数学理卷·2018届贵州省黔东南州高三下学期第二次模拟考试（2018

数学理卷·2018届贵州省黔东南州高三下学期第二次模拟考试（2018

黔东南州2018届高三第二次模拟考试 2018.3.9‎ 理科数学 注意事项：‎ ‎1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，本试卷共150分，考试时间为120分钟．‎ ‎2. 答卷前，考生务必在答题卡上相应的位置准确填写自己的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在指定的位置．‎ ‎3. 选择题选出答案后，用2B铅笔将答题卡上对应的题目答案标号按要求涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选择其它答案标号．非选择题直接用签字笔答在答题卡中对应的答题区域内．‎ 第Ⅰ卷 选择题 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．设集合，，则 ‎、 、 、 、‎ ‎2．若复数，则=‎ ‎、 、 、 、‎ ‎3．甲乙两名同学次考试的成绩统计如下图，甲乙两组数据的平均数分别为、，标准差分别为、，则 ‎、 ‎ ‎、‎ ‎、 ‎ ‎、‎ ‎4．已知数列为等差数列，且，则的值为 ‎、 、 、 、‎ ‎5．已知，则的大小关系为 ‎、 、 、 、‎ ‎6．一只蚂蚁在边长为的正三角形区域内随机爬行，则它在离三个顶点距离都大于的区域内的概率为 ‎ ‎、 、 、 、‎ ‎7．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的最大边长为 ‎、 、 ‎ ‎、 、‎ ‎8．若函数的定义域为，其导函数为．‎ 若恒成立，，则解集为 ‎ ‎、 、 、 、‎ ‎9．执行如图的程序框图，则输出的值为 ‎、 、‎ ‎、 、‎ ‎10．在中，内角所对的边分别为,已知，且，则面积的最大值为 ‎、 、 、 、‎ ‎11．设函数的最大值为,最小值为,则的值为 ‎、 、 、 、‎ ‎12． 已知双曲线的左、右焦点分别为．若双曲线上存在点使，则该双曲线的离心率的取值范围是 ‎、 、 、 、‎ 第Ⅱ卷 非选择题 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上．‎ ‎13．已知实数满足约束条件，则的最小值是 ．‎ ‎14．甲、乙、丙三名同学参加某高校组织的自主招生考试的初试，考试成绩采用等级制（分为三个层次），得的同学直接进入第二轮考试.从评委处得知，三名同学中只有一人获得.三名同学预测谁能直接进入第二轮比赛如下：‎ 甲说：看丙的状态，他只能得或；‎ 乙说：我肯定得；‎ 丙说：今天我的确没有发挥好，我赞同甲的预测．‎ 事实证明：在这三名同学中，只有一人的预测不准确，那么得的同学是 ．‎ ‎15．在的展开式中，的系数为______(用数字作答)．‎ ‎16．在平面上，，，．若，则的取值范围是 ．‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22,23题为选考题，考生根据要求作答.‎ ‎（一）必考题：共60分 ‎17．（本小题满分12分）‎ 已知数列的前项和为，且满足．‎ ‎（Ⅰ）求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）令，记数列的前项和为．证明：．‎ ‎ ‎ ‎18．（本小题满分12分）‎ 分组 频数 ‎18‎ ‎49‎ ‎24‎ ‎5‎ 据统计，2017年国庆中秋假日期间，黔东南州共接待游客590.23万人次，实现旅游收入48.67亿元，同比分别增长44.57%、55.22%.旅游公司规定：若公司导游接待旅客，旅游年总收入不低于40（单位：百万元），则称为优秀导游.经验表明，如果公司的优秀导游率越高，则该公司的影响度越高.已知甲、乙两家旅游公司各有导游100名，统计他们一年内旅游总收入，分别得到甲公司的频率分布直方图和乙公司的频数分布表如下：‎ ‎（Ⅰ）求的值，并比较甲、乙两家旅游公司，哪家的影响度高?‎ ‎（Ⅱ）若导游的奖金（单位：万元），与其一年内旅游总收入（单位：百万元）之间的关系为，求甲公司导游的年平均奖金；‎ ‎（Ⅲ）从甲、乙两家公司旅游收入在的总人数中，随机的抽取人进行表彰，设来自乙公司的人数为，求的分布列及数学期望.‎ ‎19．（本小题满分12分）‎ 在四棱锥中，四边形是矩形，平面平面，点、分别为、中点.‎ ‎（Ⅰ）求证：平面；‎ ‎（Ⅱ）若，，求平面与平面所成锐二面角的余弦值.‎ ‎20．（本小题满分12分） ‎ 已知点为曲线上任意一点，、，直线的斜率之积为．‎ ‎（Ⅰ）求曲线的轨迹方程；‎ ‎（Ⅱ）是否存在过点的直线与曲线交于不同的两点，使得？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．‎ ‎21．（本小题满分12分）‎ 已知函数，(是常数)．‎ ‎（Ⅰ）求函数的单调区间；‎ ‎（Ⅱ）当时,函数有零点，求的取值范围．‎ ‎（二）选考题：共10分.请考生在第22,23题中任选一题作答.如果多做，按所做的第一题记分.‎ ‎22．（本小题满分10分）选修4—4：极坐标与参数方程 在平面直角坐标系中，将曲线(为参数) 上任意一点经过伸缩变换后得到曲线的图形．以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，已知直线．‎ ‎（Ⅰ）求曲线和直线的普通方程；‎ ‎（Ⅱ）点为曲线上的任意一点，求点到直线的距离的最大值及取得最大值时点的坐标．‎ ‎23．(本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲 已知函数,．‎ ‎（Ⅰ）当时,求不等式的解集；‎ ‎（Ⅱ）设,且当时，都有,求的取值范围．‎ 黔东南州2018届高三第二次模拟考试 2018.3.9‎ 理科数学参考答案 一、 选择题 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 D C C B D A B D D B A C 二、 填空题 ‎13． 14．甲 15． 16．‎ 三、解答题 ‎17、（12分）‎ 解：（I）当时，有，解得.‎ 当时，有，则 ‎ ‎ 整理得： ‎ ‎ 数列是以为公比，以为首项的等比数列．‎ ‎ ‎ 即数列的通项公式为：． ……………………………6分 ‎（II）由（I）有，则 ‎ ‎ ‎ 易知数列为递增数列 ‎ ，即. ………………………………………12分 ‎18、（12分）‎ 解：（I）由直方图知：，有，‎ 由频数分布表知：，有．‎ ‎ 甲公司的导游优秀率为：；‎ 乙公司的导游优秀率为：；‎ 由于，所以甲公司的影响度高． ………………………4分 ‎（II）甲公司年旅游总收入的人数为人；‎ 年旅游总收入的人数为人；‎ 年旅游总收入的人数为人；‎ 故甲公司导游的年平均奖金（万元）． ……8分 ‎（III）由已知得，年旅游总收入在的人数为15人，其中甲公司10人，乙公司5人．故的可能取值为，易知：‎ ‎；‎ ‎；‎ ‎；‎ ‎.‎ ‎ 的分布列为：‎ ‎ ‎ ‎ 的数学期望为：． …………12分 ‎19、（12分）‎ ‎（I）证明：取中点，连接．‎ 在△中，有 ‎ 分别为、中点 ‎ ‎ 在矩形中，为中点 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 四边形是平行四边形 ‎ ‎ 而平面，平面 ‎ 平面 ………………………………………………6分 ‎（II）取中点，连接，设. ‎ ‎ 四边形是矩形 ‎ ‎ ‎ 平面平面,平面平面=，平面 ‎ 平面 ‎ 又 ，，为中点 ‎ ，，.‎ 故可建立空间直角坐标系，如图所示，则 ‎，，，， ‎ ‎ ，‎ ‎ ，‎ 设是平面的一个法向量，则 ‎ ，即 不妨设，则．‎ 易知向量为平面的一个法向量．‎ ‎ ‎ 故平面与平面所成锐二面角的余弦值为. …………12分 20、 ‎（12分）‎ 解：（I）设点，则 整理得：‎ 故曲线的轨迹方程为：‎ ‎. ……………………………………5分 ‎（II）假设存在直线满足题意．‎ 显然当直线斜率不存在时，直线与椭圆不相交．‎ ①当直线的斜率时，设直线为： ‎ 联立，化简得：‎ 由，解得 设点，，则 ‎ ‎ 取的中点，则，则 即 ，化简得，无实数解，故舍去．‎ ‎②当时，为椭圆的左右顶点，显然满足，此时直线的方程为．‎ 综上可知，存在直线满足题意，此时直线的方程为．　　……………12分 ‎21、（12分）‎ 解：（I）由题意知：，则 ‎，．‎ ‎①当时，令，有；令，有．故函数在 上单调递增，在上单调递减．‎ ②当时，令，有；令，有．故函数在上单调递增，在和上单调递减．‎ ③当时，令，有或；令，有．故函数在和上单调递增，在上单调递减．‎ 综上所述，当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为；当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为和；当时，函数的单调递增区间为和，单调递减区间为； ………………………………………………5分 ‎（II）①当时，由可得，有，故满足题意．‎ ‎②当时，若，即时，由（I）知函数在上递增，在上递减．‎ 而，令，有 ‎ ‎ 若，即时，由（I）知函数在上递增．而，令，解得，而，故．‎ ‎③当时，由（I）知函数在上递增，由，令 ‎，解得，而，故．‎ 综上所述，的取值范围是：． …………………12分．‎ ‎22、（10分）‎ 解：（I）由已知有（为参数），消去得．‎ 将代入直线的方程得 ‎ 曲线的方程为，直线的普通方程为. ………5分 ‎（II）由（I）可设点为，．则点到直线的距离为：‎ 故当，即时取最大值．‎ 此时点的坐标为． ……………………………………10分 ‎23、（10分）‎ 解：（I）当时，，‎ 故不等式可化为：‎ ‎ 或或 解得：‎ ‎ 所求解集为：. ……………………………………5分 ‎（II）当时，由有：‎ ‎ ‎ ‎ 不等式可变形为：‎ 故对恒成立，即，解得 而，故. ‎ ‎ 的取值范围是： ………………………………………………10分