【数学】安徽省蚌埠市2020届高三第二次教学质量检查考试试题（文）（解析版）

【数学】安徽省蚌埠市2020届高三第二次教学质量检查考试试题（文）（解析版）

安徽省蚌埠市2020届高三第二次教学质量检查考试 数学试题（文）‎ 一、选择题：‎ ‎1.若集合，集合，则（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】,,‎ ‎,‎ 故选：B ‎2.已知为虚数单位，复数满足，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】,‎ ‎,‎ 故选：A ‎3.已知点为边延长线上一点，且，则（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】,‎ ‎,‎ 即,‎ ‎,‎ 故选：A.‎ ‎4.海水稻就是耐盐碱水稻，是一种介于野生稻和栽培稻之间的普遍生长在海边滩涂地区的水稻，具有抗旱抗涝、抗病虫害、抗倒伏抗盐碱等特点.近年来，我国的海水稻研究取得了阶段性成果，目前已开展了全国大范围试种.某农业科学研究所分别抽取了试验田中的海水稻以及对照田中的普通水稻各株，测量了它们的根系深度（单位：），得到了如下的茎叶图，其中两竖线之间表示根系深度的十位数，两边分别是海水稻和普通水稻根系深度的个位数，则下列结论中不正确的是（ ）‎ A. 海水稻根系深度的中位数是 B. 普通水稻根系深度的众数是 C. 海水稻根系深度的平均数大于普通水稻根系深度的平均数 D. 普通水稻根系深度的方差小于海水稻根系深度的方差 ‎【答案】D ‎【解析】A中，海水稻根系深度中位数为，正确；B中普通水稻根系深度的众数由茎叶图知是，正确；C中，由茎叶图可知海水稻根系深度平均数大于普通稻根系深度的平均数，正确；D中，分别计算两组数据的方差，‎ 海水稻根系深度的平均值为，‎ 普通水稻根系深度的平均值为 海水稻,‎ 普通稻，‎ 所以海水稻根系深度方差小，错误.‎ 故选：D.‎ ‎5.若双曲线的一条渐近线方程为，则此双曲线的焦距为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】,‎ 渐近线方程为，‎ ‎，‎ 解得，‎ ‎，‎ ‎，‎ 故选：C.‎ ‎6.已知函数，则曲线过点的切线条数为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】设切点坐标 ,‎ 由，得，‎ 切线斜率，‎ 所以过的切线方程为，‎ 即，‎ 切线过点，‎ 故，‎ 令,‎ 则，‎ 由，解得或，‎ 当时，，‎ 当时，，‎ 所以的极大值极小值分别为，，‎ 故其图像与x轴交点2个，‎ 也就是切线条数为2.‎ 故选：B.‎ ‎7.执行如图所示的程序框图，若输出的值为5，则框图中①处可以填入（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】第一次循环：，不满足条件，；‎ 第二次循环：，不满足条件，；‎ 第三次循环：，不满足条件，；‎ 第四次循环：，不满足条件，；‎ 第五次循环：，满足条件，输出的值为5.‎ 所以判断框中的条件可填写“”‎ 故选：C.‎ ‎8.若等差数列满足，，则其前项和（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】由得：，‎ 又，‎ 解得，‎ 所以，‎ 故选：D.‎ ‎9.已知函数是定义在上的偶函数，且对任意，.当时，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】因为函数是定义在上的偶函数，且对任意，，‎ 所以，‎ 所以，‎ 即函数的周期为，‎ 故，‎ 由时，得：，‎ 令，由得：，‎ 所以 故选：D.‎ ‎10.在中，角，，所对的边分别为，，.已知，，则的面积是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】 ,‎ ‎ ,‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎,‎ 故选：A.‎ ‎11.一副三角板由一块有一个内角为的直角三角形和一块等腰直角三角形组成，如图所示，，，，.现将两块三角板拼接在一起，使得二面角为直二面角，则三棱锥的外接球表面积为（ ）‎ ‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】是等腰直角三角形，‎ 外接圆的圆心为的中点,‎ 取中点，连接，‎ ‎∥,‎ ‎,‎ 二面角为直二面角,且为交线,‎ 平面，‎ 过球心，①‎ 又为，且为斜边 为的外接圆圆心，‎ 故球心在过的直线上，②‎ 由①②知，球心为，‎ ‎，，,‎ ‎，‎ ‎,‎ 故选：A.‎ ‎12.已知函数.有下列四个结论：‎ ‎①函数的值域为； ②函数的最小正周期为；‎ ‎③函数在上单调递增； ④函数的图像的一条对称轴为.‎ 其中正确的结论是（ ）‎ A. ②③ B. ②④ C. ①④ D. ①②‎ ‎【答案】B ‎【解析】对于①，因为，的最小值为，所以，故错误；对于②，因为，所以是周期，且没有比小的，所以正确；对于③，当时，，时，函数不单调，故错误；对于④，因为，即取得最小值，所以函数的图像的一条对称轴为正确.‎ 故选：B.‎ 二、填空题：.‎ ‎13.“五行”是中国古代哲学的一种系统观，广泛用于中医、堪舆、命理、相术和占卜等方面.古人把宇宙万物划分为五种性质的事物，也即分成木、火、土、金、水五大类，并称它们为“五行”.中国古代哲学家用五行理论来说明世界万物的形成及其相互关系，创造了五行相生相克理论.相生，是指两类五行属性不同的事物之间存在相互帮助，相互促进的关系，具体是：木生火，火生土，土生金，金生水，水生木.相克，是指两类五行属性不同的事物之间是相互克制的关系，具体是：木克土，土克水，水克火、火克金、金克木.现从分别标有木，火，土，金，水的根竹签中随机抽取根，则所抽取的根竹签上的五行属性相克的概率为___________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】标有木，火，土，金，水的根竹签中随机抽取根,共有种,‎ 而相生的有5种,‎ 则抽到两种物质相克的概率,‎ 故答案为: .‎ ‎14.已知函数，则不等式的解集为___________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】当时，由得：，‎ 解得，‎ 当时，由得：‎ 解得或，‎ 所以，‎ 综上或，‎ 故答案为：‎ ‎15.过抛物线的焦点的直线与抛物线相交于，两点，其中点位于第一象限.若，则直线的斜率为___________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】，‎ ‎，‎ ‎，，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎.‎ ‎16.现有一个圆锥形的钢锭，底面半径为，高为.某工厂拟将此钢锭切割加工成一个圆柱形构件，并要求将钢锭的底面加工成构件的一个底面，则可加工出该圆柱形构件的最大体积为___________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】设内接圆柱的底面半径为，高为，‎ 则，‎ 即，‎ 所以，‎ ‎，‎ 令，解得或（舍去），‎ 当时，,当时，，‎ 在上递增，在上递减，‎ 故当时，，‎ 故答案为：.‎ 三、解答题：‎ ‎17.某知名电商在双十一购物狂欢节中成交额再创新高，月日单日成交额达亿元.某店主在此次购物狂欢节期间开展了促销活动，为了解买家对此次促销活动的满意情况，随机抽取了参与活动的 位买家，调查了他们的年龄层次和购物满意情况，得到年龄层次的频率分布直方图和“购物评价为满意”的年龄层次频数分布表.年龄层次的频率分布直方图：‎ ‎“购物评价为满意”的年龄层次频数分布表：‎ 年龄（岁）‎ 频数 ‎（1）估计参与此次活动的买家的平均年龄（同一组中的数据用该组区间的中点值做代表）；‎ ‎（2）若年龄在岁以下的称为“青年买家”，年龄在岁以上（含岁）的称为“中年买家”，完成下面的列联表，并判断能否有的把握认为中、青年买家对此次活动的评价有差异？‎ 评价满意 评价不满意 合计 中年买家 青年买家 合计 附：参考公式：.‎ 解：（1）各年龄段区间，，，，对应的频率分别为，，，，，‎ 所以估计参与此次活动的买家的平均年龄为岁.‎ ‎（2）列联表如下：‎ 评价满意 评价不满意 合计 中年买家 青年买家 合计 由表中数据计算得：，所以没有的把握认为中、青年买家对此次活动的评价有差异.‎ ‎18.已知数列满足：，．‎ 设，证明：数列是等比数列；‎ 设数列的前n项和为，求．‎ 解：数列满足：，．‎ 由，那么，‎ ‎；‎ 即公比，，‎ 数列是首项为2，公比为2的等比数列；‎ 由可得，‎ 那么数列的通项公式为：‎ 数列的前n项和为 ‎．‎ ‎19.如图所示，在正三棱柱中，点是的中点，点是的中点，所有的棱长都为.‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）求点到平面的距离.‎ ‎（1）证明：在正三棱柱中，底面为正三角形，而点为的中点，所以.‎ 又侧棱底面，平面，则.‎ 而，所以平面，且平面，‎ 从而.‎ 正三棱柱所有棱长均相等，点是的中点，‎ 所以，，，从而.‎ 由，得.‎ 又点，所以平面，从而.‎ ‎（2）解：记点到平面的距离为，‎ 则三棱锥的体积为.‎ 由（1）证明过程可知，平面，且平面，从而.‎ 由条件计算得，，，的面积为，从而.‎ 在正三棱柱中，过点作的垂线交于点，‎ 又侧棱底面，平面，则.‎ 而，所以平面，‎ 即是三棱锥的高，且，‎ ‎.‎ 而，所以，，‎ 即点到平面的距离为.‎ ‎20.已知椭圆的左焦点为，经过点的直线与椭圆相交于，两点，点为线段的中点，点为坐标原点.当直线的斜率为时，直线的斜率为.‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）若点为椭圆的左顶点，点为椭圆的右顶点，过的动直线交该椭圆于，两点，记的面积为，的面积为，求的最大值.‎ 解：（1）设，，则点，由条件知，‎ 直线的斜率为，直线的斜率为，‎ 而，两式作差得，，‎ 所以，即，‎ 又左焦点为，所以，‎ 所以椭圆的标准方程为.‎ ‎（2）设直线的方程为，记，过标为，，‎ 则，‎ ‎，‎ 所以.‎ 联立方程，，消去，得，‎ 所以，，‎ ‎，令，则，且，当且仅当时等号成立，‎ 所以，即的最大值为.‎ ‎21.已知函数.‎ ‎（1）求函数的最小值；‎ ‎（2）若，恒成立，求实数的取值范围.‎ 解：（1），‎ 令，解得，‎ 列表如下：‎ 单调递减 最小值 单调递增 结合表格可知函数的最小值为.‎ ‎（2），，即，‎ 令，，则，‎ ‎，易知在上单调递增.‎ 当时，，从而上单调递增，‎ 此时，即成立.‎ 当时，，，存在，使得，‎ 当时，，从而在上单调递减，‎ 此时，即，不满足条件.‎ 综上可知，实数的取值范围是.‎ ‎22.在直角坐标系中，以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线，过点的直线（为参数）与曲线相交于，两点.‎ ‎（1）求曲线的直角坐标方程和直线的普通方程；‎ ‎（2）若，求实数的取值范围.‎ 解：（1）根据题意，即，‎ 从而曲线的直角坐标方程为，即，‎ 又，消去参数可得 直线的普通方程为.‎ ‎（2）根据题意，得圆心到直线的距离，‎ 即，解得，‎ 所以实数的取值范围为.‎ ‎23.已知函数.‎ ‎（1）求不等式的解集；‎ ‎（2）若，使得不等式成立，求实数的最大值.‎ 解：（1）‎ 当时，，解得；‎ 当时，，不成立；‎ 当时，，解得.‎ 综上可知，不等式的解集为.‎ ‎（2），使得不等式成立，‎ 即，‎ 所以在时有解，‎ ‎，‎ 当时，，，‎ 所以.‎