数学（理）卷·2019届湖南省长郡中学高二上学期期末考试（2018-01）

数学（理）卷·2019届湖南省长郡中学高二上学期期末考试（2018-01）

长郡中学2017-2018学年度高二第一学期期末考试 数学（理科）‎ 一、选择题：本大题共15小题,每小题3分,共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.与命题“若，则”的真假性相同的命题是（ ）‎ A．或 B．若，则 ‎ C．若，则 D．若，则 ‎2.某商品销售量（件）与销售价格（元/件）负相关，则其回归方程可能是（ ）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎3.设复数，，则在复平面内对应的点在（ ）‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎4.“”是“”的（ ）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 ‎ C.充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎5.如图，长方体中，，，分别是的中点，则异面直线与所成角的余弦值是（ ）‎ A． B． C. D．0‎ ‎6.若二项式的展开式中的系数是84，则实数（ ）‎ A．2 B． C.1 D．‎ ‎7.函数的定义域为开区间，导函数在内的图像如图所示，则函数在内的极大值点共有（ ）‎ A．1个 B．2个 C.3个 D．4个 ‎8.设椭圆和双曲线的公共焦点分别为，为这两条曲线的一个交点，则的值等于（ ）‎ A．3 B． C. D．‎ ‎9.在等差数列中，若，公差，则有.类比上述性质，在等比数列中，若，公比，则的一个不等关系是（ ）‎ A． B． ‎ C. D．‎ ‎10.设均为正实数，则三个数，，（ ）‎ A．都大于2 B．都小于2 ‎ C.至少有一个不大于2 D．至少有一个不小于2‎ ‎11.函数与的图像所围成的封闭图形的面积为（ ）‎ A． B．2 C. D．3‎ ‎12.若函数在区间上不是单调函数，则实数的取值范围是（ ）‎ A．或或 B．或 ‎ C. D．不存在这样的实数 ‎13.假设小明家订了一份报纸，送报人可能在早上6:30至7:30之间把报纸送到小明家，小明爸爸离开家去工作的时间在早上7:00至8:00之间，那么小明的爸爸在离开家前能得到报纸的概率是（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎14.现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加某志愿者服务活动，每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一，每项工作至少有一人参加，甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是（ ）‎ A．152 B．126 C. 90 D．54‎ ‎15.已知为抛物线的焦点，过作两条互相垂直的直线，直线与交于两点，直线与交于两点，则的最小值为（ ）‎ A．16 B．14 C. 12 D．10‎ 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分.‎ ‎16.从4名男生和3名女生中选出4人参加某个座谈会，若这4人中必须既有男生又有女生，则不同的选法种数共有 ．（用数字作答）‎ ‎17.在中，不等式成立；在四边形中，不等式成立；在五边形中，不等式成立.猜想在边形中，不等式 成立．‎ ‎18.如图，的二面角的棱上有两点，线段分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直，已知，，，则的长等于 ．‎ ‎19.已知双曲线的右顶点为，以为圆心，为半径作圆，圆与双曲线的一条渐近线交于两点.若，则的离心率为 ．‎ ‎20.已知函数，，若成立，则的最小值为 ．‎ 三、解答题：本大题共5小题，每小题8分，共40分.‎ ‎21.设椭圆过点，离心率为.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）求过点且斜率为的直线被椭圆所截线段的中点坐标.‎ ‎22.设曲线在点处的切线方程为（其中，，是自然对数的底数）.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）求在区间上的最大值和最小值.‎ ‎23.如图，在四棱锥中，，且.‎ ‎（1）证明：平面平面；‎ ‎（2）若，，求二面角的余弦值.‎ ‎24.已知抛物线的焦点为，倾斜角为的直线过点与抛物线交于两点，的面积为（为坐标原点）.‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）设点为直线与抛物线在第一象限的交点，过点作的斜率分别为的两条弦，如果，证明直线过定点，并求出定点坐标.‎ ‎25.已知函数（为常数）.‎ ‎（1）若函数在其定义域上为增函数，求实数的取值范围；‎ ‎（2）若存在，使得对任意的，不等式（其中为自然数对数的底数）都成立，求实数的取值范围.‎ 试卷答案 一、选择题 ‎1-5:DBDBD 6-10:CBACD 11-15：CBCBA 二、填空题 ‎16.34 17. 18. 19. 20.‎ 三、解答题 ‎21.解：（1）将代入椭圆的方程得，∴.‎ 又得即，∴.‎ ‎∴椭圆的方程为.‎ ‎（2）过点且斜率为的直线方程为，‎ 设直线与椭圆的交点，，‎ 将直线方程代入椭圆的方程，得，‎ 即，于是，‎ ‎∴的中点坐标，，‎ 即中点坐标为.‎ ‎22.解：（1），‎ 依题可得：，∴.‎ 又，∴.‎ ‎∴，.‎ ‎（2），，‎ ‎∴在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减 故在区间上的最大值为，最小值为.‎ ‎23.解：（1）由已知，得，.‎ 由于，故，从而平面.‎ 又平面，所以平面平面.‎ ‎（2）在平面内作，垂足为，由（1）可知，平面，‎ 故，可得平面.以为坐标原点，的方向为轴正方向，为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系.‎ 由（1）及已知可得，，，.‎ 所以，，，‎ ‎.‎ 设是平面的法向量，‎ 则即，可取.‎ 设是平面的法向量，‎ 则，即.可取.‎ 则，‎ 所以二面角的余弦值为.‎ ‎24.解：（1），则直线的方程为，代入抛物线方程得.‎ 设，，则.‎ 根据抛物线定义，，‎ 所以.‎ 坐标原点到直线的距离.‎ 所以的面积为，‎ 解得.‎ ‎（2）抛物线方程为，直线，即，解得.‎ 设，.根据题意，显然都不等于零.‎ 直线，即，代入抛物线方程得.‎ 由于点在抛物线上，依据根与系数的关系得，‎ 所以.同理.‎ 而直线的方程为，因为也在抛物线上，所以，‎ 代入上述方程并整理得，‎ ‎，‎ ‎.‎ 令，则，，‎ 代入的方程得，‎ 整理得，‎ 若上式对任意变化的恒成立，则，解得.‎ 故直线经过定点.‎ ‎25.解：（1）函数的定义域为，‎ ‎，‎ 依题意：在上恒成立.‎ 即：在上恒成立.‎ ‎∴.‎ ‎（2）依题意：对任意的，不等式都成立，‎ 即对任意的，不等式都成立，‎ 记，由，‎ 且.‎ ‎∴对任意的，不等式都成立的必要条件为.‎ 又，‎ 由得或.‎ 因为，所以，‎ ‎①当时，，且时，，‎ 时，，‎ 所以，‎ 所以时，恒成立；‎ ‎②当时，，因为，所以，‎ 此时单调递增，且，‎ 所以时，成立.‎ 综上，的取值范围是.‎