四川省成都外国语学校2019-2020学年高二上学期12月月考数学（理）试题

四川省成都外国语学校2019-2020学年高二上学期12月月考数学（理）试题

成都外国语学校2019-2020（上）高2018级12月月考 高二数学试卷（理）‎ 第I卷（选择题)‎ 一、单选题 ‎1.若，且是的充分不必要条件，则的取值范围是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先化简命题，再根据是的充分不必要条件得到的取值范围.‎ ‎【详解】由题得，‎ 因为是的充分不必要条件，‎ 所以对应的集合是对应的集合的真子集，‎ 所以.‎ 故选A ‎【点睛】本题主要考查根据充分不必要条件求参数的范围，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.‎ ‎2.曲线方程的化简结果为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意得到给出的曲线方程的几何意义，是动点 到两定点的距离之和等于定值，符合椭圆定义，然后计算出相应的得到结果.‎ ‎【详解】曲线方程，‎ 所以其几何意义是动点到点和点的距离之和等于，符合椭圆的定义. 点和点是椭圆的两个焦点.‎ 因此可得椭圆标准方程，其中，所以 ‎，所以 所以曲线方程的化简结果为.‎ 故选D项.‎ ‎【点睛】本题考查曲线方程的几何意义，椭圆的定义，求椭圆标准方程，属于简单题.‎ ‎3.如图是某工厂对一批新产品长度(单位: )检测结果的频率分布直方图.估计这批产品的平均数与中位数分别为(　　)‎ A. 22.5 20 B. 22.5 22.75 C. 22.75 22.5 D. 22.75 25‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 由题意，这批产品的平均数为，‎ 其中位数为.故选C.‎ ‎4.甲、乙两位同学在高三的5次月考中数学成绩用茎叶图表示如右图所示，若甲、乙两人的平均成绩分别是，,则下列叙述正确的是（ ）‎ A. ；乙比甲成绩稳定 B. ; 乙比甲成绩稳定 C. ；甲比乙成绩稳定 D. ; 甲比乙成绩稳定 ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：根据题意，由于甲乙在考试中的数学成绩分布情况分别是72,77,78,86,92;78,88,88,91,90,因此可知其均值分别是81,87．因此可知，同时看茎叶图可知，乙的数据比较集中在均值附近故可知乙比甲稳定故选B.‎ 考点：茎叶图 点评：主要是考查了茎叶图的简单运用，求解均值和方差的运用，属于基础题．‎ ‎5.某单位青年、中年、老年职员的人数之比为10∶8∶7，从中抽取200名职员作为样本，若每人被抽取的概率是0.2，则该单位青年职员的人数为(　　)‎ A. 280 B. 320 C. 400 D. 1000‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意知这是一个分层抽样问题，根据青年、中年、老年职员的人数之比为，从中抽取名职员作为样本，得到要从该单位青年职员中抽取的人数，根据每人被抽取的概率为，得到要求的结果 ‎【详解】由题意知这是一个分层抽样问题，‎ 青年、中年、老年职员的人数之比为，从中抽取名职员作为样本，‎ 要从该单位青年职员中抽取的人数为：‎ 每人被抽取的概率为，‎ 该单位青年职员共有 故选 ‎【点睛】本题主要考查了分层抽样问题，运用计算方法求出结果即可，较为简单，属于基础题．‎ ‎6.如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称，在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 设正方形边长为，则圆的半径为，正方形的面积为，圆的面积为.由图形的对称性可知，太极图中黑白部分面积相等，即各占圆面积的一半.由几何概型概率的计算公式得，此点取自黑色部分的概率是，选B.‎ 点睛:对于几何概型的计算，首先确定事件类型为几何概型并确定其几何区域（长度、面积、体积或时间），其次计算基本事件区域的几何度量和事件A区域的几何度量，最后计算.‎ ‎7.从1至9这9个自然数中任取两个：‎ 恰有一个偶数和恰有一个奇数；至少有一个是奇数和两个数都是奇数；‎ 至多有一个奇数和两个数都是奇数；至少有一个奇数和至少有一个偶数．‎ 在上述事件中，是对立事件的是　　‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分清互斥事件和对立事件之间的关系，互斥事件是不可能同时发生的事件，对立事件是指一个不发生，另一个一定发生的时间，然后挨个分析四组事件即可 ‎【详解】①恰有一个偶数和恰有一个奇数，这两个事件是同一事件；‎ ‎②至少有一个是奇数和两个数都是奇数中，至少有一个是奇数包括了两个都是奇数和一个是奇数，包含了两个数都是奇数，故不是对立事件 ‎③至多有一个奇数和两个数都是奇数中，至多有一个奇数包括有一个是奇数和没有一个是奇数，和两个数都是奇数为对立事件；‎ ‎④至少有一个奇数和至少有一个偶数中，都包含一个奇数和一个偶数的结果，故不是对立事件 故选 ‎【点睛】本题主要考查了互斥事件和对立事件，解题的关键是分清互斥事件和对立事件之间的关系，属于基础题．‎ ‎8.已知命题“，使得”，若命题是假命题，则实数的取值范围是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由已知得命题是假命题，则将问题转化为命题“，使得”成立, 此时利用一元二次方程根的判别式可求得实数的取值范围.‎ ‎【详解】若命题是假命题，,则“不存在，使得”成立, 即“，使得”成立, 所以，解得，‎ 所以实数的取值范围是，‎ 故选B.‎ ‎【点睛】本题主要考查命题的否定和不等式恒成立问题，对于一元二次不等式的恒成立问题，多从根的判别式着手可以得到解决，属于中档题.‎ ‎9.设P是椭圆上一点，M，N分别是两圆：和上的点，则的最小值、最大值分别为（ ）‎ A. 18，24 B. 16，22 C. 24，28 D. 20，26‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据圆心恰好是椭圆的两个焦点，由圆心的距离及椭圆的定义即可求得最大值与最小值．‎ ‎【详解】椭圆的两个焦点坐标为，且恰好为两个圆的圆心坐标为 所以，两个圆的半径相等且等于1‎ 所以 所以选C ‎【点睛】本题考查了椭圆的定义及性质的简单应用，圆中最大值与最小值的求法，属于中档题．‎ ‎10.为坐标原点，为抛物线的焦点，为上一点，若，则的面积为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由抛物线的标准方程可得抛物线的焦点坐标和准线方程,设出,由PF=4以及抛物线的定义列式可得,即,再代入抛物线方程可得点P的纵坐标,再由三角形的面积公式可得.‎ ‎【详解】由可得抛物线的焦点F(1,0),准线方程为,‎ 如图:过点P作准线 的垂线,垂足为,根据抛物线的定义可知PM=PF=4,‎ 设,则,解得,将 代入可得,‎ 所以△的面积为=.‎ 故选B.‎ ‎【点睛】本题考查了抛物线的几何性质,定义以及三角形的面积公式,关键是①利用抛物线的定义求P点的坐标;②利用OF为三角形的底,点P的纵坐标的绝对值为高计算三角形的面积.属中档题.‎ ‎11.已知椭圆的短轴长为2，上顶点为，左顶点为，分别是椭圆的左、右焦点，且的面积为，点为椭圆上的任意一点，则的取值范围为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 分析： 由得椭圆的短轴长为，可得，‎ ‎，可得，从而可得结果.‎ 详解：由得椭圆的短轴长为，，‎ 解得，‎ ‎，设，‎ 则，，‎ 即， ‎ ‎，故选D.‎ 点睛：本题考查题意的简单性质，题意的定义的有意义，属于中档题. 求解与椭圆性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、长轴、短轴、等椭圆的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系.‎ ‎12.已知点是双曲线的左焦点，过且平行于双曲线渐近线的直线与圆交于点和另一个点，且点在抛物线上，则该双曲线的离心率是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设，利用抛物线的性质，双曲线的渐近线，直线平行的性质、圆的性质、‎ 联立方程组，建立的关系即可得到结论.‎ ‎【详解】‎ 如图，设抛物线的准线为，作于，‎ 双曲线的右焦点为，由题意可知为圆的直径，‎ 设，则，且，‎ 满足，将①代入②得，‎ 则，‎ 即或（舍去），‎ 将代入③，得，‎ 即，再将代入①得，‎ ‎，‎ 即，‎ ‎，‎ 解得，所以该双曲线的离心率是，故选C.‎ ‎【点睛】本题主要考查抛物线的定义、圆的性质、双曲线的方程与性质以及离心率的求解，属于难题.离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出，从而求出;②构造的齐次式，求出;③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解;④根据圆锥曲线的统一定义求解．‎ 第II卷（非选择题)‎ 二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分共20分 ‎13.命题“若且，则”否命题是______.（选填“真”或“假”）‎ ‎【答案】假 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据四种命题的定义，得到命题的逆命题，举例即可判定其逆命题真假，再根据四种的等价关系，即可求解否命题的真假，得到答案.‎ ‎【详解】由题意，命题“若且，则”的逆命题是“若，则且”，‎ 例如：时，此时成立，但且不成立，则逆命题命题为假命题，‎ 根据四种命题的等价关系，原命题的逆命题与否命题是等价的，所以其否命题也是假命题.‎ 故答案假.‎ ‎【点睛】本题主要考查了四种命题的改写，以及四种命题的等价关系的应用，其中解答中熟记四种命题的改写，求得命题的逆命题并判定其真假是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.‎ ‎14.某同学同时掷两颗均匀正方形骰子，得到的点数分别为，，则椭圆 的离心率的概率是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由椭圆的离心率，可得或，掷两颗均匀正方形骰子得到的点数分别为，，共有36种情况，将满足不等式的情况一一列举出来，利用古典概型求解即可.‎ ‎【详解】由椭圆的离心率，可得 当时，,即得;‎ 当时，即得.‎ 同时掷两颗均匀正方形骰子得到点数分别为，，共有种情况，‎ 满足上述关系的有：(3,1),(1,3),(4,1),(1,4),(5,1),(1,5),(5,2),(2,5),（6,1），(1,6),（6,2）,(2,6)共12种情况，‎ 所以概率为：.‎ 故答案为.‎ ‎【点睛】本题主要考查了古典概型的计算及椭圆离心率的计算，但要注意椭圆的焦点在哪个轴上，需讨论和的大小，属于易错题.‎ ‎15.已知圆，圆，若圆上存在点，过点作圆的两条切线，切点为，，使得，则的取值范围是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意求出OP的距离，得到P的轨迹，再由圆与圆的位置关系求得答案．‎ ‎【详解】由题意易得，，‎ 点在以的圆心，2为半径的圆上，此圆与圆有公共点，，‎ 即.‎ ‎，，‎ 即，解得，的取值范围是 故答案为[0，3]．‎ ‎【点睛】本题主要考查直线和圆、圆与圆的位置关系的应用，利用数形结合将条件进行等价转化是解决本题的关键，是中档题 ‎16.已知椭圆C:，若动点为椭圆外一点，且点P到椭圆C的两条切线相互垂直，求点P的轨迹方程_____________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 当切线斜率存在且不为0时,设直线方程 ‎【详解】设从点所引的直线的方程为,即, 当从点所引的椭圆的两条切线的斜率都存在时,分别设为、,则, 将直线的方程代入椭圆的方程 ，‎ 化简得 ,‎ ‎, 化简得,即, 则、是关于的一元二次方程的两根,‎ 则,化简得； 当两条切线分别平行与轴时, 分别为四点,满足.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题主要考查了利用直线与椭圆相切,联立直线与椭圆利用判别式为0再进行化简求解方法,属于难题.‎ 三、解答题 ‎17.已知命题 ： 表示双曲线，命题 ： 表示椭圆．‎ ‎（1）若命题与命题 都为真命题，则 是 的什么条件？‎ ‎（请用简要过程说明是“充分不必要条件”、“必要不充分条件”、“充要条件”和“既不充分也不必要条件”中的哪一个）‎ ‎（2）若 为假命题，且 为真命题，求实数 的取值范围．‎ ‎【答案】（1） 是 的必要不充分条件（2） 或．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：(1) 根据双曲线的定义，若命题为真命题则 ,若 都为真命题则 或，由，可得 是 的必要不充分条件；（2）由 为假命题，且 为真命题，可得一真一假，分两种情况讨论，对于真假以及假真分别列不等式组，分别解不等式组，然后求并集即可求得实数的取值范围..‎ 试题解析：（1）∵命题 ： 表示双曲线是真命题，‎ ‎∴ ，‎ 解得 ,‎ 又∵命题 ： 表示椭圆是真命题，‎ ‎∴ ‎ 解得 或 ‎ ‎∵ ‎ ‎∴ 是 的必要不充分条件,‎ ‎（2）∵ 为假命题，且 为真命题 ‎∴ 、 “一真一假”，‎ 当 真 假时，由（1）可知，‎ 为真，有 ，①‎ 为假， 或 或 ②‎ 由①②解得 或 ‎ 当 假真时，由（1）可知，‎ 为假，有 或 ，③‎ 为真，有 或 ④‎ 由③④解得，无解 综上，可得实数 的取值范围为 或.‎ ‎【方法点睛】本题通过圆锥曲线的方程主要考查充分条件与必要条件，属于中档题. 判断充要条件应注意：首先弄清条件和结论分别是什么，然后直接依据定义、定理、性质尝试. 对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想化抽象为直观外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题；对于范围问题也可以转化为包含关系来处理.‎ ‎18.央视传媒为了解央视举办的“朗读者”节目的收视时间情况，随机抽取了某市名观众进行调查，其中有名男观众和名女观众，将这名观众收视时间编成如图所示的茎叶图（单位：分钟），收视时间在分钟以上（包括分钟）的称为“朗读爱好者”，收视时间在分钟以下（不包括分钟）的称为“非朗读爱好者”.‎ ‎（1）若采用分层抽样的方法从“朗读爱好者”和“非朗读爱好者”中随机抽取名，再从这名观众中任选名，求至少选到名“朗读爱好者”的概率；‎ ‎（2）若从收视时间在40分钟以上（包括40分钟）的所有观众中选出男、女观众各1名，求选出的这两名观众时间相差5分钟以上的概率.‎ ‎【答案】(1)(2)‎ ‎【解析】‎ 试题分析：‎ 试题解析：‎ ‎（1）根据茎叶图，有“朗读爱好者”人，“非朗读爱好者”人，用分层抽样的方法，每个人被抽到的概率是 选中的“朗读爱好者”有人，记为，“非朗读爱好者”有人，记为；‎ 记：至少有一名是“朗读爱好者”被选中，基本事件有，，，，，，，，，共个；满足事件的有，，，，，，共个，则 ‎（2）收视时间在分钟以上的男观众分别是，，，，，女观众分别是，现要各抽一名，则有，，，，，，，，，共种情况.‎ 收视时间相差分钟以上的有，，，，共种情况.‎ 故收视时间相差分钟以上的概率.‎ ‎19.下表是高二某位文科生连续5次月考的历史、政治的成绩：‎ 月份 ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ ‎1‎ 历史(分)‎ ‎79‎ ‎81‎ ‎83‎ ‎85‎ ‎87‎ 政治(分)‎ ‎77‎ ‎79‎ ‎79‎ ‎82‎ ‎83‎ 求该生5次月考历史成绩的平均分和政治成绩的方差；‎ 一般来说，学生的历史成绩与政治成绩有较强的线性相关，根据上表提供的数据，求两个变量的线性回归方程.‎ ‎(附：，，，)‎ ‎【答案】(1)见解析.(2).‎ ‎【解析】‎ 试题分析：⑴利用所给数据，即可求该生5次月考历史成绩的平均分和政治成绩的方差；‎ ‎⑵利用最小二乘法做出线性回归直线的方程的系数，写出回归直线的方程，得到结果；‎ 解析：(1)，‎ ‎，‎ ‎∴政治成绩的方差 ‎.‎ ‎(2)∵，，，，，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴变量的线性回归方程为.‎ 点睛：本题主要考查了线性回归方程，属于基础题．对于⑴根据平均数的计算方法可求出历史成绩与政治成绩的平均数，接下来根据方差的计算公式即可求出政治成绩的方差；对于⑵联系⑴中的结论以及已知数据及公式，可求出的值，从而求出线性回归方程；‎ ‎20.已知圆与直线.‎ ‎（1）若直线与圆没有公共点，求的取值范围；‎ ‎（2）若直线与圆相交于两点，为原点，是否存在实数，满足，若存在，求实数的值；若不存在，请说明理由.‎ ‎【答案】（1）； （2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）将圆的方程化为标准方程，求得圆心，半径，得到，再结合直线与圆的位置关系，即可求解.‎ ‎（2）直线与圆方程联立消去，求得，，结合，即可求解.‎ ‎【详解】（1）将圆的方程化为标准方程得：，‎ ‎∴圆心，半径，即，‎ ‎∵圆心到直线的距离，直线与圆没有公共点，‎ ‎∴，即，则的范围为.‎ ‎（2）由题意，假设存在实数使得，‎ 将直线与圆方程联立 ，‎ 立消去得到：，‎ 设，则，，，‎ ‎∵，∴，解得.‎ ‎【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系的判定及应用，其中解答中熟记直线与圆的位置关系的判定方法，以及熟练应用圆的性质是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.‎ ‎21.已知点是抛物线的焦点，若点在抛物线上，且 求抛物线的方程；‎ 动直线与抛物线相交于两点，问：在轴上是否存在定点其中，使得x轴平分？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎【答案】（1）；（2）存在，.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)利用抛物线的定义进行求解即可.‎ ‎(2)由题意可得若轴上存在定点其中,使得x轴平分,则,再联立直线与椭圆的方程,列出韦达定理,再列出斜率代入韦达定理进行化简证明即可.‎ ‎【详解】抛物线C：的焦点为,准线方程为,‎ 即有,即,则,解得,则；‎ 在x轴上假设存在定点其中,因为x轴平分,‎ 设,,联立和,得,‎ 恒成立． ,‎ 设直线DA、DB的斜率分别为,,则由得,‎ ‎,‎ ‎, 联立,得,‎ 故存在满足题意,综上,在x轴上存在一点,使得x轴平分 ‎【点睛】本题主要考查了抛物线的定义以及圆锥曲线中的角度问题,重点是讲题中所给的信息转换为斜率的关系进行列式化简求解.属于中等题型.‎ ‎22.已知在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：（a＞b＞0）离心率为，其短轴长为2．‎ ‎（1）求椭圆C的标准方程；‎ ‎（2）如图，A为椭圆C的左顶点，P，Q为椭圆C上两动点，直线PO交AQ于E，直线QO交AP于D，直线OP与直线OQ的斜率分别为k1，k2，且k1k2＝，（λ，μ为非零实数），求λ2+μ2的值．‎ ‎【答案】（1）；（2）1‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由题意可得b＝1，运用离心率公式和a，b，c的关系，可得a，b，进而得到椭圆方程；‎ ‎（2）求得A的坐标，设P（x1，y1），D（x0，y0），运用向量共线坐标表示，结合条件求得P的坐标，代入椭圆方程，可得λ2＝，同理得μ2＝，即可得λ2+μ2的值．‎ ‎【详解】（1）因为短轴长2b＝2，所以b＝1，又离心率e＝，且a2﹣b2＝c2，‎ 解得a＝，c＝1，则椭圆C的方程为+y2＝1；‎ ‎（2）由（1）可得点 A（﹣，0），设P（x1，y1），D（x0，y0），则y1＝k1x1，y0＝k2x0，‎ 由可得x0+＝λ（x﹣x0），y0＝λ（y1﹣y0），‎ 即有x0＝，k1x1＝y1＝y0＝k2x0＝k2（x1﹣），‎ 两边同乘以k1，可得k12x1＝k1k2（x1﹣）＝﹣（x1﹣），‎ 解得x1＝，将P（x1，y1）代入椭圆方程可得λ2＝，‎ 由可得μ2＝，可得λ2+μ2＝1．‎ ‎【点睛】本题考查椭圆方程的求法，注意运用离心率公式和基本量的关系，考查直线方程和向量共线的坐标表示，以及化简整理的运算能力，属于中档题．‎ ‎ ‎