2019-2020学年湖南省郴州市湘南中学高一上学期期中数学试题（解析版）

2019-2020学年湖南省郴州市湘南中学高一上学期期中数学试题（解析版）

2019-2020 学年湖南省郴州市湘南中学高一上学期期中数学 试题 一、单选题 1．设集合 M={1，2，4，6，8},N={1，2，3，5，6，7},则 M N 中元素的个数为( ) A．2 B．3 C．5 D．7 【答案】B 【解析】试题分析： .故选 B. 【考点】集合的运算. 2．如图所示，可表示函数图象的是（ ） A．① B．②③④ C．①③④ D．② 【答案】C 【解析】利用函数的定义分别对四个图象进行判断即可. 【详解】 由函数的定义可知，对定义域内的任何一个变量 x，存在唯一的一个变量 y 与 x 对应. 则由定义可知①③④，满足函数的定义，但②不满足，因为图象②中，当 x>0 时，一 个 x 对应着两个 y，所以不满足函数取值的唯一性，所以能表示为函数图象的是 ①③④. 故选：C. 【点睛】 本题主要考查了函数的定义以及函数图象的判断，要求学生了解：一对一，多对一是函 数关系，一对多不是函数关系，属基础题. 3．函数 的定义域为（　　） A．[ ，3）∪（3，+∞） B．（-∞，3）∪（3，+∞） C．[ ，+∞） D．（3，+∞） 【答案】A ∩ {1,2,6)M N∩ = 【解析】根据幂函数的定义域与分母不为零列不等式组求解即可. 【详解】 因为函数 ， 解得 且 ； 函数 的定义域为 , 故选 A． 【点睛】 定义域的三种类型及求法：(1)已知函数的解析式，则构造使解析式有意义的不等式(组) 求解；(2) 对实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解；(3) 若已 知函数 的定义域为 ，则函数 的定义域由不等式 求出. 4．设 a=log73， ，c=30.7，则 a，b，c 的大小关系是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 ， ， 得解。 【详解】 ， ， ，所以 ，故选 D 【点睛】 比较不同数的大小，找中间量作比较是一种常见的方法。 5．幂函数 在 时是减函数，则实数 m 的值为 　　 A．2 或 B． C．2 D． 或 1 【答案】B 【解析】由题意得 ，选 B. 点睛：已知函数的单调性确定参数的值或范围要注意以下两点：(1)若函数在区间 上单调，则该函数在此区间的任意子区间上也是单调的；(2)分段函数的单调性，除注意 各段的单调性外，还要注意衔接点的取值；（3）复合函数的单调性，不仅要注意内外 函数单调性对应关系，而且要注意内外函数对应自变量取值范围. 6．已知集合 A={x|x<1}，B={x| }，则 A． B． 1 3 b log 7= a b c< < c b a< < b c a< < b a c< < 71 log 3 0a> = > 1 3 log 7 0b = < 0.73 1c = > 71 log 3 0a> = > 1 3 log 7 0b = < 0.73 1c = > b a c< < ( ) ( ) 22 31 m mf x m m x + −= − − ( )0,+∞ ( ) 1− 1− 2− 2 2 1 1 1 3 0 m m m m m  − − = ⇒ = − + − < [ , ]a b 3 1x < { | 0}A B x x= < A B R= C． D． 【答案】A 【解析】∵集合 ∴ ∵集合 ∴ ， 故选 A 7．下列四个函数中，在 上为增函数的是（ ）． A． B． C． D． 【答案】C 【解析】A，B 可直接通过一次函数的单调性和二次函数的单调性进行判断；C 利用 以及平移的思路去判断；D 根据 的图象的对称性判断. 【详解】 A． 在 上是减函数，不符合； B． 在 上是减函数，在 上是增函数，不符合； C． 可认为是 向左平移一个单位所得，所以在 上是增 函数，符合； D． 图象关于 轴对称，且在 上是增函数，在 上是减函数， 不符合； 故选：C. 【点睛】 （1）一次函数 、反比例函数 的单调性直接通过 的正 负判断； （2）二次函数的单调性判断要借助函数的对称轴和开口方向判断； （3）复杂函数的单调性判断还可以通过平移、翻折等变换以及图象进行判断. 8．若指数函数 在区间 上的最大值和最小值之和为 ，则 的值为（ ） { | 1}A B x x= > A B = ∅ { | 3 1}xB x= < { }| 0B x x= < { | 1}A x x= < { }| 0A B x x∩ = < { }| 1A B x x∪ = < ( )0, ∞+ ( ) 3f x x= − ( ) 2 3f x x x= − ( ) 1 1f x x = − + ( )f x x= − 1y x = − y x= − ( ) 3f x x= − R ( ) 2 3f x x x= − 3, 2  −∞   3 ,2  +∞   ( ) 1 1f x x = − + 1y x = − ( )1,− +∞ ( )f x x= − y ( ),0−∞ ( )0, ∞+ ( )0y kx b k= + ≠ ( )0ky kx = ≠ k ( ) xf x a= [ ]0,2 10 a A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据指数函数的单调性，知道其在 上的最大值和最小值之和即为 ，代入即可解出答案。 【详解】 因为指数函数 在区间 上单调，且 ， 即 解得 ，又 所以 故选 B 【点睛】 本题考查指数函数的单调性，与指数函数的定义，需要注意的是解出的两个值中根据指 数函数的定义一定要把负的舍去。属于基础题。 9．已知偶函数 在区间 上单调递增，则满足 的 的取 值范围为（） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据单调性，将函数值的大小关系转变为自变量间的大小关系，注意偶函数对 应的函数的对称情况. 【详解】 因为偶函数 是在 上递增，则 在 递减，且 ； 又因为 ，根据单调性和奇偶性有： ，解得： , 故选：A. 【点睛】 本题考查利用函数单调性、奇偶性求解参数范围问题，难度一般.对于这种奇偶性和单 调性的综合问题，除了可以直接分析问题，还可以借助图象来分析，也可以高效解决问 1 3 3 3± 1 3 ± [ ]0,2 ( )0 + (2)f f ( ) xf x a= [ ]0,2 ( )0 1f = ( ) 22f a= 21 10a+ = 3a = ± 0, 1a a> ≠ 3a = ( )f x [ )0,+∞ 1(2 1) 3f x f  − <    x 1 2( , )3 3 1 2[ , )3 3 1 2( , )2 3 1 2[ , )2 3 ( )f x [ )0,+∞ ( )f x ( ),0−∞ 1 1( )3 3f f  − =    1(2 1) 3f x f  − <    1 12 13 3x− < − < 1 2,3 3x  ∈   题. 10．已知函数 ，则方程 的根的个数为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【解析】画出函数图像,根据函数图像的交点个数即可判断方程零点的个数. 【详解】 方法一:函数 画出函数图像如下图所示: 由图像可知 时有 4 个交点.(图中有 3 个交点,当 时,在右侧还有一个 交点,所以交点个数一共有 4 个.) 故选:D 方法二: 当 时, ,满足 ,解得 当 时, ,满足 ,解得 所以方程 由 4 个根 故选:D 【点睛】 本题考查了方程的根与函数图像的关系,利用图像法分析是常用方法,对于常见函数,也 可以求出方程的根,属于基础题. ( ) ( ) lg , 0 4 , 0 x xf x x x x  >= − + ≤ ( ) 3 0f x − = ( ) ( ) lg , 0 4 , 0 x xf x x x x  >= − + ≤ ( ) 3f x = 1000x = ( ) ( ) lg , 0 4 , 0 x xf x x x x  >= − + ≤ 0x > ( ) lgf x x= lg 3x = 1 , 10001000x x= = 0x < ( ) ( )4f x x x= − + ( )4 3x x− + = 1, 3x x= − = − ( ) 3 0f x − = 二、填空题 11． 设全集 U=R，集合 A={x|x<0），B={x|x>1}，则 AU( uB)=_____________. 【答案】 【解析】 则 即答案为 12．已知 f(2x)＝x＋3，若 f(a)＝5，则 a＝________． 【答案】4 【解析】令 a＝2x，则 f（a）＝x+3＝5，从而得出 x 的值，进而得出 a 的值． 【详解】 令 a＝2x，则 f（a）＝f（2x）＝x+3＝5， ∴x＝2，∴a＝22＝4． 故答案为 4． 【点睛】 本题考查了函数值的计算，属于基础题． 13．已知 在 上是增函数，且 ，则使 成立的 的取值范 围是______． 【答案】 【解析】根据函数 为增函数， ，则 ，利用单调性 可解. 【详解】 函数 为增函数， , 则 ,即 ， 所以 ，即 ； 故答案为： 【点睛】 本题考查利用函数单调性解不等式，属于基础题. 14．已知函数 是奇函数，当 时， ，则当 时， _____ { }| 1x x ≤ { | 1} { | 1}UB x x B x x= ∴ = ≤ ＞ ， ， { | 1}UA B x x∪ = ≤（ ） ， { | 1}x x ≤ ． ( )f x R ( )2 0f = ( )2 0f x − > x ( )4,+∞ ( )f x ( )2 0f = ( )2 0 (2)f x f− > = ( )f x ( )2 0f = ( )2 0f x − > ( )2 0 (2)f x f− > = 2 2x − > 4x > ( )4,+∞ ( )f x 0x > ( ) ( )1f x x x= − 0x < ( )f x = 【答案】 【解析】设 ，求出 的表达式，再利用奇函数的定义 得出函 数 在 上的解析式. 【详解】 设 ，则 ， 因为当 时， ，所以 ， 又因为函数 是奇函数，所以 ， 所以 时， ，故答案为： . 【点睛】 本题考查求奇函数的解析式，一般利用对称转移法求解，解题时要熟悉这种方法求函 数解析式的基本步骤，考查运算求解能力，属于中等题. 15．不等式 的解集为________． 【答案】 【解析】不等式 可化为： ，然后用对数函数的单调性结 合函数的定义域可求解. 【详解】 由 ，有 ， 根据对数函数的单调性有： ，即 . 故答案为： . 【点睛】 本题考查利用对数函数的单调性解对数不等式，注意对数函数的定义域，属于基础题. 三、解答题 16．已知函数 . （1）求函数 的定义域； （2）求 及 的值． 【答案】（1） 的定义域为 ；（2） ； ( ) ( )1f x x x= + 0x < ( )f x− ( ) ( )f x f x= − ( )y f x= ( ),0−∞ 0x < 0x− > 0x > ( ) ( )1f x x x= − ( ) ( )1f x x x− = − + ( )f x ( ) ( ) ( )1f x f x x x= − − = + 0x < ( ) ( )1f x x x= + ( )1x x + ( )lg 1 2x − < ( )1,101 ( )lg 1 2x − < ( )lg 1 lg100x − < ( )lg 1 2x − < ( )lg 1 lg100x − < 0 1 100x< − < 1 101x< < ( )1,101 8( ) 32f x xx = + +− ( )f x ( 2)f − (6)f ( )f x [ 3,2) (2, )− ∪ +∞ ( 2) 1f − = − (6) 5f = 【解析】试题分析：（1）由 ，且 即可得定义域； （2）将 和 6 代入解析式即可得值. 试题解析： （1）解：依题意， ，且 ， 故 ，且 ，即函数 的定义域为 . （2） ， . 17．已知 f（x）是二次函数，且 f（-1）=4，f（0）=1，f（3）=4． （1）求 f（x）的解析式． （2）若 x∈[-1，5]，求函数 f（x）的值域． 【答案】（1） （2） 【解析】（1）设二次函数 ，将三个点代入解方程组即可。 （2）判断函数在区间 上的单调性，即可求出其值域。 【详解】 （1）设二次函数为 ，将三个点代入有 解得 ， 所以函数 （2）函数 ，开口向上，对称轴 ， 即函数 在 单调递减，在 单调递增 所以 ，即 【点睛】 本题考查二次函数的解析式，与定区间上的值域，属于基础题。 18．（本大题满分 12 分）已知集合 ， ； （1）若 ，求 ； （2）若 ，求实数 的取值范围． 2 0x − ≠ 3 0x + ≥ 2x = − 2 0x − ≠ 3 0x + ≥ 3x ≥ − 2x ≠ ( )f x [ ) ( )3,2 2,− ∪ +∞ ( ) 82 2 3 12 2f − = + − + = −− − ( ) 86 6 3 56 2f = + + =− 2( ) 2 1f x x x= − + [0,16] 2( ) , 0f x ax bx c a= + + ≠ [ 1,5]− 2( ) , 0f x ax bx c a= + + ≠ 4 1 9 3 4 a b c c a b c − + =  =  + + = 1 2 1 a b c =  = −  = 2( ) 2 1f x x x= − + 2( ) 2 1f x x x= − + 1x = 2( ) 2 1f x x x= − + [ 1,1]− [1,5] (1) ( ) (5)f f x f≤ ≤ ( ) [0,16]f x ∈ { }| 3 6A x x= − ≤ ≤ { }| 2 1 1B x a x a= − ≤ ≤ + 2a = − BA∪ A B B∩ = a 【答案】（1） ；（2） 【解析】试题分析：（1）因为 所以很容易求出集合 ，又已知集合 ，利用集 合的基本运算即可求出 ; （2）本题考察的是集合的运算， ，所以需要考虑 和不为 空集两种情况，再结合集合的基本运算即可求出实数 的取值范围． 试题解析：（1） （2） 当 时， 当 时， 综上所述： 【考点】集合的运算 【易错点睛】凡是遇到集合的运算（并、交、补）问题，应注意对集合元素属性的识别， 如集合 是函数的值域，是数集，求出值域可以使之简化；集合 是 点 集 ， 表 示 函 数 上 所 有 点 的 集 合 ． 集 合 表示使函数 解析式有意义的 的取值范围，是定义域；所以在 做题时要看清楚间隔号之前表示的是什么含义． 19．已知函数 ． （1）证明： 是奇函数； （2）用函数单调性的定义证明： 在 上是增函数． 【答案】(1) 证明见解析 (2)证明见解析 【解析】(1)由奇函数的定义，求出 ，然后证明 即可. (2)用定义法证明函数单调性的步骤为：任取，作差，变形，判号，下结论. 【详解】 证明：（1）函数 的定义域为 ， ， ∴ 是奇函数； [ ]5,6A B∴ ∪ = − 1a ≥ − 2a = − B A BA∪ A B B B A∩ = ∴ ⊆ B = ∅ a 2a = − [ ]5, 1B∴ = − − [ ]5,6A B∴ ∪ = − A B B∩ = ∴ B A⊆ B = ∅ 2 1 1a a− > + 2a∴ > B ≠ ∅ 2 1 1 2 1 3 1 6 a a a a − ≤ +  − ≥ −  + ≤ 1 2a∴− ≤ ≤ 1a ≥ − ( ){ }| ,y y f x x A= ∈ ( ) ( ){ }, | ,x y y f x x A= ∈ ( )y f x= ( ){ }|x y f x= ( )y f x= x ( ) 1f x x x = − ( )f x ( )f x ( )0, ∞+ ( )f x− ( ) ( )f x f x− = − ( )f x { }| 0x x ≠ ( ) ( )1 1f x x x f xx x  − = − − = − − = − −   ( )f x （2）设 ，则： ， ∵ ； ∴ ， ， ∴ ， ∴ ， ∴ 在 上是增函数． 【点睛】 本题考查函数奇偶性和单调性的证明，属于基础题. 20．已知 且满足不等式 . (1)求实数 a 的取值范围； (2)在(1)的基础上求不等式 的解集； (3)若函数 在区间 上有最小值为 ，求实数 a 的值. 【答案】（1） ；（2） ；（3） 【解析】（1）借助指数函数 的单调性解不等式即可得出范围； （2）由（1）的结论判断出对数函数 的单调性，再根据单调性解不等式； （3）由对数函数 的单调性得函数的最值，再求取值． 【详解】 （1）由已知得： 且 ， 所以 ，即：a 的范围是 ； （2）因为 ，所以，由不等式得： 1 2 0x x> > ( ) ( )1 2 1 2 1 2 1 1f x f x x xx x − = − − + ( )1 2 1 2 11x x x x  = − +    1 2 0x x> > 1 2 0x x > 1 2 0x x− > ( )1 2 1 2 11 0x x x x  − + >    ( ) ( )1 2f x f x> ( )f x ( )0, ∞+ 0a > 2 1 5 22 2a a+ −> ( ) ( )log 3 1 log 7 5a ax x+ < − ( )log 2 1ay x= − [ ]1,3 2− ( )01, 3 7 4 5,     5 5a = 2xy = logay x= logay x= 2 1 5 2a a+ > − 0a > 0 1a< < ( )01, 0 1a< < 解得： ， ∴不等式的解集是 ； （3）因为 ，所以函数 在区间 上递减， 当 时，y 有最小值 ，则 ． 【点睛】 本题主要考查利用函数的单调性解不等式，属于基础题． 3 1 0 7 5 0 3 1 7 5 x x x x + >  − >  + > − 3 7 4 5x< < 3 7 4 5,     0 1a< < ( )log 2 1ay x= − [ ]1,3 3x = log 5 2a = − 5 5a =