2018届二轮复习高考大题专项突破3课件（全国通用）

2018届二轮复习高考大题专项突破3课件（全国通用）

高考大题专项突破三 　 高考 中的数列 - 2 - 从近五年高考试题分析来看 , 高考数列解答题主要题型有 : 等差、等比数列的综合问题 ; 证明一个数列为等差或等比数列 ; 求数列的通项及非等差、等比数列的前 n 项和 ; 证明数列型不等式 . 命题规律是解答题每两年出现一次 , 命题特点是试题题型规范、方法可循、难度稳定在中档 . - 3 - 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 题型一 　 等差、等比数列的综合问题 突破策略一 　 公式法 对于等差、等比数列 , 求其通项及求前 n 项的和时 , 只需利用等差数列或等比数列的通项公式及求和公式求解即可 . 例 1 (2017 北京 , 文 15) 已知等差数列 { a n } 和等比数列 { b n } 满足 a 1 =b 1 = 1, a 2 +a 4 = 10, b 2 b 4 =a 5 . (1) 求 { a n } 的通项公式 ; ( 2) 求和 : b 1 +b 3 +b 5 + … +b 2 n- 1 . 解 (1) 设等差数列 { a n } 的公差为 d . 因为 a 2 +a 4 = 10, 所以 2 a 1 + 4 d= 10 . 解得 d= 2 . 所以 a n = 2 n- 1 . (2) 设等比数列 { b n } 的公比为 q. 因为 b 2 b 4 =a 5 , 所以 b 1 qb 1 q 3 = 9 . 解 得 q 2 = 3 . 所以 b 2 n- 1 =b 1 q 2 n- 2 = 3 n- 1 . 从而 b 1 +b 3 +b 5 + … +b 2 n- 1 = 1 + 3 + 3 2 + … + 3 n- 1 = . - 4 - 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 对点训练 1 在等比数列 { a n } 中 , 已知 a 1 = 2, a 4 = 16 . (1) 求数列 { a n } 的通项公式 . (2) 若 a 3 , a 5 分别为等差数列 { b n } 的第 4 项和第 16 项 , 试求数列 { b n } 的通项公式及其前 n 项和 S n . 解 (1) 设 { a n } 的公比为 q , 由已知得 16 = 2 q 3 , 解得 q= 2 . ∴ a n = 2 n . (2) 由 (1) 得 a 3 = 8, a 5 = 32, 则 b 4 = 8, b 16 = 32 . - 5 - 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 突破策略二 　 转化法 无论是求数列的通项还是求数列的前 n 项和 , 都可以通过变形、整理 , 把数列转化为等差数列或等比数列 , 进而利用等差数列或等比数列的通项公式或求和公式解决问题 . 例 2 在数列 { a n } 中 , a 1 = 1, 数列 { a n+ 1 - 3 a n } 是首项为 9, 公比为 3 的等比数列 . (1) 求 a 2 , a 3 ;( 2) 求数列 的前 n 项和 S n . 解 (1) ∵ 数列 { a n+ 1 - 3 a n } 是首项为 9, 公比为 3 的等比数列 , ∴ a n+ 1 - 3 a n = 9 × 3 n- 1 = 3 n+ 1 . ∴ a 2 - 3 a 1 = 9, a 3 - 3 a 2 = 27 . ∴ a 2 = 12, a 3 = 63 . - 6 - 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 对点训练 2 设 { a n } 是公比大于 1 的等比数列 , S n 为数列 { a n } 的前 n 项和 , 已知 S 3 = 7, 且 a 1 + 3,3 a 2 , a 3 + 4 成等差数列 . (1) 求数列 { a n } 的通项公式 ; (2) 令 b n = ln a 3 n+ 1 , n= 1,2, … , 求数列 { b n } 的前 n 项和 T n . - 7 - 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 - 8 - 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 题型二 　 证明数列为等差或等比数列 突破策略一 　 定义法 - 9 - 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 例 3 已知数列 { a n } 是等差数列 , 且 a 1 , a 2 ( a 1 1 时 ,3 S n- 1 =a n - 1 ② , ① - ② 得 3( S n -S n- 1 ) = 3 a n =a n+ 1 -a n , 则 a n+ 1 = 4 a n , 又 a 2 = 3 a 1 + 1 = 4 = 4 a 1 , ∴ 数列 { a n } 是首项为 1, 公比为 4 的等比数列 , 则 a n = 4 n- 1 . (2) 由 (1) 得 a 2 = 4, S 3 = 21, - 23 - 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 题型四 　 数列型不等式的证明 突破策略 　 放缩法 要证明关于一个数列的前 n 项和的不等式 , 一般有两种思路 : 一是先求和再对和式放缩 ; 二是先对数列的通项放缩再求数列的和 , 必要时对其和再放缩 . 例 7 (2017 广东佛山一模 , 文 17) 已知数列 { a n } 的前 n 项和为 S n , 且满足 S n =a n +n 2 - 1( n ∈ N + ) . (1) 求 { a n } 的通项公式 ; - 24 - 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 (1) 解 ∵ S n =a n +n 2 - 1( n ∈ N * ), ∴ a 1 +a 2 =a 2 + 2 2 - 1, 解得 a 1 = 3 . 当 n ≥ 2 时 , a n =S n -S n- 1 =a n +n 2 - 1 - [ a n- 1 + ( n- 1) 2 - 1], 整理得 a n- 1 = 2 n- 1, 可得 a n = 2 n+ 1, 当 n= 1 时也成立 . ∴ a n = 2 n+ 1 . (2) 证明 由 (1) 可得 S n = 2 n+ 1 +n 2 - 1 =n 2 + 2 n. - 25 - 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 对点训练 7 设 S n 是数列 { a n } 的前 n 项和 , a n > 0, 且 4 S n =a n ( a n + 2) . (1) 求数列 { a n } 的通项公式 ; - 26 - 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 题型五 　 数列中的存在性问题 突破策略 　 存在顺推法 求解数列中的存在性问题 , 先假设所探求对象存在或结论成立 , 再以此假设为前提条件进行运算或逻辑推理 , 若由此推出矛盾 , 则假设不成立 , 即不存在 ; 若推不出矛盾 , 则得到存在的结果 . 例 8 已知数列 { a n } 的前 n 项和为 S n , a 1 = 1, a n ≠0, a n a n+ 1 = λ S n - 1, 其中 λ 为常数 . (1) 证明 a n+ 2 -a n = λ . (2) 是否存在 λ , 使得 { a n } 为等差数列 ? 并说明理由 . - 27 - 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 (1) 证明 因为 a n a n+ 1 = λ S n - 1, 所以 a n+ 1 a n+ 2 = λ S n+ 1 - 1 . 两式相减 , 得 a n+ 1 ( a n+ 2 -a n ) = λ a n+ 1 . 因为 a n+ 1 ≠0, 所以 a n+ 2 -a n = λ . (2) 解 由题设 , a 1 = 1, a 1 a 2 = λ S 1 - 1, 可得 a 2 = λ - 1 . 由 (1) 知 , a 3 = λ + 1 . 令 2 a 2 =a 1 +a 3 , 解得 λ = 4 . 故 a n+ 2 -a n = 4 . 由此可得 { a 2 n- 1 } 是首项为 1, 公差为 4 的等差数列 , a 2 n- 1 = 4 n- 3;{ a 2 n } 是首项为 3, 公差为 4 的等差数列 , a 2 n = 4 n- 1 . 所以 a n = 2 n- 1, 即 a n+ 1 -a n = 2 . 因此存在 λ = 4, 使得数列 { a n } 为等差数列 . - 28 - 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 对点训练 8 已知数列 { a n } 的前 n 项和 S n = 1 + λ a n , 其中 λ ≠0 . (1) 证明 { a n } 是等比数列 , 并求其通项公式 ; (2) 若 , 求 λ . - 29 - - 30 -