f(x)＝x3－15x2－33x＋6的单调减区间为__(－1,11)__.
解析 由f(x)＝x3－15x2－33x＋6得f′(x)＝3x2－30x－33，令f′(x)<0，即3(x－11)(x＋1)<0，解得－10，故函数exf(x)＝ex·2－x在(－∞，＋∞)上为增函数，故①符合要求；
对于②，exf(x)＝ex·3－x，故[exf(x)]′＝(ex·3－x)′＝ex·3－x(1－ln 3)<0，故函数exf(x)＝ex·3－x在(－∞，＋∞)上为减函数，故②不符合要求；
对于③，exf(x)＝ex·x3，故[exf(x)]′＝(ex·x3)′＝ex·(x3＋3x2)，显然函数exf(x)＝ex·x3在(－∞，＋∞)上不单调，故③不符合要求；
对于④，exf(x)＝ex·(x2＋2)，故[exf(x)]′＝[ex·(x2＋2)]′＝ex·(x2＋2x＋2)＝ex·[(x＋1)2＋1]>0，故函数exf(x)＝ex·(x2＋2)在(－∞，＋∞)上为增函数，故④符合要求．
综上，具有M性质的函数的序号为①④.
三、解答题
10．已知函数f(x)＝(k为常数，e是自然对数的底数)，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与x轴平行．
(1)求k的值；
(2)求f(x)的单调区间．
解析 (1)由题意得f′(x)＝，又f′(1)＝＝0，故k＝1．
(2)由(1)知，f′(x)＝.
设h(x)＝－ln x－1(x>0)，则h′(x)＝－－<0，
即h(x)在(0，＋∞)上是减函数．
由h(1)＝0知，当00，从而f′(x)>0；
当x>1时，h(x)<0，从而f′(x)<0.
综上可知，f(x)的单调递增区间是(0,1)，递减区间是(1，＋∞)．
11．已知二次函数h(x)＝ax2＋bx＋2，其导函数y＝h′(x)的图象如图，f(x)＝6ln x＋h(x)．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)若函数f(x)在区间上是单调函数，求实数m的取值范围．
解析 (1)由已知，h′(x)＝2ax＋b，其图象为直线，且过(0，－8)，(4,0)两点，把两点坐标代入h′(x)＝2ax＋b，
∴解得
∴h(x)＝x2－8x＋2，h′(x)＝2x－8，
∴f(x)＝6ln x＋x2－8x＋2.
(2)f′(x)＝＋2x－8＝，
∵x>0，∴f′(x)，f(x)的变化如下.
x
(0,1)
1
(1,3)
3
(3，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
单调递增
单调递减
单调递增
∴f(x)的单调递增区间为(0,1)和(3，＋∞)，递减区间为(1,3)，
要使函数f(x)在区间上是单调函数，
则10，求函数f(x)的单调区间；
(3)设函数g(x)＝f(x)＋2x，且g(x)在区间(－2，－1)内存在单调递减区间，求实数a的取值范围．
解析 (1)f′(x)＝x2－ax＋b，由题意得即
(2)由(1)得，f′(x)＝x2－ax＝x(x－a)(a>0)，
当x∈(－∞，0)时，f′(x)>0；当x∈(0，a)时，f′(x)<0；
当x∈(a，＋∞)时，f′(x)>0.
所以函数f(x)的增区间为(－∞，0)和(a，＋∞)，减区间为(0，a)．
(3)g′(x)＝x2－ax＋2，依题意，存在x∈(－2，－1)，
使不等式g′(x)＝x2－ax＋2≤0成立，
即x∈(－2，－1)时，a≤max＝－2，
当且仅当x＝，即x＝－时等号成立，
所以满足要求的a的取值范围是(－∞，－2]．
