2018届二轮复习 三角恒等变换与解三角形 学案（全国通用）

2018届二轮复习 三角恒等变换与解三角形 学案（全国通用）

专题07 三角恒等变换与解三角形 和差角公式、二倍角公式是高考的热点，常与三角函数式的求值、化简交汇命题．既有选择题、填空题，又有解答题，难度适中，主要考查公式的灵活运用及三角恒等变换能力．‎ ‎1．和差角公式 ‎(1)cos(α±β)＝cosαcosβ∓sinαsinβ；‎ ‎(2)sin(α±β)＝sinαcosβ±cosαsinβ；‎ ‎(3)tan(α±β)＝.‎ ‎2．倍角公式 ‎(1)sin2α＝2sinαcosα；‎ ‎(2)cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；‎ ‎(3)tan2α＝.‎ ‎3．半角公式 ‎(1)sin＝±；‎ ‎(2)cos＝±；‎ ‎(3)tan＝±；‎ ‎(4)tan＝＝.‎ ‎4．正弦定理 ＝＝＝2R(2R为△ABC外接圆的直径)．‎ ‎5．余弦定理 a2＝b2＋c2－2bccosA，‎ b2＝a2＋c2－2accosB，‎ c2＝a2＋b2－2abcosC.‎ ‎6．面积公式 S△ABC＝bcsinA＝acsinB＝absinC.‎ ‎7．解三角形 ‎(1)已知两角及一边，利用正弦定理求解；‎ ‎(2)已知两边及一边的对角，利用正弦定理或余弦定理求解，解的情况可能不唯一，需讨论；‎ ‎(3)已知两边及其夹角，利用余弦定理求解；‎ ‎(4)已知三边，利用余弦定理求解．‎ ‎8．“变”是解决三角问题的主题，变角、变名、变表达形式、变换次数等比比皆是，强化变换意识，抓住万变不离其宗——即公式不变，方法不变，要通过分析、归类把握其规律.‎ 考点一　三角函数概念，同角关系及诱导公式 例1、【2017北京，理12】在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称.若，=___________.‎ ‎【答案】‎ ‎【变式探究】 (1)(2016·高考全国乙卷)已知θ是第四象限角，且sin＝，则tan＝________.‎ 解析：基本法：将θ－转化为－.‎ 由题意知sin＝，θ是第四象限角，所以 cos>0，所以cos＝＝.‎ tan＝tan＝－ ‎＝－＝－＝－.‎ 答案：－ 速解法：由题意知θ＋为第一象限角，设θ＋＝α，‎ ‎∴θ＝α－，‎ ‎∴tan＝tan＝－tan.‎ 如图，不妨设在Rt△ACB中，∠A＝α，由sin α＝可得，‎ BC＝3，AB＝5，AC＝4，‎ ‎∴∠B＝－α，∴tan B＝，‎ ‎∴tan B＝－. ‎ 答案：－ ‎(2)若tan α＞0，则(　　)‎ A．sin α＞0　　　　　　　B．cos α＞0‎ C．sin 2α＞0 D．cos 2α＞0‎ 答案：C 考点二　三角函数的求值与化简 例2、(1)sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝(　　)‎ A．－ B. C．－ D. 解析：基本法：原式＝sin 20°cos 10°＋cos 20°sin 10°＝sin(20°＋10°)＝sin 30°＝，故选D.‎ 速解法：从题目形式上看应是sin(α＋β)公式的展开式．‎ 又∵20°＋10°＝30°，故猜想为sin 30°＝.‎ 答案：D ‎ (2)设α∈，β∈，且tan α＝，则(　　)‎ A．3α－β＝ B．3α＋β＝ C．2α－β＝ D．2α＋β＝ 速解法一：∵tan ＝，‎ 由tan α＝知，α、β应为2倍角关系，A、B项中有3α，不合题意，C项中有2α－β＝.‎ 把β＝2α－代入 ＝ ‎＝＝tan α，题设成立．故选C.‎ 速解法二：＝＝tan ‎∴tan α＝tan 又∵α∈，β∈，∴∈，‎ ‎∴＋∈，∴α＝＋，‎ ‎∴2α＝＋β，∴2α－β＝.故选C.‎ 答案：C 考点三 解三角形 例3、(2016·天津，3，易)在△ABC中，若AB＝，BC＝3，∠C＝120°，则AC＝(　　)‎ A．1 B．‎2 C．3 D．4‎ ‎【变式探究】(2016·课标Ⅲ，8，易)在△ABC中，B＝，BC边上的高等于BC，则cos A＝(　　)‎ A. B. C．－ D．－ 答案：C　解析：如图，作AD⊥BC于D.‎ 设AD＝1，∵B＝，∴BD＝1.‎ 又∵AD＝BC，∴CD＝2，‎ ‎∴AC＝，AB＝，‎ ‎∴sin α＝，cos α＝，sin β＝，‎ cos β＝，‎ ‎∴cos A＝cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β ‎＝×－×＝－.‎ 考点四 正、余弦定理的应用 例 4、【2017课标II，理17】的内角所对的边分别为，已知，‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）若，的面积为，求。‎ ‎【答案】(1)； (2) b=2‎ ‎（2）由，故 又 由余弦定理 及得 所以b=2.‎ ‎【变式探究】（1）在△ABC中，B＝120°，AB＝，A的角平分线AD＝，则AC＝________.‎ ‎（2）在△ABC中，∠A＝，AB＝6，AC＝3，点D在BC边上，AD＝BD，求AD的长．‎ ‎【解析】　(1)如图，在△ABD中，由正弦定理，‎ 得＝，∴sin∠ADB＝.‎ ‎∴∠ADB＝45°，∴∠BAD＝180°－45°－120°＝15°.‎ ‎∴∠BAC＝30°，∠C＝30°，‎ ‎∴BC＝AB＝.‎ 在△ABC中，由正弦定理，‎ 得＝，∴AC＝.‎ ‎(2)设△ABC的内角∠BAC，B，C所对边的长分别是a，b，c，‎ 由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos∠BAC ‎＝(3)2＋62－2×3×6×cos ‎＝18＋36－(－36)＝90，‎ 所以a＝3.‎ ‎【举一反三】如图，A，B，C，D都在同一个与水平面垂直的平面内，B，D为两岛上的两座灯塔的塔顶．测量船于水面A处测得B点和D点仰角分别为75°，30°，于水面C处测得B点和D点的仰角均为60°，AC＝‎0.1 km.试探究图中B，D间距离与另外哪两点间距离相等，然后求B，D的距离(计算结果精确到‎0.01 km，≈1.414，≈2.449)．‎ 解：在△ACD中，∠DAC＝30°，∠ADC＝60°－∠DAC＝30°，‎ 所以CD＝AC＝0.1.‎ 又∠BCD＝180°－60°－60°＝60°，‎ 故CB是△CAD底边AD的中垂线，‎ 所以BD＝BA.‎ 在△ABC中，＝，‎ 即AB＝，‎ 又sin 15°＝sin(60°－45°)‎ ‎＝sin 60°cos 45°－cos 60°sin 45°‎ ‎＝×－×＝，‎ 所以AB＝＝，‎ 因此，BD＝≈0.33(km)．‎ 故B，D的距离约为‎0.33 km.‎ ‎1.【2017山东，理9】在中，角，，的对边分别为，，．若为锐角三角形，且满足，则下列等式成立的是 ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】A ‎【解析】 ‎ 所以，选A.‎ ‎2.【2017北京，理12】在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y轴对称.若，=___________.‎ ‎【答案】‎ ‎3.【2017浙江，14】已知△ABC，AB=AC=4，BC=2． 点D为AB延长线上一点，BD=2，连结CD，则△BDC的面积是______，cos∠BDC=_______．‎ ‎【答案】‎ ‎4.【2017课标II，理17】的内角所对的边分别为，已知，‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）若，的面积为，求。‎ ‎【答案】(1)； (2) b=2‎ ‎【解析】b=2（1）由题设及，故 上式两边平方，整理得 ‎ 解得 ‎ ‎（2）由，故 又 由余弦定理 及得 所以b=2. ‎ ‎1.【2016高考新课标2理数】若，则（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】D ‎2.【2016高考新课标3理数】若 ，则（ ）‎ ‎(A) (B) (C) 1 (D) ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 由，得或，所以，故选A．‎ ‎3.【2016年高考四川理数】= .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由二倍角公式得 ‎1.【2016高考新课标3理数】在中，，边上的高等于,则（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】C ‎【解析】设边上的高为，则，所以，．由余弦定理，知，故选C．‎ ‎2.【2016高考新课标2理数】的内角的对边分别为，若，，，则 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】因为，且为三角形的内角，所以，‎ ‎，又因为，所以 ‎.‎ ‎3.【2016高考天津理数】在△ABC中，若,BC=3， ,则AC= （ ）‎ ‎（A）1 （B）2 （C）3 （D）4‎ ‎【答案】A ‎【解析】由余弦定理得,选A.‎ ‎4.【2016高考江苏卷】在锐角三角形中，若，则的最小值是 ▲ .‎ ‎【答案】8.‎ ‎1.【2016年高考四川理数】（本小题满分12分）‎ 在△ABC中，角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且.‎ ‎（I）证明：；‎ ‎（II）若，求.‎ ‎【答案】（Ⅰ）证明详见解析；（Ⅱ）4.‎ ‎【解析】‎ Ⅰ）根据正弦定理，可设===k(k>0)．‎ 则a=ksin A，b=ksin B，c=ksin C．‎ 代入+=中，有 ‎+=，变形可得 sin Asin B=sin Acos B+cos Asin B=sin(A+B)．‎ 在△ABC中，由A+B+C=π，有sin(A+B)=sin(π–C)=sin C，‎ 所以sin Asin B=sin C．‎ ‎2.【2016高考浙江理数】（本题满分14分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c. 已知b+c=‎2a cos B.‎ ‎（I）证明：A=2B；‎ ‎（II）若△ABC的面积，求角A的大小.‎ ‎【答案】（I）证明见解析；（II）或．‎ ‎【解析】‎ ‎（Ⅰ）由正弦定理得，‎ 故，‎ 于是．‎ 又，，故，所以或，‎ 因此（舍去）或，‎ 所以，．‎ ‎3.【2016高考山东理数】（本小题满分12分）‎ 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 ‎ ‎（Ⅰ）证明：a+b=‎2c;‎ ‎（Ⅱ）求cosC的最小值.‎ ‎【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）‎ ‎【解析】‎ ‎（Ⅰ）由题意知，‎ 化简得，‎ 即.‎ 因为,‎ 所以.‎ 从而.‎ 由正弦定理得.‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知,‎ 所以 ，‎ 当且仅当时，等号成立.‎ 故 的最小值为. ‎ ‎【2015高考四川，理12】 .‎ ‎【答案】.‎ ‎【2015高考浙江，理11】函数的最小正周期是 ，单调递减区间是 ．‎ ‎【答案】，，.‎ ‎【解析】，故最小正周期为，单调递减区间为 ‎，.‎ ‎【2015高考天津，理15】（本小题满分13分）已知函数，‎ ‎(I)求最小正周期；‎ ‎(II)求在区间上的最大值和最小值.‎ ‎【答案】(I); (II) ,.‎ ‎【解析】(I) 由已知，有 ‎.‎ 所以的最小正周期.‎ ‎(II)因为在区间上是减函数，在区间上是增函数，‎ ‎，所以在区间上的最大值为，最小值为.‎ ‎【2015高考重庆，理18】 已知函数 ‎ （1）求的最小正周期和最大值；‎ ‎ （2）讨论在上的单调性.‎ ‎【答案】（1）最小正周期为，最大值为；（2）在上单调递增；在上单调递减.‎ ‎（2）当时，有，从而 当时,即时，单调递增，‎ 当时,即时，单调递减，‎ 综上可知，在上单调递增；在上单调递减.‎ ‎【2015高考上海，理14】在锐角三角形中，，为边上的点，与的面积分别为和．过作于，于，则 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【2015高考广东，理11】设的内角，，的对边分别为，，，若， ，，则 . ‎ ‎【答案】．‎ ‎【解析】因为且，所以或，又，所以，，又，由正弦定理得即解得，故应填入．‎ ‎【2015高考湖北，理12】函数的零点个数为 ．‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】因为 ‎ ‎ ‎ ‎ 所以函数的零点个数为函数与图象的交点的个数，‎ 函数与图象如图，由图知，两函数图象有2个交点，‎ 所以函数有2个零点.‎ ‎【2015高考湖北，理13】如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到处时测得公路北侧一山顶D在西偏北的方向上，行驶‎600m后到达处，测得此山顶在西偏北的方向上，仰角为，则此山的高度 m. ‎ ‎【答案】‎ ‎【2015高考重庆，理13】在ABC中，B=，AB=，A的角平分线AD=,则AC=_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由正弦定理得，即，解得，，从而，所以，.‎ ‎【2015高考福建，理12】若锐角的面积为 ，且 ，则 等于________．‎ ‎【答案】7‎ ‎【解析】由已知得的面积为，所以，，所以．由余弦定理得，． ‎ ‎【2015高考新课标2，理17】（本题满分12分）‎ 中，是上的点，平分，面积是面积的2倍．‎ ‎(Ⅰ) 求；‎ ‎(Ⅱ)若，，求和的长． ‎ ‎【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)．‎ ‎【2015高考浙江，理16】在中，内角，，所对的边分别为，，‎ ‎，已知，=.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）若的面积为7，求的值.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎（1）由及正弦定理得，‎ ‎∴，又由，即，得，‎ 解得；（2）由，得，，‎ 又∵，∴，由正弦定理得，‎ 又∵，，∴，故.‎ ‎【2015高考安徽，理16】在中，,点D在边上，，求的长.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】如图，‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎【2015高考陕西，理17】（本小题满分12分）的内角，，所对的边分别为，，．向量与平行．‎ ‎（I）求；‎ ‎（II）若，求的面积．‎ ‎【答案】（I）；（II）．‎ 故的面积为．‎ 解法二：由正弦定理，得，‎ 从而，‎ 又由，知，所以.‎ 故 所以的面积为.‎ ‎1. 【2014高考江苏卷第14题】 若的内角满足，则的最小值是 .‎ ‎【答案】‎ ‎【考点】正弦定理与余弦定理．‎ ‎2. 【2014全国1高考理第16题】已知分别为三个内角的对边，，且，则面积的最大值为____________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由，且，故，又根据正弦定理，得，化简得，，故，所以，又，故．‎ ‎【考点定位】正弦定理和余弦定理、三角形的面积公式．‎ ‎3. 【2014全国2高考理第4题】钝角三角形ABC的面积是，AB=1，BC= ，则AC=( )‎ A. 5 B. C. 2 D. 1‎ ‎【答案】B ‎【解析】由面积公式得：，解得，所以或，当时，‎ 由余弦定理得：=1，所以，又因为AB=1，BC=，所以此时为等腰直角三角形，不合题意，舍去；所以，由余弦定理得：=5，所以，故选B. ‎ ‎【考点定位】余弦定理及三角形的面积公式、解三角形 ‎ ‎4. 【2014山东高考理第12题】在中，已知，当时，的面积为________.‎ ‎【答案】‎ ‎【考点定位】 三角形的面积.‎ ‎5. 【2014高考广东卷理第12题】在中，角、、所对应的边分别为、‎ ‎、，已知，则 .‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】，由边角互化得，‎ 即，即，所以.‎ ‎【考点定位】正弦定理中的边角互化思想的应用以及两角和的三角函数，‎ ‎6. 【2014全国1高考理第8题】设且则（ ）‎ ‎ （A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】C ‎【解析】由已知得，，去分母得，，所以 ‎，，又因为，‎ ‎，所以，即，选C．‎ ‎【考点定位】和角的正弦公式、同角三角函数基本关系式、诱导公式．‎ ‎7. 【2014高考福建卷第12题】在中，,则的面积等于_________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由正弦定理可得.所以的面积等于.‎ ‎【考点定位】正弦定理、三角形的面积.‎ ‎8. 【2014江西高考理第4题】在中，内角A,B,C所对应的边分别为，若则的面积（ ）‎ A.3 B. C. D.‎ ‎【答案】C ‎【考点定位】余弦定理 ‎9. 【2014四川高考理第13题】如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为，，此时气球的高是，则河流的宽度BC约等于 .（用四舍五入法将结果精确到个位.参考数据：，，，，）‎ ‎【答案】60‎ ‎【解析】‎ ‎，，.‎ ‎【考点定位】解三角形.‎ ‎10. 【2014浙江高考理第17题】如图，某人在垂直于水平地面的墙面前的点处进行射击训练.已知点到墙面的距离为，某目标点沿墙面的射击线移动，此人为了准确瞄准目标点，需计算由点观察点的仰角的大小.若则的最大值 .‎ ‎【答案】‎ ‎【考点定位】解三角形,求最值.‎ ‎11．【2014重庆高考理第10题】‎ 已知的内角，面积满足 ‎ 所对的边，则下列不等式一定成立的是( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】A ‎【考点定位】两角和与差的三角函数、正弦定理、三角形的面积公式.‎ ‎12. 【2014天津高考理第12题】在中，内角所对的边分别是．已知，，则的值为_______．‎ ‎【答案】．‎ ‎【解析】∵代入得，由余弦定理得．‎ ‎【考点定位】正弦定理、余弦定理的推论．‎ ‎13. 【2014大纲高考理第3题】设则 （ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C．‎ ‎【解析】故选C．‎ ‎【考点定位】三角函数基本关系式 ‎ ‎14. 【2014高考安徽卷第16题】（本小题满分12分）设的内角所对边的长分别是，且 ‎（1）求的值；‎ ‎（2）求的值.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【考点定位】正、余弦定理、三角函数恒等变形. ‎ ‎15. 【2014高考北京理第15题】如图，在中，，点在边上，且，.‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）求，的长.‎ ‎【答案】（1）；（2）7.‎ ‎【考点定位】同角三角函数的关系，两个角的差的正弦公式，正弦定理与余弦定理.‎ ‎16. 【2014高考福建理第16题】已知函数.‎ （1） 若，且，求的值；‎ （2） 求函数的最小正周期及单调递增区间.‎ ‎ 【答案】(1) ;(2) ,‎ ‎【考点定位】1.三角函数的性质.2.三角的恒等变形.‎ ‎17. 【2014高考广东理第16题】已知函数，，且 ‎.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）若，，求.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】（1），‎ 所以，；‎ ‎（2）‎ ‎ ‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，，则，‎ ‎.‎ ‎【考点定位】本题考查诱导公式、同角三角函数的基本关系以及两角和的三角函数 ‎18. 【2014高考湖北理第17题】某实验室一天的温度（单位：）随时间（单位：）的变化近似满足函数关系；‎ ‎.‎ ‎（1）求实验室这一天的最大温差；‎ ‎（2）若要求实验室温度不高于11，则在哪段时间实验室需要降温？‎ ‎【答案】（1）4；（2）在10时至18时实验室需要降温.‎ ‎（2）依题意，当时实验室需要降温.‎ 由（1）得，‎ 所以，即，‎ 又，因此，即，‎ 故在10时至18时实验室需要降温.‎ ‎【考点定位】两个角的和的正弦公式、三角不等式的解法.‎ ‎19. 【2014高考湖南理第18题】如图5,在平面四边形中,.‎ ‎(1)求的值;‎ ‎(2)若,,求的长.‎ ‎【答案】(1) (2) ‎ ‎【考点定位】三角形正余弦定理、正余弦之间的关系与和差角公式 ‎20. 【2014高考江苏第15题】已知.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）求的值.‎ ‎【答案】（1）；（2）．‎ ‎【考点】三角函数的基本关系式、二倍角公式、两角和与差的正弦、余弦公式．‎ ‎21. 【2014高考辽宁理第17题】在中，内角A，B，C的对边a，b，c，且，已知，，，求：‎ ‎（1）a和c的值；‎ ‎（2）的值.‎ ‎【答案】（1）a=3，c=2；（2）.‎ ‎【解析】（1）由得，，又，所以ac=6.‎ 由余弦定理，得.‎ 又b=3，所以.‎ 解，得a=2，c=3或a=3，c=2.‎ 因为a>c,∴ a=3，c=2.‎ ‎【考点定位】解三角形、三角恒等变换. ‎ ‎22. 【2014高考山东卷第16题】已知向量，，设函数，且的图象过点和点.‎ ‎（Ⅰ）求的值；‎ ‎（Ⅱ）将的图象向左平移（）个单位后得到函数的图象.若的图象上各最高点到点的距离的最小值为1，求的单调增区间.‎ ‎【答案】（I）.‎ ‎（II）函数的单调递增区间为.‎ ‎【解析】‎ ‎（1）由题意知：.‎ 因为的图象过点和，‎ 所以，‎ 即，‎ 解得.‎ ‎【考点定位】平面向量的数量积，三角函数的化简，三角函数的图象和性质.‎ ‎23. 【2014高考四川第16题】已知函数.‎ ‎（1）求的单调递增区间；‎ ‎（2）若是第二象限角，，求的值.‎ ‎【答案】（1）；（2）,.‎ ‎【解析】‎ ‎（1）；‎ ‎（2）由题设得：，‎ 即，.‎ 若，则，‎ 若，则.‎ ‎【考点定位】三角函数的性质、三角恒等变换三角函数的求值.‎ ‎24.【2014高考浙江理第18题】在中，内角所对的边分别为.已知，‎ ‎（I）求角的大小； ‎ ‎（II）若，求的面积. ‎ ‎【答案】（1）；（2）．‎ ‎（2）由，，得，由，得，从而，故 ‎，所以的面积为 ‎．‎ ‎【考点定位】诱导公式，、两角和与差的三角函数公式、二倍角公式、正弦定理、余弦定理、三角形面积公式 ‎ ‎25.【2014高考重庆理科第17题】已知函数的图像关于直线对称，且图像上相邻两个最高点的距离为.‎ ‎（I）求和的值；‎ ‎（II）若，求的值.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎（2）由（1）得 所以.‎ 由得 所以 因此 ‎=‎ ‎【考点定位】诱导公式、同角三角函数的基本关系、两角和与差的三角函数公式、三角函数的图象和性质.‎ ‎1．已知2sin 2α＝1＋cos 2α，则tan 2α＝(　　)‎ A．－ B. C．－或0 D.或0‎ 解析：基本法：∵，‎ ‎∴或 ‎∴tan 2α＝0或tan 2α＝. ‎ 答案：D ‎2．若tan α＝2tan，则＝(　　)‎ A．1 B．2‎ C．3 D．4‎ 答案：C ‎3．已知tan β＝，sin(α＋β)＝，其中α，β∈(0，π)，则sin α的值为(　　)(导学号 55460112)‎ A. B. C. D.或 解析：依题意得sinβ＝，cos β＝.注意到sin(α＋β)＝(否则，若α＋β≤，则有0<β<α＋β≤，0

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