2019届二轮复习小考点抢先练，基础题不失分不等式课件（64张）

2019届二轮复习小考点抢先练，基础题不失分不等式课件（64张）

第一篇　小考点抢先练 ， 基础题不失分 第 5 练　不等式 明晰 考 情 1. 命题角度：不等式的性质和线性规划在高考中一直是命题的热点 . 2 . 题目难度：中高档难度 . 核心考点突破练 栏目索引 易错易混专项练 高考押题冲刺练 考点一　不等式的性质与解法 要点重组 　不等式的常用性质 (1) 如果 a ＞ b ＞ 0 ， c ＞ d ＞ 0 ，那么 ac ＞ bd . (2) 如果 a ＞ b ＞ 0 ，那么 a n ＞ b n ( n ∈ N ， n ≥ 2). (3) 如果 a ＞ b ＞ 0 ， 那么 ( n ∈ N ， n ≥ 2). 方法技巧 　 (1) 解一元二次不等式的步骤 一化 ( 二次项系数化为正 ) ，二判 ( 看判别式 Δ ) ，三解 ( 解对应的一元二次方程 ) ，四写 ( 根据 “ 大于取两边，小于取中间 ” 写出不等式的解集 ). (2) 可 化为 ＜ 0( 或＞ 0) 型的分式不等式，转化为一元二次不等式求解 . (3) 指数不等式、对数不等式可利用函数单调性求解 . 核心考点突破练 1. 若 a ， b ， c 为实数，则下列命题为真命题的是 A. 若 a ＞ b ，则 ac 2 ＞ bc 2 B. 若 a ＜ b ＜ 0 ，则 a 2 ＞ ab ＞ b 2 √ 解析　 B 中， ∵ a ＜ b ＜ 0 ， ∴ a 2 － ab ＝ a ( a － b ) ＞ 0 ， ab － b 2 ＝ b ( a － b ) ＞ 0. 故 a 2 ＞ ab ＞ b 2 ， B 正确 . 答案 解析 1 2 3 4 5 2.(2018· 全国 Ⅲ ) 设 a ＝ log 0.2 0.3 ， b ＝ log 2 0.3 ，则 A. a ＋ b ＜ ab ＜ 0 B. ab ＜ a ＋ b ＜ 0 C. a ＋ b ＜ 0 ＜ ab D. ab ＜ 0 ＜ a ＋ b 解析　 ∵ a ＝ log 0.2 0.3 ＞ log 0.2 1 ＝ 0 ， b ＝ log 2 0.3 ＜ log 2 1 ＝ 0 ， ∴ ab ＜ 0. 答案 解析 √ 1 2 3 4 5 ∴ 1 ＝ log 0.3 0.3 ＞ log 0.3 0.4 ＞ log 0.3 1 ＝ 0 ， 3. 若 a ＞ b ＞ 0 ，且 ab ＝ 1 ，则下列不等式成立的是 √ 答案 解析 1 2 3 4 5 解析　 方法一 　 ∵ a ＞ b ＞ 0 ， ab ＝ 1 ， 1 2 3 4 5 ∴ f ′ ( a ) ＝－ a － 2 ·2 － a － a － 1 ·2 － a ·ln 2 ＝－ a － 2 ·2 － a (1 ＋ a ln 2) ＜ 0 ， ∴ f ( a ) 在 (1 ，＋ ∞ ) 上单调递减 . 1 2 3 4 5 4. 关于 x 的不等式 x 2 － 2 ax － 8 a 2 ＜ 0( a ＞ 0) 的解集为 ( x 1 ， x 2 ) ，且 x 2 － x 1 ＝ 15 ，则 a 等于 解析　 由条件知， x 1 ， x 2 为方程 x 2 － 2 ax － 8 a 2 ＝ 0 的两根 ， 则 x 1 ＋ x 2 ＝ 2 a ， x 1 x 2 ＝－ 8 a 2 ， 故 ( x 2 － x 1 ) 2 ＝ ( x 1 ＋ x 2 ) 2 － 4 x 1 x 2 ＝ (2 a ) 2 － 4 × ( － 8 a 2 ) ＝ 36 a 2 ＝ 15 2 ， 答案 解析 1 2 3 4 5 √ { x | x ＜ 0 或 1 ＜ x ＜ 2} 解析　 ∵ 关于 x 的不等式 ax － b ＞ 0 的解集是 ( － ∞ ，－ 2) ， 答案 解析 1 2 3 4 5 解得 x ＜ 0 或 1 ＜ x ＜ 2. 考点二　基本不等式 (1) 利用基本不等式求最值的条件：一正二定三相等 . (2) 求最值时若连续利用两次基本不等式，必须保证两次等号成立的条件一致 . 6. 若正数 x ， y 满足 4 x ＋ y － 1 ＝ 0 ， 则 的 最小值为 A.12 B.10 C.9 D.8 √ 解析　 由 4 x ＋ y － 1 ＝ 0 ，得 4 x ＋ y ＝ 1 ， 答案 解析 6 7 8 9 10 7. 若正数 x ， y 满足 x 2 ＋ 6 xy － 1 ＝ 0 ，则 x ＋ 2 y 的最小值是 解析 　 由 x 2 ＋ 6 xy － 1 ＝ 0 ，可得 x 2 ＋ 6 xy ＝ 1 ， 即 x ( x ＋ 6 y ) ＝ 1. 因为 x ， y 都是正数，所以 x ＋ 6 y ＞ 0. 答案 解析 √ 6 7 8 9 10 答案 解析 √ 6 7 8 9 10 6 7 8 9 10 9. 若 a ， b ∈ R ， ab >0 ， 则 的 最小值为 ____. 解析　 ∵ a ， b ∈ R ， ab ＞ 0 ， 答案 解析 4 6 7 8 9 10 答案 解析 6 7 8 9 10 6 7 8 9 10 考点三　简单的线性规划问题 方法技巧 　 (1) 求目标函数最值的一般步骤：一画二移三求 . (2) 常见的目标函数 ① 截距型： z ＝ ax ＋ by ； ② 距离型： z ＝ ( x － a ) 2 ＋ ( y － b ) 2 ； ③ 斜率型： z ＝ 11.(2018· 天津 ) 设变量 x ， y 满足 约束条件 则 目标函数 z ＝ 3 x ＋ 5 y 的最大值为 A.6 B.19 C.21 D.45 √ 答案 解析 11 12 13 14 15 解析　 画出可行域如图中阴影部分所示 ( 含边界 ) ， z max ＝ 3 × 2 ＋ 5 × 3 ＝ 21 . 故 选 C. 11 12 13 14 15 12. 设 x ， y 满足 约束条件 则 z ＝ | x ＋ 3 y | 的最大值为 A.15 B.13 C.3 D.2 √ 答案 解析 11 12 13 14 15 解析　 画出约束条件所表示的可行域，如图 ( 阴影部分含边界 ) 所示， 直线在 y 轴上的截距最大，此时 z 1 取得最大值， 直线在 y 轴上的截距最小，此时 z 1 取得最小值， 11 12 13 14 15 此时最大值为 z 1 ＝ 3 ＋ 3 × 4 ＝ 15 ； 此时最小值为 z 1 ＝ 2 ＋ 3 × 0 ＝ 2 ， 所以目标函数 z ＝ | x ＋ 3 y | 的最大值为 15. 11 12 13 14 15 13. 若变量 x ， y 满足 则 x 2 ＋ y 2 的最大值是 A.4 B.9 C.10 D.12 √ x 2 ＋ y 2 是可行域上动点 ( x ， y ) 到原点 (0,0) 距离的平方 ， 显然 ，当 x ＝ 3 ， y ＝－ 1 时， x 2 ＋ y 2 取最大值 ， 最大 值为 10. 故选 C. 11 12 13 14 15 答案 解析 14.(2018· 浙江省金华市浦江县高考适应性考试 ) 已知实数 x ， y 满足 则 此平面区域的面积 为 ___ ， 2 x ＋ y 的最大值为 ___. 答案 解析 1 　 2 解析　 它表示的可行域如图阴影部分所示 ( 含边界 ). 11 12 13 14 15 15. 设实数 x ， y 满足 约束条件 的 最大值是 ___. 答案 解析 1 11 12 13 14 15 考点四　绝对值不等式 要点重组 　 (1) 绝对值三角不等式 ① | a ＋ b | ≤ | a | ＋ | b | ，当且仅当 ab ≥ 0 时等号成立； ② | a － c | ≤ | a － b | ＋ | b － c | ，当且仅当 ( a － b )( b － c ) ≥ 0 时等号成立 . (2)| ax ＋ b | ≤ c ( c ＞ 0) ⇔ － c ≤ ax ＋ b ≤ c . | ax ＋ b | ≥ c ( c ＞ 0) ⇔ ax ＋ b ≥ c 或 ax ＋ b ≤ － c . A.( － ∞ ，－ 2) ∪ (1 ，＋ ∞ ) B.( － ∞ ，－ 2) C.(1 ，＋ ∞ ) D.( － 2,1) √ ∴ － 2 ＜ x ＜ 1. 答案 解析 17. 已知 x ， y ∈ R ，下列不等式成立的是 答案 解析 √ 解析　 因为 | x － y 2 | ＋ | x 2 － y | ≥ | x 2 － x ＋ y 2 － y | 18. 已知 f ( x ) ＝ x － 2 ， g ( x ) ＝ 2 x － 5 ，则不等式 | f ( x )| ＋ | g ( x )| ≤ 2 的解集为 _______ ； | f (2 x )| ＋ | g ( x )| 的最小值为 ____. 答案 解析 3 解析　 由题意得 | f ( x )| ＋ | g ( x )| ＝ | x － 2| ＋ |2 x － 5| | f (2 x )| ＋ | g ( x )| 的图象如图，则由图象易得 | f (2 x )| ＋ | g ( x )| 的最小值为 3. 19. 已知函数 f ( x ) ＝ | x 2 ＋ ax ＋ b | 在 [ 0 ， c ] 内的最大值为 M ( a ， b ∈ R ， c ＞ 0 为常数 ) ，且存在实数 a ， b ，使得 M 取最小值 2 ，则 a ＋ b ＋ c ＝ ____. 答案 解析 2 ∵ 函数 f ( x ) ＝ | x 2 ＋ ax ＋ b | 在区间 [ 0 ， c ] 上的最大值为 M ， 又 ∵ 存在实数 a ， b ，使得 M 取最小值 2 ， ∴ a ＋ b ＋ c ＝ 2. 1. 若不等式 ( － 2) n a － 3 n － 1 － ( － 2) n ＜ 0 对任意正整数 n 恒成立，则实数 a 的取值范围是 易错易混专项练 √ 答案 解析 解析　 当 n 为奇数时，要满足 2 n (1 － a ) ＜ 3 n － 1 恒成立， 2. 设函数 f ( x ) ＝ |2 x － 1| ，若不等式 f ( x ) ≥ 对 任意实数 a ≠ 0 恒成立，则 x 的取值范围是 A.( － ∞ ，－ 1] ∪ [3 ，＋ ∞ ) B.( － ∞ ，－ 1] ∪ [2 ，＋ ∞ ) C.( － ∞ ，－ 3] ∪ [1 ，＋ ∞ ) D.( － ∞ ，－ 2] ∪ [1 ，＋ ∞ ) 答案 解析 √ 所以 f ( x ) ≥ 3 ，即 |2 x － 1| ≥ 3 ， 即 2 x － 1 ≥ 3 或 2 x － 1 ≤ － 3 ， 即 x ≥ 2 或 x ≤ － 1 ，故 选 B. 3. 已知实数 x ， y 满足不等式 组 则 ( x － 3) 2 ＋ ( y ＋ 2) 2 的最小值 为 _____. 答案 解析 易知 ( x － 3) 2 ＋ ( y ＋ 2) 2 表示可行域内的点 ( x ， y ) 与 (3 ，－ 2) 两点间距离的平方，通过数形结合可知 ， 当 ( x ， y ) 为直线 x ＋ y ＝ 2 与 y ＝ 1 的交点 (1,1) 时， ( x － 3) 2 ＋ ( y ＋ 2) 2 取得最小值 13. 13 4. 已知 x ， y ∈ R 且满足 x 2 ＋ 2 xy ＋ 4 y 2 ＝ 6 ，则 z ＝ x 2 ＋ 4 y 2 的取值范围 为 _______. 答案 解析 ∴ x 2 ＋ 4 y 2 ≥ 4( 当且仅当 x ＝ 2 y 时取等号 ). 又 ∵ ( x ＋ 2 y ) 2 ＝ 6 ＋ 2 xy ≥ 0 ， 即 2 xy ≥ － 6 ， ∴ z ＝ x 2 ＋ 4 y 2 ＝ 6 － 2 xy ≤ 12( 当且仅当 x ＝－ 2 y 时取等号 ). 综上可知， 4 ≤ x 2 ＋ 4 y 2 ≤ 12. [ 4 , 12 ] 解题秘籍 　 (1) 不等式恒成立或有解问题能分离参数的，可先分离参数，然后通过求最值解决 . (2) 利用基本不等式求最值时要灵活运用两个公式： ① a 2 ＋ b 2 ≥ 2 ab ( a ， b ∈ R ) ，当且仅当 a ＝ b 时取等号； ② a ＋ b ≥ 2 ( a >0 ， b >0) ，当且仅当 a ＝ b 时取等号 . 注意公式的变形使用和等号成立的条件 . (3) 理解线性规划问题中目标函数的实际意义 . (4) 含绝对值不等式的恒成立问题可以转化为求含绝对值函数的最值或利用绝对值三角不等式求最值 . 1.(2016· 浙江 ) 已知 a ， b ＞ 0 ，且 a ≠ 1 ， b ≠ 1 ，若 log a b ＞ 1 ，则 A.( a － 1)( b － 1) ＜ 0 B .( a － 1)( a － b ) ＞ 0 C.( b － 1)( b － a ) ＜ 0 D.( b － 1)( b － a ) ＞ 0 √ 解析　 取 a ＝ 2 ， b ＝ 4 ，则 ( a － 1)( b － 1) ＝ 3 ＞ 0 ，排除 A ； 则 ( a － 1)( a － b ) ＝－ 2 ＜ 0 ，排除 B ； ( b － 1)( b － a ) ＝ 6 ＞ 0 ，排除 C ，故选 D. 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 高考押题冲刺练 2. 设实数 a ∈ ( 1 ， 2 ) ， 关于 x 的一元二次不等式 x 2 － ( a 2 ＋ 3 a ＋ 2) x ＋ 3 a ( a 2 ＋ 2 ) < 0 的解集为 A.(3 a ， a 2 ＋ 2) B.( a 2 ＋ 2,3 a ) C.(3,4) D .(3,6) √ 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析　 ∵ x 2 － ( a 2 ＋ 3 a ＋ 2) x ＋ 3 a ( a 2 ＋ 2)<0 ， ∴ [ x － ( a 2 ＋ 2) ] ( x － 3 a )<0 ，又 ∵ a ∈ (1,2) ， ∴ a 2 ＋ 2<3 a ， ∴ a 2 ＋ 2< x <3 a ， 故 选 B. √ 解析　 根据题中所给的约束条件，画出其表示的平面区域如图阴影部分所示 ( 含边界 ) ， 解方程组得三个顶点的坐标分别为 (1,0) ， (2,1) ， (4,0) ， 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 4.(2018· 浙江省杭州市第二中学模拟 ) 已知不等式 组 表示 的 平面 区域 M 的面积为 9 ，若点 P ( x ， y ) ∈ M ，则 z ＝ 2 x ＋ y 的最大值为 A.3 B.6 C.9 D.12 √ 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析　 由题意知 a >0 ，作出不等式组对应的平面区域如图阴影部分所示 ( 含边界 ). 解得 a ＝ 3( 舍负 ) ，此时 A (3,3) ， B (3 ，－ 3) ， 由图可得当 z ＝ 2 x ＋ y 过点 A (3,3) 时， z ＝ 2 x ＋ y 取得最大值 9 ，故选 C. √ 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 6. 设 x ， y ∈ R ，下列不等式成立的是 A.1 ＋ | x ＋ y | ＋ | xy | ≥ | x | ＋ | y | B.1 ＋ 2| x ＋ y | ≥ | x | ＋ | y | C.1 ＋ 2| xy | ≥ | x | ＋ | y | D .| x ＋ y | ＋ 2| xy | ≥ | x | ＋ | y | √ 解析　 当 x ＝ 1 ， y ＝－ 1 时， 1 ＋ 2| x ＋ y | ＜ | x | ＋ | y | ，故 B 错误； 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 ＋ 2| xy | ＜ | x | ＋ | y | ，故 C 错误； | x ＋ y | ＋ 2| xy | ＜ | x | ＋ | y | ，故 D 错误 ；故 选 A. √ 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析　 在直角坐标系中作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分 ( 包括边界 ) 所示 ， 当 目标函数 z ＝ 2 x ＋ y 经过可行域中的点 B (1,1) 时有最大值 3 ， 当 目标函数 z ＝ 2 x ＋ y 经过可行域中的点 A ( a ， a ) 时有最小值 3 a ， 由 3 ＝ 4 × 3 a ，得 a ＝ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 8. 若对任意的 x ， y ∈ R ，不等式 x 2 ＋ y 2 ＋ xy ≥ 3( x ＋ y － a ) 恒成立，则实数 a 的取值范围为 A.( － ∞ ， 1] B .[1 ，＋ ∞ ) C. [ － 1 ，＋ ∞ ) D.( － ∞ ，－ 1] √ 解析　 不等式 x 2 ＋ y 2 ＋ xy ≥ 3( x ＋ y － a ) 对任意的 x ， y ∈ R 恒成立等价于不等式 x 2 ＋ ( y － 3) x ＋ y 2 － 3 y ＋ 3 a ≥ 0 对任意的 x ， y ∈ R 恒成立 ， 所以 Δ ＝ ( y － 3) 2 － 4( y 2 － 3 y ＋ 3 a ) ＝－ 3 y 2 ＋ 6 y ＋ 9 － 12 a ＝－ 3( y － 1) 2 ＋ 12(1 － a ) ≤ 0 对任意的 y ∈ R 恒成立 ， 所以 1 － a ≤ 0 ，即 a ≥ 1 ，故选 B. 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 解析 解析　 函数 f ( x ) 的定义域为 ( － 1,1) 且在 ( － 1,1) 上单调递增， f ( － x ) ＝－ f ( x ) ， 10.(2018· 诸暨模拟 ) 若 x ， y 满足 约束条件 则 目标函数 z ＝ 3 x ＋ y 的最大值为 ___ ，最小值为 ___ _ __. 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 6 　 － 10 由 z ＝ 3 x ＋ y 知， y ＝－ 3 x ＋ z ， 所以 动直线 y ＝－ 3 x ＋ z 在 y 轴上的截距 z 取得 最大 值时，目标函数取得最大值 . 由可行域得 B ( － 2 ，－ 4) ， A (2,0) ，结合可行域可知当动直线经过点 B 时 ， 目标函数 取得最小值 z ＝－ 3 × 2 － 4 ＝－ 10 . 目标函数经过可行域的点 A 时，取得最大值 6 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 11.(2018· 绍兴模拟 ) 若实数 x ， y ， z 满足 x ＋ 2 y ＋ 3 z ＝ 1 ， x 2 ＋ 4 y 2 ＋ 9 z 2 ＝ 1 ，则实数 z 的最小值是 _____. 解析　 x ＋ 2 y ＋ 3 z ＝ 1 ，则 x ＝ 1 － 2 y － 3 z ，据此可得 (1 － 2 y － 3 z ) 2 ＋ 4 y 2 ＋ 9 z 2 ＝ 1 ， 整理可得 4 y 2 ＋ (6 z － 2) y ＋ (9 z 2 － 3 z ) ＝ 0 ， 满足题意时上述关于 y 的一元二次方程有实数根 ， 则 Δ ＝ (6 z － 2) 2 － 16(9 z 2 － 3 z ) ≥ 0 ， 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 本课结束